x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Sve je moguće uz malo matematike, zar ne?

    Riješite, provjerite i podijelite

    Za uvježbavanje sličnosti trokuta predlažemo vam nekoliko zadataka koje možete samostalno riješiti u bilježnicu ili u nekom interaktivnom elementu. Posljednjh nekoliko zadataka namijenjeno je onima koji žele znati više, ali svi ih možete pokušati riješiti. Nakon što riješite zadatke, usporedite svoje rješenje s rješenjima ostalih učenika. Podijelite svoje znanje s njima ili ih zamolite da vam pomognu ako vam je neki zadatak težak.

    Zadatak 1.

    Na slici je dužina AB

    Dužinu A B proizvoljne duljine podijelite na 8 jednakih dijelova koristeći se Talesovim poučkom o proporcionalnim dužinama.

    Na slici je pokazano dijeljenje dužine na 8 jednakih dijelova

    Zadatak 2.

    Na slici je dužina AB

    Dužinu A B proizvoljne duljine podijelite točkom T u omjeru 3 : 4 koristeći se Talesovim poučkom o proporcionalnim dužinama.

    Na slici je dužina AB podijeljena u omjeru 3 naprema 4

    Zadatak 3.

    Na slici je kut presječen usporednim pravcima pa možemo primijeniti Talesov poučak pravcima

    Izračunajte nepoznatu duljinu dužine na slici (sve su mjere izražene istom mjernom jedinicom) koristeći se Talesovim poučkom o proporcionalnim dužinama.

    Prema Talesovu poučku usporedni pravci odsijecaju proporcionalne dužine, zato vrijedi

    x : 6 = 12 : 8
    8 · x = 6 · 12
    x = 9 cm .


    Zadatak 4.

    Trokuti su slični ako su im omjeri duljina odgovarajućih stranica jednaki i kutovi jednakih veličina. Dovucite nazive poučaka na odgovarajuće elemente koji su prema određenom poučku dovoljni da se pokaže sličnost trokuta.

    SSS poučak o sličnosti trokuta
    Dva sukladna kuta
    SKS poučak o sličnosti trokuta
    Omjeri svih triju stranica
    KK poučak o sličnosti trokuta
    Omjeri dviju stranica i kut između



    Pomoć:

    Pozorno pročitajte nazive svakog poučka, u kojima K označava kut, a S označava stranicu.

    null

    Zanimljivost

    Svjetionici omogućuju sigurnu dnevnu i noćnu plovidbu morem. Oni su kao semafori na moru. Izgrađeni su na najistaknutijim i na najudaljenijim točkama na moru. Najviši je svjetionik na Jadranu svjetionik Rt Veli rat u Zadarskom arhipelagu. Kula svjetionika visoka je 36 m . Više o svjetionicima možete saznati ovdje.

    Zadatak 5.

    Koliko je svjetionik udaljen od obale?

    Na slici su svjetionik na moru i čovjek na obali čije visine čine odgovarajuće katete pravokutnih trokuta

    Svjetionik je od obale udaljen m .

    Pomoć:

    Uočite kako se na slici nalaze dva slična trokuta. Stavite odgovarajuće stranice u omjer i pronađite rješenje. Rješenje zapišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto. Obrati pozornost na duljinu mola.

    null

    Zadatak 6.

    Trokut A B C sličan je manjem trokutu A ' B ' C ' s koeficijentom k = 5 3 . Izračunajte nepoznate duljine stranica tih trokuta ako je zadano a = 12 cm , c = 13.5 cm i b ' = 3 cm .

    Na slici su slični trokuti

    Nacrtajmo skicu.

    Trokuti su slični s koeficijentom k = 5 3 . A B C veći trokut a = 12 cm , b = ? , c = 13.5 cm

    A ' B ' C ' manji trokut a ' = ? , b ' = 3 cm , c ' = ?

    a a ' = 5 3 , 12 a ' = 5 3 , a ' = 7.2 cm

    b b ' = 5 3 , b 3 = 5 3 , b = 5 cm

    c c ' = 5 3 , 13.5 c ' = 5 3 , c ' = 8.1 cm  

    Duljine nepoznatih stranica su a ' = 7.2 cm , b = 5 cm i c ' = 8.1 cm .


    Zadatak 7.

    U Minimundusu se nalazi više od 150 minijaturnih modela građevina izrađenih u mjerilu 1 : 25 . Kolika je visina minijaturne građevine Eiffelova tornja u Minimundusu ako je stvarna visina tornja 300 m ?

    Visina Eiffelova tornja u Minimundusu iznosi m .

    Pomoć:

    Rješenje dobijete tako da visinu stvarnog Eiffelova tornja podijelite s 25 . Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

    null

    Zanimljivost

    Na slici je fotografija tematskog parka u Austriji - Minimundusa

    Minimundus je park minijaturnih građevina u Klagenfurtu u Austriji. Nalazi se na jezeru Wörthsee i sadržava 156 modela poznatih građevina iz 40 zemalja koje su izađene u mjerilu 1 : 25 .

    Više o Minimundusu možete pročitati na službenoj stranici parka.

    Projekt

    Odaberite jednu manju građevinu u svojemu mjestu i saznajte njezinu visinu. Izradite  minijaturni model te građevine prema uzoru na one u Minimundusu. Možete ih izraditi i nekoliko te organizirati izložbu.

    Zadatak 8.

    Omjer odgovarajućih stranica sličnih trokuta je 4 : 3 . Ako znate da je opseg većeg trokuta 60 cm , koliki je opseg manjeg trokuta?

    Označite opseg manjeg trokuta s o .

    60 : o = 4 : 3  

    4 o = 180  

    o = 45 cm .


    Zadatak 9.

    Duljine stranica jednog trokuta iznose 3 cm , 6 cm i 8 cm . Opseg njemu sličnog trokuta iznosi 68 mm . Izračunajte duljine stranica drugog trokuta.

    Označimo vrhove ovog trokuta s A ' B ' C ' , a opseg s o ' .

    o ' = 3 + 6 + 8 = 17 cm = 170 mm

    o = 68 mm

    k = 170 68 = 5 2

    Iz 3 a = 5 2 slijedi a = 1.2 cm

    Iz 6 b = 5 2  slijedi b = 2.4 cm .

    Iz 8 c = 5 2  slijedi c = 3.2 cm.

    Duljine stranica trokuta A B C iznose 1.2 cm , 2.4 cm i 3.2 cm .


    Zadatak 10.

    Nacrtajte trokut A B C s duljinama stranica a = 2 cm , b = 2.4 cm i c = 2.6 cm . Zatim nacrtajte njemu sličan trokut tako da novi trokut i početni trokut budu u omjeru 3 : 2 . Zadatak riješite tako da prvo izračunate duljine odgovarajućih stranica i nacrtate oba trokuta u bilježnici. Zatim sve provjerite u GeoGebrinu interaktivnom predlošku.

    Ako je omjer 3 : 2 , znači da je novi trokut sličan početnom s koeficijentom 3 2 = 1.5 . Stranice novog trokuta bit će 1.5 puta dulje od duljina stranica početnog trokuta.

    Zadatak ste mogli riješiti i s pomoću razmjera.

    Duljine stranica novog trokuta iznose 3 cm , 3.6 cm i 3.9 cm .


    Povećaj ili smanji interakciju

    Kutak za znatiželjne

    Zanimljivost

    Zadatci sa sličnim trokutima katkad se pojavljuju na Državnoj maturi pa predlažemo da pogledate i sljedeće zadatke.

    Zadatak 11.

    Omjer površina sličnih trokuta iznosi 9 : 64 . Ako je opseg većeg trokuta 20 cm , koliki je opseg manjeg trokuta?

    Iz omjera površina dobijemo omjer opsega 3 : 8 .

    3 : 8 = o : 20

    o = 7.5 cm .

    Opseg manjeg trokuta iznosi 7.5 cm .


    Zadatak 12.

    Marija će u potkrovlju kuće dobiti svoju sobu. Visina sobe bit će 2.5 m , a širina 6 m . Ako je širina kuće 16 m , kolika mora biti visina krova?  

    Na slici je bokocrt potkrovlja kuće
     

    ...i na kraju

    Na zapuštenom zemljištu pokraj grada želi se izgraditi trgovački centar. Bilo bi preskupo i besmisleno odmah prionuti na posao, prvo treba napraviti plan i projekt u umanjenom mjerilu. Danas se to sve radi računalno, čak se može i isprintati 3D-tehnologijom, da si investitori mogu bolje predočiti kako će sve to izgledati. Nekad se sve radilo ručno, nacrti, makete od kartona... Svaka duljina mora biti umanjena s istim koeficijentom sličnosti. Od davnina su ljudi radili geografske karte, no da bi bile dobre, moraju biti nacrtane precizno i u točnom omjeru. Danas na bilo kojem mediju možete učitati kartu i proporcionalno ju povećavati i smanjivati.

    Ako želite napraviti veliku reklamu za svoj proizvod, prvo ćete na računalu nacrtati malu sliku, a onda ju povećati na veliku dimenziju. Za proučavanje malih objekata, primjerice zuba, atoma, DNK i slično, izrađuju se proporcionalno uvećani modeli. U učionici biologije zasigurno imate takve modele.

    Sjetite se još nekih primjera u kojima svakodnevno upotrebljavamo sličnost, a toga uopće nismo svjesni. Čini nam se da je to jednostavno tako.

    Na kraju pročitajte zanimljivost o trokutu Sierpinskog i pokušajte nacrtati što više trokutića kao što je objašnjeno u zanimljivostima, a vidi se u interaktivnoj GeoGebri autorice Julijane Novaković.

    Zanimljivost

    Trokut Sierpinskog nastaje tako da nacrtamo prvo veliki jednakostranični trokut, označimo polovišta njegovih stranica, spojimo polovišta u novi trokut, zatim izvan tog trokuta dobijemo tri nova trokuta kojima opet označimo polovišta stranica i spojimo ih u nove trokute, i tako što više puta uspijemo. Postupak takvog ponavljanja naziva se iteracija. Likovi dobiveni iteracijom su fraktali. Karakterizira ih to da se isti lik stalno ponavlja tako da je svaki manji dio sličan svojemu prethodnom dijelu. Fraktale susrećemo i u prirodi, primjerice paprat, brokula ili šenon. Zanimljivo je da se med kristalizira u fraktalne oblike. Više o fraktalima i o tome kako nastaju možete pročitati u seminarskom radu Mladena Paušića, s Fakulteta elektrotehnike i računarstva.

    Iteracijom dobivamo trokute slične početnom trokutu. Mogu se tako crtati i drugi likovi, čak i tijela.

    Posebno je zanimljivo to da što više iteracija crtamo, opseg lika postaje sve veći, a površina tamnog dijela sve manja. Posebno lijepo izgleda kada se to napravi od nekog čvrstog materijala i kada se bijeli trokuti izrežu. Na slici dolje je tijelo koje se sastoji od 12 pravilnih peterokuta, dodekaedar. Od njega je iteracijom napravljen dodekaedar Sierpinskog.

    Nacrtajte trokute Sierpinskog u raznim bojama i napravite izložbu u učionici.