x
Učitavanje

2.2 Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Fotografija kanadera koji gasi požar
Avion za gašenje požara

Kolika je površina izgorjele šume izražena u kvadratnim kilometrima?

1 hektar iznosi 100 ari. Jedan Ar iznosi 100 metara kvadratnih.

10 000 ha = ( 10 000 · 100 ) a = ( 10 000 · 100 · 100 ) m 2 = 100 000 000 m 2 = 100 km 2

10 000 ha = 100 km 2

Površina izgorjele šume je 100 km 2 .

Možemo li ovo jednostavnije računati?

Odgovor slijedi u videu.

Primjer 1.

Dekadske jedinice i potencija s bazom 10

Dekadske jedinice možemo prikazati u obliku potencije s bazom 10 i prirodnim eksponentom.

Vrijednost potencije 10 n , n jednaka je dekadskoj jedinici s n nula.

Potencija s bazom 10 i eksponentom 1 jednaka je 10 .

10 1 = 10  

Zadatak 1.

Odgovori je li jednakost točna ili ne.

  1. 10 · 10 · 10 · 10 = 10 5

    null
    null
  2. 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 5

    null
    null
  3. 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 7

    null
    null
  4. 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 9 10

    null
    null

Zadatak 2.

Dovuci odgovarajući dekadski broj na njegov prikaz potencijom.

Uparite:

10 000
10 5   
100 000 000
10 8  
1 000 000
10 4
100 000  
10 6  
1 000
10 3  
null
null

Nazivi i zapis velikih brojeva

Upoznati ćemo se sa dvije vrste zapisa potencije baze 10 i prirodnog eksponenta, 10 n , matematički i računalno .

Matematički zapis
Računalni zapis
Brzina svjetlosti
3 · 10 8 m/s 3 E 8 m/s
Udaljenost Zemlje od Sunca
1.5 · 10 11 m 1 . SE 11 m
Starost svemira
4.3 · 10 17 s 4.3 E 17 s

Primjer 2.

Pogledajmo predmetke za mjerne jedinice, zapis potencijom s bazom 10 , njihovu vrijednost i naziv.

Predmetak Potencija Vrijednost Naziv
jota 10 24 1 000 000 000 000 000 000 000 000 kvadrilijun
zeta 10 21 1 000 000 000 000 000 000 000 trilijarda
eksa 10 18 1 000 000 000 000 000 000 trilijun
peta 10 15 1 000 000 000 000 000 bilijarda
tera 10 12 1 000 000 000 000 bilijun
giga 10 9 1 000 000 000 milijarda
mega 10 6 1 000 000 milijun
kilo 10 3 1 000 tisuću
hekto 10 2 100 sto
deka 10 1 10 deset

Zanimljivost

Više o velikim brojevima možete saznati na poveznici Veliki brojevi.

Primjer 3.

Pri prijevodu teksta koji sadrži velike brojeve sa engleskog jezika često se griješi zbog različitog imenovanja potencija s bazom 10 .

Mi koristimo takozvanu Dugu ljestvicu.

Duga ljestvica Kratka ljestvica
Milijun 10 6   Milijun
Milijarda 10 9   Bilijun
Bilijun 10 12   Trilijun
Bilijarda 10 15   Kvadrilijun
Trilijun 10 18   Kvintilijun

Zanimljivost

U tablici su navedeni nazive za milijardu i bilijun na nekoliko europskih jezika. Uočimo da samo engleski i portugalski imaju bitno različite nazive.

Jezik Naziv za milijardu Naziv za bilijun Zapis milijarde
Hrvatski milijarda bilijun 10 6
Talijanski miliardo billione
Nizozemski miljard biljoen
Finski miljardi biljoona
Mađarski millárd billió
Njemački Milliarde Billion
Francuski milliard billion
Španjolski mil millones billones
Slovenski milijard bilijona
Portugalski bilhão trilhão
Engleski billion trilion

Kada zapišemo 10 6 svi se razumijemo.

U ovom primjeru ćemo obratiti pažnju na često krivo prevedene nazive za velike brojeve pri prijevodu s engleskog jezika na hrvatski.

Primjer 4.

Planet zemlja
Planet zemlja

Prevedimo rečenicu s engleskog jezika na hrvatski s poveznice

When the sollar sistem settled into its current layout about 4.5 billion years ago, Earth… become the third planet from the sun.

Ono što je istaknuto je procjena znanstvenika prije koliko godina je nastao

Sunčev sustav, 4.5 billion years.

Vrlo često se to prevede kao 4.5 bilijuna godina što nije točno.

Ispravan prijevod je 4.5 milijardi godina.

Zadatak 3.

Kako točno treba prevesti brojeve iz zadanog teksta na engleskom jeziku?

  1. A petaflop is a measure of a computer's processing speed and can be expressed as a thousand trillion floating point operations per second.

    Podebljani je brojčani izraz u prijevodu:

    null
    null
  2. More than 50 000 meteorites have been found on Earth. Of these, 99.8 percent come from asteroids. Evidence for an asteroid origin includes orbits calculated from photographic observations of meteorite falls projected back to the asteroid belt; spectra of several classes of meteorites match those of some asteroid classes; and they are very old, 4.5 to 4.6 billion years.

    Podebljani je brojčani izraz u prijevodu:

    null
    null

Primjena zapisa potencijom s bazom 10

Zadatak 4.

Istraži potrebne podatke.

Upari odgovarajuće veličine i potencije s bazom 10 i najvećim eksponentom koji se spominje u izgovoru ili zapisu podatka koji ste pronašli. ( Na primjer u broju 345 , tristotine četrdeset i pet najveći je eksponent vezan uz broj​ 100 = 10 2 ).

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

Dovuci potencije s bazom 10 na predmetke mjernih jedinica.

 Uparite:

10 12
 kilo
10
 deka
10 3
 tera
10 6
 mega
10 9
 giga
null
null

Množenje i dijeljenje potencija s bazom 10

U videu će biti opisano kako pojednostaviti izraz 10 4 · 10 2

Primjer 5.


10 4 · 10 2 = 10 000 · 100 = 1 000 000 = 10 6

10 4 · 10 2 = 10 6 = 10 4 + 2

10 m · 10 n = 10 m + n , m , n N

Potencije s bazom 10 množimo tako da bazu prepišemo, a eksponente zbrojimo. Taj zbroj eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom 10 .

10 m · 10 n = 10 m + n , m , n N

Zadatak 6.

Pomnožite potencije s bazom 10 i označite točan odgovor.

  1. 10 3 · 10 2 =

    null
    null
  2. 10 2 · 10 7 =  

    null
    null
  3. 10 5 · 10 4 =

    null
    null
  4. 10 · 10 8 =  

    null
    null
  5. 10 5 · 10 · 10 6 =  

    null
    null

Zadatak 7.

Dovucite izračun umnoška potencija s bazom 10 na uparite s točnim rezultatom.

 Spojite parove:

10 6 · 10 · 10
  10 11
10 9 · 10 10 · 10
  10 9
10 2 · 10 3 · 10
  10 6
10 · 10 2 · 10 6
  10 8
10 3 · 10 · 10 7  
  10 20
null
null

U videu će biti opisano kako pojednostaviti izraz 10 8 : 10 6 .

Primjer 6.

10 8 : 10 6 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 = 10 2

10 8 : 10 6 = 10 2

10 8 : 10 6 = 10 2 = 10 8 - 6

10 m : 10 n = 10 m 10 n = 10 m - n m , n N

Potencije s bazom 10 dijelimo tako da bazu prepišemo, a eksponente oduzmemo. Tu razliku eksponenata zapišemo u eksponent potencije s bazom 10 .

10 m : 10 n = 10 m 10 n = 10 m - n m , n N

Primjer 7.

Izračunajmo.

10 5 · 10 4 : 10 7

Kada nema zagrada vršimo računske operacije s lijeva na desno.

10 5 · 10 4 : 10 7 = 10 5 + 4 : 10 7 = 10 9 : 10 7 = 10 9 - 7 = 10 2


Primjer 8.

Izračunajmo

10 14 : 10 5 : 10 3

Kada nema zagrada vršimo računske operacije s lijeva na desno.

10 14 : 10 5 : 10 3 = 10 14 - 5 : 10 3 = 10 9 : 10 3 = 10 9 - 3 = 10 6


Primjer 9.

Izračunajmo

10 14 : 10 5 : 10 3

Kada su zagrade prvo riješimo račun unutar zagrada.

10 14 : 10 5 : 10 3 = 10 14 : 10 5 - 3 = 10 14 : 10 2 = 10 14 - 2 = 10 12  


  10 14 : 10 5 : 10 3 10 14 : 10 5 : 10 3

Zadatak 8.

Izračunajte i uparite s točnim rješenjem.

  1. 10 3 : 10 2 =

    null
    null
  2. 10 12 : 10 7 =

    null
    null
  3. 10 5 · 10 7 : 10 4 =  

    null
    null
  4. 10 : 10 7 : 10 6 =

    null
    null
  5. 10 15 : 10 · 10 10 =  

    null
    null

Zadatak 9.

Dovucite izračune izraza na točne vrijednosti.

Spojite parove:

10 6 : 10 3 · 10 3
10 1
10 : ( 10 5 : 10 4 )
  10 6
10 10 : 10 10 · 10  
1
10 9 : 10 · 10 3
10 5
10 5 : 10 :10
  10 11
10 · 10 5 : 10 4  
10 2   ​
null
null

Zadatak 10.

Nadopuni prazne kvadratiće kako bi jednakosti bile ispravne.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom 10 za rješavanje problema

Primjer 10.

Milimetarski papir s istaknutim kvadratnim centimetrom

Odredimo koliko je četvornih milimetara na ovom milimetarskom papiru?

Zapišimo na papir rezultat koristeći potenciju broja 10 s prirodnim eksponentom.

Istaknuti kvadratić je kvadratni centimetar.

Dulja stranica iznosi 24 centimetra, a kraća 19 centimetara.

Dakle, dulja stranica iznosi 240 milimetra, a kraća 190 milimetara.

Kada pomnožimo 240 · 190 = 45 600  

45 600 = 456 · 100 = 456 · 10 2

Na papiru je 456 · 10 2 mm 2


Broj oblika k · 10 n = k 10 n , k Q sastoji se od racionalnog koeficijenta k i potencije broja 10 s prirodnim eksponentom.

U videu je opisano kako prikazati iznos koristeći umnožak racionalnog broja i potencije s bazom 10 .

Zadatak 11.

Dovuci iznose zapisane u dekadskom obliku na odgovarajuće zapise umnoška koeficijenta i potencije broja 10 s prirodnim eksponentom.

 Uparite:

150 000 000  
15 · 10 7  
15 000 000  
15 · 10 6  
1 500  
15 · 10 8  
1 500 000 000  
15 · 10 2  
150 000  
15 · 10 4   ​
null
null

Zadatak 12.

Udaljenost od Zemlje do Sunca približno iznosi 150 000 000 km . Zapiši na papir tu udaljenost u metrima koristeći potenciju broja 10 s prirodnim eksponentom.

Izražen u kilometrima zapis je 150 000 000 = 15 · 10 000 000 = 15 · 10 7 km .

Preračunajmo to sada u metre.

15 · 10 7 = 15 · 10 7 · 10 3 = 15 · 10 7 + 3 = 15 · 10 10  

Udaljenost od Zemlje do Sunca iznosi približno 15 · 10 10 m .


Zadatak 13.

Zemlja ima atmosferu.

Podijelili smo ju na nekoliko slojeva.

Pridruži podatcima na slici zapis pomoću koeficijenta i potencije s bazom 10 i prirodnim eksponentom.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjena množenja i dijeljenja potencija s bazom 10

Brojeve oblika a · 10 n i b · 10 m množimo tako da pomnožimo koeficijente a i b i potencije 10 n i 10 m .

a · 10 n · b · 10 m =

Brojeve oblika a · 10 n i b · 10 m dijelimo tako da podijelimo koeficijente a i b i potencije 10 n i 10 m .

a · 10 n : b · 10 m = a : b · 10 n - m gdje su a , b Q , b 0 , m , n N , n m

Zadatak 14.

Mravlji mozak ima oko 250 000 moždanih stanica.

Ljudski mozak ih ima oko 10 milijardi.

Koliko bi brojila kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek?

Zapišimo podatke umnoškom koeficijenta i potencije s bazom 10 .

Zapišimo broj moždanih stranica kod ljudi

10 milijardi, 1 000 000 000 = 10 10 .

Zapišimo broj moždanih stranica kod mrava

250 000 = 25 · 10 4

Podijelimo broj moždanih stanica lljudskog mozga s brojem stanica mravljeg mozga.

10 10 : ( 25 · 10 4 ) =

10 2 + 8 : ( 25 · 10 4 ) =

( 10 2 · 10 8 ) : ( 25 · 10 4 ) =

( 100 : 25 ) · ( 10 8 : 10 4 ) =

4 · 10 8 - 4 = 4 · 10 4

Ljudski mozak ima 4 · 10 4 , 40 000 puta više moždanih stanica od mrava.

Kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek bi imala 40 000 mrava.


Zadatak 15.

Jedna kolonija mrava prosječno broji oko pola milijuna mrava.

Kolonija mrava, mravinjak, koja ima isti broj moždanih stanica kao jedan čovjek ima oko 40 000 mrava.

Koliko bi ljudi trebalo živjeti skupa kako bi imali jednak broj moždanih stanica kao jedan prosječni mravinjak?

Podijelimo prosječni broj marava u mravinjaku 500 000 = 5 · 10 5 s brojem mrava koji imaju isti broj moždanih stanica kao i čovjek 40 000 = 4 · 10 4 .

( 5 · 10 5 ) : ( 4 · 10 4 ) =

( 5 : 4 ) · ( 10 5 : 10 4 ) =

1.25 · 10 5 - 4 =

1.25 · 10 1 = 1.25 · 10 = 12.5

Broj koji predstavlja broj ljudi mora biti prirodni broj pa je rješenje zadatka prvi veći prirodni broj od dobivenog rješenja.​

Skupa bi trebalo živjeti barem 13 ljudi.


Zadatak 16.

Masa Zemlje približno iznosi 6 · 10 24 kg , masa Mjeseca 735 · 10 20 kg .

Koliko je puta Zemljina masa veća od Mjesečeve mase?

Prikažimo iznos mase Zemlje tako da koeficijent bude veći od koeficijenta kod iznosa mase Mjeseca

6 · 10 24 = 6 · 10 21 + 3 = 6 · 10 3 · 10 21 = 6 · 1 000 · 10 21 = 6 000 · 10 21  

Podijelimo iznose mase Zemlje i mase Mjeseca

6 · 10 24 : 735 · 10 20 =

6 000 · 10 21 : 735 · 10 20 =

6 000 : 735 · 10 21 : 10 20 8.1 · 10 1 = 81

 Zemljina masa je 81 puta veća od Mjesečeve mase.


Zadatak 17.

Dovucite izračun vrijednosti zadanih izraza na točno rješenje.

Spojite parove:

( 24 · 10 5 ) : ( 12 · 10 3 )
12
9 · 10 7 · 8 · 10 3
1 4 · 10 6 2 2 5 · 10 2
3 5 · 10 4
2 3 · 10 8
3 4 · 10 6 8 9 · 10 2
13 · 10 10
14.4 · 10 8 : 12 · 10 7
72 · 10 10
78 · 10 21 : 6 · 10 11
2 · 10 2
null
null

Zadatak 18.

Površina Republike Hrvatske iznosi 56 594 km 2 , ili približno 56 600 km 2 . Koliko je puta površina američke savezne države Colorado, 27 · 10 4   km 2 , veća od površine Republike Hrvatske?

Podijelomo iznose površina država Colorado i Hrvatske.

( 27 · 10 4 ) : ( 5.6 · 10 4 ) = ( 27 : 5.6 ) · ( 10 4 : 10 4 ) = 4.82 · 1 = 4.82

Površina američke savezne države Kolorado veća je od površine Republike Hrvatske skoro 5   puta.


Zadatak 19.

Zemlja je od Sunca udaljena približno 15 · 10 7 kilometara.

Neptun je od Sunca udaljen približno 45 · 10 8 kilometara.

Koliko je puta Neptun udaljeniji od Sunca nego Zemlja?

Podijelimo iznose udaljenosti od Sunca do Neptuna i od Sunca do Zemlje.

( 45 · 10 8 ) : ( 15 · 10 7 ) = ( 45 : 15 ) · ( 10 8 : 10 7 ) = 3 · 10 8 - 7 = 3 · 10 = 30

Neptun je 30   puta udaljeniji od Sunca nego Zemlja.


Zanimljivosti, projekti...

Zanimljivost

Današnji svijet zasnovan je na procesorima koji u sekundi izvrše nekoliko milijardi proračuna, a najnoviji procesor kompanije IBM pod nazivom  TrueNorth baziran je na ljudskom mozgu, tj. imitira njegovu strukturu. Iako današnji procesori imaju nekoliko jezgara i puno snage, nikako se ne mogu mjeriti s našim mozgom.

Ljudski mozak sastoji se od 1 bilijardu sinapsi, a jedan od najjačih superračunala na svijetu "razmišlja" 1 500 puta sporije od čovjeka. Računalima je za oponašanje ljudskog mozga potrebno jako puno snage jer je ono što naš mozak radi čak i pasivno nevjerojatno složeno. Situacije poput one u kojoj lopta leti prema vama, a vi je uhvatite rukom za ljude je poprilično jednostavna, ali da bi to učinilo računalo potrebni su kompleksni proračuni i puno snage.

Rad na TrueNorth procesoru IBM je započeo sada već davne 2008. godine, sve u cilju kreiranja nove forme računalne arhitekture, računalnih jezgri, koja će biti bazirana na ljudskom mozgu. Sve ove jezgre rade u harmoniji i čine milijun neurona te 256 milijuna sinapsi. Ovo je i dalje daleko od snage ljudskog mozga i naših 100 milijardi neurona i 1 bilijardu sinapsi, ali to je upravo i krajnji cilj IBM-ovog projekta.

Više o ovoj zanimljivoj temi pročitajte na poveznici .

Projekt

Sve podatke iz teksta u Zanimljivosti napišite koristeći potenciju s bazom deset.

Zanimljivost

Superračunala nevjerojatno su moćni strojevi.

Superračunala se koriste u programima za razvoj oružja, u istraživanjima procesa fuzije, klimatskih promjena, kod velikih i kompleksnih simulacija u genetici i sl.

Povezuju desetke tisuća procesora kako bi se postigle nevjerojatne računalne brzine koje se mjere u Petaflopsima.

Jedan FLOPS označava jednu matematičku radnju sa pomičnim zarezom (floating point) u sekundi.

Jedan Petaflops iznosi 1 bilijardu izračuna u sekundi.

Više o superračunalima pročitajte na povetnici superračunala

Zadatak 20.

Zapiši potencijom s bazom 10 i prirodnim eksponentom koliko vrijedi jedan Petaflops.

Jedan Petaflops predstavlja 10 15 izračuna u sekundi.


Zadatak 21.

Najjače superračunalo je kineski Sunway Taihu Light sa 93 PFlopsa .

Najjače američko superračunalo je Titan sa 17 PFlopsa.

Koliko je puta brži Sunway TaihuLight od Titana?

superračunalo
Izgled superračunala.

Podijelimo

( 93 · 10 15 ) : ( 17 · 10 15 ) = ( 93 : 17 ) · ( 10 15 : 10 15 ) 5.5

 Sunway TaihuLight je 5.5 puta brži od Titana.


Zanimljivost

Hrvatska, prema podatcima iz 2014., ima dva superračunala, Isabella u Zagrebu i Bura u Rijeci.

Više o Isabelli počitajte na poveznici Isabella 

Više o Buri počitajte na poveznici Bura

Zadatak 22.

Ilustracija ljudskog mozga

Neuroni su živčane stanice.

Ljudski mozak ih ima oko 100 milijardi.

Sinapse su specijalizirani oblici veza među neuronima.

U ljuskom mozgu je približno 1 bilijarda sinapsi.

To je jednako pola milijarde sinapsi po kubičnom milimetru.

Koliko je sinapsi po kubičnom centimetru?

Preračunajmo kubični centiometar u kubične milimetre.

1 cm 3 = 1 000 mm 3 = 10 3 mm 3  

Pola milijarde, zapisano potencijom 0.5 · 10 9 , sinapsi po kubičnom milimetru. ​

U kubičnom centimetru je 0.5 · 10 9 · 10 3 = 0.5 · 10 9 + 3 = 0.5 · 10 12 , pola bilijuna sinapsi.


Zadatak 23.

Koliko bi, najmanje, trajalo brojanje svih neurona, 100 milijardi na način da nam za svakog treba 1 sekunda?


Zanimljivost

Za brojanje svih neurona u ljudskom mozgu trebalo bi nam najmanje 3 172 godine.

Odaberimo sadašnjost kao 2017. godinu.

Koja je godina bila prije 3 172 godina?

2 017 - 3 172 = - 1 155

Kako smo dobili negativan broj znači da je to godina prije Krista, 1155 pr. Kr.

U to doba je živio i umro Ramzes III, egipatski faraon.

Da je on počeo brojati do broja neurona, 100 milijardi, tek danas bi završio brojanje.​

...i na kraju

Ponovimo:

  1. Analiziraj što je točno, a što netočno

    null
    null
  2. 2.5 · 10 9 · 5 · 10 7 =

    null
    null
  3. ( 14.4 · 10 6   ) ( 12 · 10 4 ) =

    null
    null

Riješite zadatak samostalno:

Najnoviji procesor kompanije IBM pod nazivom TrueNorth baziran je na ljudskom mozgu, tj. imitira njegovu strukturu. Sve njegove jezgre rade u harmoniji i čine milijun neurona te 256 milijuna sinapsi. Ovo je i dalje daleko od snage ljudskog mozga i naših 100 milijardi neurona i 1 bilijardu sinapsi, ali to je upravo i krajnji cilj IBM-ovog projekta. Koliko puta ljudski mozak ima više sinapsi?

Koliko puta ljudski mozak ima više neurona?

Idemo na sljedeću jedinicu

2.3 Potenciranje potencije s bazom 10