x
Učitavanje

2.5 Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na fotografiji je prikazana zgrada sjedišta kompanije Google
Sjedište kompanije Google

Jeste li znali?

Gugol (engl. googol) je naziv za broj koji u svome dekadskom zapisu ima znamenku 1 koju slijedi sto nula tj. broj 10 100 . Ime mu je dao devetogodišnji dječak Milton Sirotta, nećak matematičara Edwarda Kasnera. Gugolpleks (engl. googolplex) je broj 10 g o o g o l .

Poznata tražilica Google dobila je svoje ime po netočno napisanom nazivu ovoga broja. Njezini su osnivači, Larry Page i Sergey Brin, 1997. godine birali naziv svoje tvrtke. U pretraživač slobodnih domena zabunom su upisali google umjesto googol. Domena je bila slobodna, a naziv im se svidio te su je odabrali za svoju tražilicu. Čak je i sjedište kompanije koje se nalazi u Kalifoniji (Mountain View) nazvano Googleplex!

Brojevi, brojevi, brojevi

Zadatak 1.

Zapišite u bilježnicu broj koji je tri puta veći od gugola.

3 · 10 100  


Zadatak 2.

Na slici je prikazan planet Zemlja
Planet Zemlja

Sljedeći broj zapišimo u bilježnicu kao umnožak cijelog broja i što više desetki. Zatim zapišimo umnožak kao umnožak cijelog broja i potencije broja 10 .

Približni broj stanovnika Zemlje iznosi 7 500 000 000 .

7 500 000 000 = 75 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 75 · 10 8


Zadatak 3.

Sljedeće brojeve zapišite u bilježnicu kao umnoške cijelih brojeva i što više desetki, a zatim kao umnoške cijelih brojeva i potencija broja 10 .

  1. Brzina svjetlosti iznosi približno 1 080 000 000 km/h .
  2. Udaljenost Zemlje od Sunca iznosi približno 150 000 000 km .
  1. 1 080 000 000 = 108 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 108 · 10 7 km/h
  2. 150 000 000 = 15 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 15 · 10 7 km

Svaki višekratnik broja 10 može se zapisati kao umnožak cijelog broja i potencije broja 10 .

Zadatak 4.

Ponovite pretvorbe mjernih jedinica koristeći potencije broja 10 .

  1. Koliko kilometar ima milimetara?

     

    null
  2. Koliko 7   tona ima kilograma?​

    null
  3. Koliko 15   metara ima milimetara?​

    null
  4. Koliko 9 dm 2 ima mm 2 ?

    null
  5. Koliko 2 km 2 ima m 2 ?

    null
  6. Koliko 4 kg   ima g ?

    null

Zbrajanje i oduzimanje potencija s bazom 10

Zanimljivost

Rhindov papirus jedan je od najstarijih sačuvanih matematičkih rukopisa. Zapisao ga je staroegipatski pisar Ahmes te se stoga često naziva i Ahmesov papirus.

Naziv Rhindov papirus dobio je po egiptologu Alexanderu Henryju Rhindu koji ga je kupio u Luxoru 1858. godine. Sadrži 87 matematičkih problema i prikaz je matematičkog znanja starih Egipćana. Iz njega je vidljivo da su stari Egipćani znali dijeliti i množiti, računati s razlomcima te rješavati probleme iz geometrije, kao što su problemi vezani za površine i volumene. Zanimljivo je da je približna vrijednost broja π  u tome dokumentu 3.16 .

Danas se Rhindov papirus čuva u Britanskom muzeju u Londonu.

Na fotografiji je prikaz Rhindova papirusa.
Rhindov papirus

Jedan od zadataka zapisanog u Rhindovu papirusu iz 1650. godine prije nove ere glasi: U svakoj je od sedam kuća sedam mačaka, svaka mačka uhvati po sedam miševa od kojih bi svaki pojeo po sedam klasova žita, iz svakog bi klasa niklo sedam mjerica zrnja. Cilj je zadatka odrediti koliko je ukupno toga opisano tekstom zadatka.

7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 7 5 = 7 + 49 + 343 + 2 401 + 16 807 = 19 607


Zadatak 5.

Preoblikujmo zadatak u sljedeći: U svakoj je od deset kuća deset mačaka koje uhvate po deset miševa od kojih svaki jede deset zrna pšenice, a svako zrno daje deset mjerica žita. Koliko je ukupno životinja/stvari opisano u zadatku?

10 + 10 2 + 10 3 + 10 4 + 10 5 = 10 + 100 + 1 000 + 10 000 + 100 000 = 111 110


Kao što vidimo, ponekad je potrebno zbrojiti i/ili oduzeti potencije. No, moramo li uvijek brojeve zapisati u dekadskom zapisu pa ih onda zbrojiti? Istražimo.

Povezani sadržaji

Napišite u bilježnicu formulu za opseg geometrijskog lika uz oznake na slici. Prisjetite se, opseg geometrijskog lika jednak je zbroju duljina svih stranica koje ga omeđuju.

Na slici su geometrijski likovi s istaknutim duljinama stranica.

o 1 = c + d + c + d = 2 c + 2 d

o 2 = ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) + ( x + y ) = 4 x + 4 y

o 3 = 1 - 2 s + s 2 + 1 + 2 s 2 + z = 3 s 2 - 2 s + z + 2


Povezani sadržaji

Na slici je prikazana knjižara.

Željko kupuje poklone za svojih 10 prijatelja. Odlučio je da će nekima kupiti CD, a nekima knjigu. Cijena knjiga koje želi kupiti iznosi 80 kn po komadu, a CD-a 75 kn po komadu. Napiši u bilježnicu izraz za ukupan iznos koji Željko treba potrošiti na poklone u ovisnosti o broju kupljenih knjiga. Odredite iznos koji treba platiti ako kupi 6 knjiga.

Neka n predstavlja broj kupljenih knjiga. Tada 10 - n predstavlja broj kupljenih CD-a.

S obzirom na to da je cijena knjige 80 kn   po komadu, knjige će ukupno platiti 80 n kuna. Cijena CD-a po komadu iznosi  75 kuna te će CD-e ukupno platiti 75 ( 10 - n ) kn .

Dakle, ukupno će platiti 80 n + 75 ( 10 - n ) tj. 80 n + 750 - 75 n = 5 n + 750 kn .

Ako kupi 6 knjiga, ukupno će platiti 5 · 6 + 750 = 780 kn .


Uočite! Odgovarajući se članovi (istoimeni članovi npr. 3 i - 5 ; 2 x i 7 x ; 4 y 3 i - y 3 ) uvijek mogu zbrojiti i oduzeti te se na taj način pojednostavljuje algebarski izraz. ​

Npr. 7 + 5 z + 11 z = 7 + 5 + 11 z = 7 + 16 z

Zadatak 6.

Spojite članove na njihove odgovarajuće (istoimene) članove.

5 · 10 7   ​
- 8 a   ​
- x y 2   ​
5 d 3   ​
11 d 3
3 y 2 x   ​
3 · 2 8
- 7 · 2 8
6 a
- 2 · 10 7

 

null

Zadatak 7.

Osmi razred neke škole za kraj školske godine naručuje razredne majice. Cijena bijele majice s tiskom iznosi 30 kn , a crvene 45 kn . Napišite u bilježnicu izraz za ukupan iznos koji razredni odjel od 24 učenika treba platiti za majice u ovisnosti o broju bijelih majica.

Neka b predstavlja broj bijelih majica. Tada broj crvenih majica iznosi 24 - b .

Ukupan iznos koji treba platiti tada iznosi:

30 b + 45 24 - b = 30 b + 1 080 - 45 b = 1 080 - 15 b .


Baš kao što ste u prethodnim zadatcima zbrajali i/ili oduzimali samo odgovarajuće članove, tako ćemo pri radu s potencijama zbrajati i/ili oduzimati samo potencije koje imaju jednake baze i jednake eksponente. Baza naših potencija bit će broj 10 .

Primjer 1.

Izlučimo zajednički faktor i izračunajmo.

  1. 2 · 10 3 + 5 · 10 3
  2. 5 · 10 4 - 6 · 10 4  
  3. 4 · 10 - 2 + 3 · 10 - 2
  1. 2 · 10 3 + 5 · 10 3 = 2 + 5 · 10 3 = 7 · 10 3 .

    Rezultat provjerimo.

    2 · 10 3 + 5 · 10 3 = 2 000 + 5 000 = 7 000 = 7 · 10 3 ​​

  2. 5 · 10 4 - 6 · 10 4 = ( 5 - 6 ) · 10 4 = - 1 · 10 4

    Rezultat provjerimo.

    5 · 10 4 - 6 · 10 4 = 50 000 - 60 000 = - 10 000 = - 1 · 10 4

  3. 4 · 10 - 2 + 3 · 10 - 2 = ( 4 + 3 ) · 10 - 2 = 7 · 10 - 2

    Rezultat provjerimo.

    4 · 10 - 2 + 3 · 10 - 2 = 0.04 + 0.03 = 0.07 = 7 · 10 - 2


Zbrajati i oduzimati mogu se samo potencije koje imaju jednake baze i jednake eksponente. Potencije jednakih baza i jednakih eksponenata zbrajamo i oduzimamo tako da im zbrojimo/oduzmemo njihove koeficijente te rezultat pomnožimo zajedničkom potencijom.

  • a · 10 n + b · 10 n = a + b · 10 n , za n , a , b N
  • a · 10 n - b · 10 n = a - b · 10 n , za n N , a , b Z

Zadatak 8.

Izlučite zajednički faktor pa izračunajte 2 · 10 5 + 3 · 10 5 + 4 · 10 5 .

2 · 10 5 + 3 · 10 5 + 4 · 10 5 = 2 + 3 + 4 · 10 5 = 9 · 10 5


Zadatak 9.

Izračunajte - 3 · 10 8 + 2 · 10 8 .

- 3 · 10 8 + 2 · 10 8 = ( - 3 + 2 ) · 10 8 = - 1 · 10 8 = - 10 8

Prisjetite se.

1 · 10 n = 10 n - 1 · 10 n = - 10 n


Zadatak 10.

Izračunajte 10 - 6 - 3 · 10 - 6 .

10 - 6 - 3 · 10 - 6 = - 2 · 10 - 6


Zadatak 11.

Dovucite zadatak na njegovo odgovarajuće rješenje.

- 10 - 2 - 10 - 2
  - 2 · 10 - 2
7 · 10 3 + 3 · 10 3
10 4
5 · 10 8 - 7 · 10 8
2 · 10 4
10 4 + 10 4
10 8
9 · 10 7 + 10 7
  - 2 · 10 8
null

 

Zadatak 12.

Na slici se nalazi bilježnica s evidencijom neizvršavanja obaveza pranja posuđa za veljaču

Studenti Mateja, Tomica i Karlo zajednički iznajmljuju stan i dijele zaduženja oko pospremanja. No, ponekad svoje obveze ne izvršavaju kako treba. Najveći im problem predstavlja pranje posuđa. Stoga su odlučili da će na kraju mjeseca svaki od njih u zajedničku kasicu za kupnju namirnica ubaciti 10 n lipa gdje n predstavlja broj dana u mjesecu kada netko od njih nije oprao posuđe na dan kada je bio njegov red.

  1. Na kraju veljače pogledali su evidenciju neizvršenih obveza pranja posuđa. Koliko novca u kasicu treba ubaciti svaki od njih? Koliko su ukupno novca ubacili u kasicu? ​
  2. Nakon koliko bi puta netko u kasicu trebao ubaciti 1 000 kn ?
  3. Koliko bi trebao platiti netko tko nije suđe oprao 10 dana? ​
  4. Nakon godine dana Mateja je pogledala zabilješke u bilježnici.

    • Sedam je puta morala ubaciti novac u kasicu jer 2 puta u istom mjesecu nije oprala posuđe.

    • Četiri je puta morala ubaciti novac u kasicu jer jedanput u istom mjesecu nije oprala posuđe.

    • Jedanput je morala u kasicu ubaciti novac jer 3 puta u istom mjesecu nije oprala posuđe. ​

    Koliko je ukupno te godine ubacila u kasicu?

  1. Mateja je u kasicu ubacila 10 3 lipa, Tomica 10 2 lipa, a Karlo 10 4 lipa, tj. Mateja je ubacila 1 000 lp = 10 kn , Tomica 100 lp , tj. 1 kn , a Karlo 10 000 lp , tj. 100 kn . Dakle, ukupno su u kasicu stavili 10 + 4 + 100 = 114 kn .

  2. 1 000 kn je 100 000 lp . 100 000 = 10 5 tj. n = 5 . Nakon što netko toga mjeseca 5 puta ne izvrši svoje zaduženje pranja posuđa, morao bi u kasicu ubaciti 1 000 kn .

  3. Kad netko ne bi posuđe oprao 10  dana trebao bi u kasicu ubaciti 10 10 = 10 000 000 000 lp = 100 000 000 kn !

  4. Ukupno je u kasicu ubacila 7 · 10 2 + 4 · 10 1 + 10 3 kn . U ovome su zadatku potencije broja 10 različite te zadatak znamo riješiti isključivo pretvaranjem u dekadski zapis.

    7 · 10 2 + 4 · 10 1 + 10 3 = 700 + 40 + 1 000 = 1 740 kn

    Mateja je tijekom godine u kasicu ubacila ukupno 1 740 kn .


Kao što ste vidjeli u prethodnom zadatku, ponekad je potrebno zbrojiti/oduzeti brojeve zapisane potencijama broja 10 koje nemaju iste eksponente. Takvi se brojevi uvijek mogu zapisati u svojim dekadskim ili decimalnim zapisima te onda zbrojiti/oduzeti, ali taj postupak nije uvijek brz i učinkovit.

Povezani sadržaji

U petome ste razredu u cjelini Prirodni brojevi proučavali mjesne vrijednosti. Promotrite kako su mjesne vrijednosti povezane s potencijama broja 10 .

Na slici su prikazane mjesne vrijednosti broja.

123 456.789 = 1 · 10 5 + 2 · 10 4 + 3 · 10 3 + 4 · 10 2 + 5 · 10 1 + 6 · 10 0 + 7 · 10 - 1 + 8 · 10 - 2 + 9 · 10 - 3

Primjer 2.

Izračunajmo 3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 6 · 10 0 + 4 · 10 - 1

3 · 10 2 + 5 · 10 1 + 6 · 10 0 + 4 · 10 - 1 = 300 + 50 + 6 + 0.4 = 356.4


No ponekad je jednostavnije ne pretvarati brojeve u dekadski/decimalni zapis, već samo izlučiti zajedničku potenciju broja 10 .

Primjer 3.

Izlučimo zajednički faktor pa izračunajmo:

  1. - 7 · 10 6 + 4 · 10 5
  2. 9 · 10 7 - 7 · 10 5  
  1. - 7 · 10 6 + 4 · 10 5 = - 7 · 10 · 10 5 + 4 · 10 5 = ( - 70 + 4 ) · 10 5 = - 66 · 10 5

    Rezultat provjerimo pretvaranjem brojeva u dekadski zapis i zbrajanjem/oduzimanjem brojeva u dekadskom zapisu.

    - 7 · 10 6 + 4 · 10 5 = - 7 000 000 + 400 000 = - 6 600 000 = - 66 · 10 5

  2. 9 · 10 7 - 7 · 10 5 = 9 · 10 2 · 10 5 - 7 · 10 5 = 900 - 7 · 10 5 = 893 · 10 5

Zadatak 13.

Izračunajte 3 · 10 2 + 5 · 10 4

Rješenje provjerite tako da brojeve zapišete, u bilježnicu, u dekadskom zapisu te zbrojite.

3 · 10 2 + 5 · 10 4 = 3 · 10 2 + 5 · 10 2 · 10 2 = ( 3 + 500 ) · 10 2 = 503 · 10 2  

Provjera:

3 · 10 2 + 5 · 10 4 = 300 + 50 000 = 50 300 = 503 · 10 2


Brojeve zapisane pomoću potencija broja 10 s različitim eksponentima zbrajamo/oduzimamo tako da ih izrazimo pomoću potencija s istim eksponentom, a zatim zbrojimo/oduzmemo njihove koeficijente.

  • a · 10 n + b · 10 m = a · 10 n - m + b · 10 m
  • a · 10 n - b · 10 m = a · 10 n - m - b · 10 m

m , n N , a , b Z , n > m

Zadatak 14.

Zadatak zapišite u bilježnicu pomoću potencija broja 10 s istim eksponentom, izlučite zajednički faktor pa izračunajte. Rješenje provjerite tako da brojeve zapišete u decimalnom zapisu te ih oduzmete. ​

7 · 10 - 3 - 2 · 10 - 4  

7 · 10 - 3 - 2 · 10 - 4 = 70 · 10 - 4 - 2 · 10 - 4 = ( 70 - 2 ) · 10 - 4 = 68 · 10 - 4 = 6.8 · 10 - 3

Provjera:

7 · 10 - 3 - 2 · 10 - 4 = 0.007 - 0.0002 = 0.0068 = 6.8 · 10 - 3


Zadatak 15.

Izračunajte: 4 · 10 9 - 2 · 10 8 - 6 · 10 8 .

4 · 10 9 - 2 · ( 10 8 - 6 · 10 8 ) = 4 · 10 9 - 2 · 10 8 + 12 · 10 8 = 4 · 10 9 + 10 · 10 8 = 4 · 10 9 + 10 9 = 5 · 10 9


...i na kraju

Naučili ste zbrojiti i oduzeti potencije s bazom 10 i cjelobrojnim eksponentom pri čemu ste primjenjivali pravilan redoslijed računskih radnji. Pokušajte riješiti sljedeće zadatke.

U kućicu ispred zadatka upišite broj kvadratića koji sadrži točan odgovor. Riješite li sve točno, pokazat će se skrivena slika.

Povećaj ili smanji interakciju

Izlučite potenciju broja 10 s manjim eksponentom te izračunajte.

Povećaj ili smanji interakciju

Ukoliko želite rješite zadatke procjene znanja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Koliko je 8 · 10 11 - ( - 7 · 10 11 ) ?​

null
null
2

Je li ​ 5 · 10 7 + 2 · 10 7 = 7 · 10 14 ?

null

Postupak:

5 · 10 7 + 2 · 10 7 = 7 · 10 14

3

Dovucite zadatak na njegovo točno rješenje.

( 32 · 10 2 ) : ( 8 · 10 - 4 ) · ( 2 · 10 12 )
8 · 10 18
6 · 10 7 + 7 · 10 7 - 5 · 10 7
16 · 10 14
( 4 · 10 7 ) 2
8 · 10 7
null
4

Ariana želi proširiti svoju terasu čija je površina 9 · 10 1 m 2 za 1 · 10 2 m 2 . Kolika će biti nova površina terase u metrima kvadratnim. Odaberite sve točne odgovore.

null
null
5

Je li 7 · 10 - 4 + 5 · 10 - 3 = 5.7 · 10 3 ?

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.6 Znanstveni zapis broja