x
Učitavanje

6.1 Proporcionalne dužine

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Sedmašima je učiteljica najavila mjerenje visine na satu Tjelesne i zdravstvene kulture. Pronašla je u svojoj bilježnici njihove izmjerene visine kada su došli u 5. razred. Sada će usporediti koliko su narasli. Tamara i njezin prijatelj Bojan ne mogu se složiti o brzini svojega rasta. Bojanu se čini kako su podjednako brzo rasli (misli da su im jednaki omjeri visina kao i u 5. razredu), a Tamara tvrdi da je brže rasla, odnosno da ga je gotovo stigla. Pogledajmo tko ima pravo.

Prije nego što utvrdimo tko je imao pravo, ponovimo nekoliko pojmova.

Ponovimo

Zadatak 1.

Dopunite riječi koje pripadaju definiciji.

  1. Odnos između dviju veličina a : b nazivamo , pri čemu je a   omjera, a b   omjera.

    null
    null
  2. Jednakost dvaju omjera a : b = c : d nazivamo ili .
    Članovi a i d su članovi proporcije ili razmjera.
    Članovi b i c su članovi proporcije ili razmjera.
    null
    null
  3. U kojem su odnosu mjere, odnosno veličine koje se jednako puta povećaju ili smanje?

    null
    null
  4. Vrijednost omjera dviju proporcionalnih veličina je stalna i naziva se proporcionalnosti.
    null
    null

Pogledajmo sada što su Tamara i Bojan dobili mjerenjem i računom.

Zadatak 2.

Pogledajte još jedanput animaciju iz uvoda, zapišite rezultate mjerenja i odgovorite na pitanja.

Usporedili smo visine iz 5. i 7. razreda. Utvrdili smo da je i kod Tamare i kod Bojana nova visina 1.09 puta veća od visine iz 5. razreda.

Dovucite dobivene rezultate na točne pojmove.

163 : 149  
vrijednost (količnik) omjera
163 : 149 = 165 : 152  
 omjer
1.09  
razmjer

 
null
null

Zadatak 3.

Tamara i Bojan su vrijednost omjera zaokružili na dvije decimale. Izračunajte vrijednosti njihovih omjera na tri decimale.

Tamara: 163 149 = 1.094

Bojan: 165 152 = 1.086


Vidimo da se tu već razlikuje vrijednost dvaju omjera.

Najprije se činilo da Bojan ima pravo, ali preciznijim računom vidjeli smo da je ipak Tamara malo više narasla i približila se Bojanovoj visini.

Uočite razliku između onoga kada se traži koliko puta su narasli (što smo upravo dobili) i pitanja za koliko su narasli. Vidjeli smo da je Tamara viša za 14 cm , a Bojan za 13 cm .

Povezani sadržaji

Koliko je posto narasla Tamara, a koliko Bojan u odnosu prema 5. razredu? Zaokružite na jednu decimalu.

Tamara je narasla 9.4 % , a Bojan 8.6 % u odnosu prema visini iz 5. razreda.


Proporcionalne dužine

Vratimo se na animaciju s početka priče i pogledajmo kako smo visinu učenika prikazali s pomoću dužina. Usporedili smo njihove duljine i izračunali njihov kvocijent (vrijednost omjera). Napravimo isto s dužinama u sljedećem primjeru.

Primjer 1.

Na slici su dužine za koje treba izračunati omjere.

Promotrimo dužine sa slike. Odredimo omjere dužina​ A B ¯ i C D ¯ te omjere dužina E F ¯ i​ G H ¯ . Usporedimo dobivene koeficijente proporcionalnosti.

Postupak pogledajte u rješenjima.

Povećaj ili smanji interakciju

Omjer dužina iskazujemo omjerom njihovih duljina izraženih istom mjernom jedinicom.

Ako vrijedi proporcija A B ¯ : C D ¯ = E F ¯ : G H ¯ za dužine A B ¯ , C D ¯ , E F ¯ i G H ¯ , kažemo da su te dužine proporcionalne.

Zadatak 4.

Koliki je omjer dužina A B ¯ : C D ¯ i C D ¯ : A B ¯ ako je A B = 25 mm i C D = 5 mm ?

A B ¯ : C D ¯ = 25 : 5 = 5 : 1 ,   C D ¯ : A B ¯ = 5 : 25 = 1 : 5


Zadatak 5.

Izračunajte duljinu dužine E F ¯ ako je dužina G H ¯ duga 12 cm , a njihov je omjer jednak E F : G H = 2 : 3 .

  • Prvi način

    E F : G H = 2 : 3 E F : 12 = 2 unutarnji : 3 vanjski članovi 3 · E F = 12 · 2

    E F = 12 4 · 2 3 1 = 8 cm

  • Drugi način

    Zadatak se može riješiti i s pomoću trojnog pravila.

    Veličine su proporcionalne pa vrijedi: E F 12 2 3 E F : 12 = 2 : 3 .

    Dalje je isto kao u prvom slučaju.


Talesov poučak

Zanimljivost

Na slici je starogrčki matematičar Tales iz Mileta

Jedna od anegdota o Talesu Miletskom naziva se Pad u bunar.

Jedne se noći Tales toliko zadubio u zvijezde da nije vidio kuda hoda te je pao u bunar. Na poziv upomoć neka duhovita starica mu se narugala: „E, Talese, ti nisi kadar vidjeti što ti je pod nogama, a htio bi spoznati što je na nebu.”

Više o Talesu Miletskom (640. – 546. g. pr. Krista) pročitajte na Wikipediji.

Primjer 2.

Na slici su krakovi kuta presječeni paralelnim pravcima

Nacrtajmo kut s vrhom V . Krakove kuta a i b presijecimo parom usporednih pravaca p i q kao na slici.

Koje sve dužine uočavate?

V A ¯ , V B ¯ , V A ' ¯ , V B ' ¯ , A A ' ¯ , B B ' ¯ , A B ¯ , A ' B ' ¯


Primjer 3.

Na slici je tablica za popunjavanje koju trebate nacrtati u bilježnicu

Izmjerimo pa izračunajmo i usporedimo vrijedosti sljedećih omjera:

V A : V A ' , V B : V B ' , A B : A ' B ' , V A : A A ' , V B : B B ' .

Napravite u bilježnicu tablicu s duljinama stranica i pripadajućim omjerima (kao na slici).

Interakcija u nastavku omogućava vam pomicanje točaka V , A , B i A ' . Promatrajte što se događa s omjerima. Jesu li neki omjeri jednaki?

Napišite pripadajuće proporcije koje ste uočili da vrijede.

Povećaj ili smanji interakciju

V A : V A ' = V B : V B ' = A B : A ' B '   ​

V A : A A ' = V B : B B '  


Talesov poučak o proporcionalnim dužinama.

Usporedni pravci p i q na krakovima kuta a V b odsijecaju proporcionalne dužine.

Zanimljivost

Na slici je nacrtano kako je Tales izmjerio piramidu

​Proporcionalnost dužina određena presjekom paralelnih pravaca bila je poznata još babilonskim matematičarima, iako se to otkriće pripisuje Talesu Miletskom (640. – 546. g. pr. Krista) po kome je poučak dobio naziv.

Tales je izmjerio visinu piramide s pomoću sjene. Čekao je da duljina njegove sjene bude jednaka njegovoj visini. U tom trenutku izmjerio je duljinu sjene piramide i zaključio koliko je visoka.

Zadatak 6.

S pomoću zadanih dužina na slici provjerite vrijede li jednakosti:

V A : V A ' = V B : V B ' = A B : A ' B '   ​

V A : A A ' = V B : B B ' .

Ispišite u bilježnicu duljine svih potrebnih dužina te izjednačite proporcionalne dužine.

Na slici je određivanje proporcionalnih dužina pomoću Talesovog poučka.

V A : V A ' = V B : V B ' = A B : A ' B ' = 3 : 4   ​

V A : A A ' = V B : B B ' = 3 : 1


Zadatak 7.

S obzirom na oznake sa slike, odgovorite na pitanja.  

Na slici je uočavanje proporcija koristeći Talesov poučak

  1. U kakvom su položaju pravci a i b ?

    null

     

  2. Dovucite omjere na njihove jednakosti.

    O M : M P  
    O N : N Q  
    O M : O P  
    O N : O Q  
    O N : O Q  
    M N : P Q  
    null
  3. Koja je dužina sukladna dužini O M ¯ ?

    null
    null
  4. Proporcionalnost dužina koje odsijecaju paralelni pravci na krakovima kuta naziva se poučak.
    null

Računanje nepoznate duljine

Zadatak 8.

Duljine dužina označavamo malim slovima. Neka je:

V A = a , V B = b , A A ' = c , B B ' = d , A B = m i A ' B ' = n .

Ispišite u bilježnicu sve proporcije koje vrijede za proporcionalne dužine (Talesov poučak) s pomoću novih oznaka (kao na slici).

Slika kuta presječenog paralelnim pravcima s oznakama duljina dužina

Prva proporcija: a : a + c = b : b + d = m : n

Druga proporcija: ​ a : c = b : d  


Primjer 4.

Slika za primjer određivanja nepoznate veličine pomoću Talesovog poučka

Odredimo nepoznatu veličinu x  sa slike.

Koristit ćemo se proporcijama koje smo ispisali u prethodnom zadatku te pravilima računanja proporcija ili razmjera.

Ovdje ćemo primijeniti prvu proporciju. Imamo 6 + 4 = 10 pa vrijedi 4 : 10 = 3 : x .

Nakon množenja vanjskih i unutarnjih članova, na lijevu stranu stavimo umnožak s nepoznanicom.

4 x = 30 / : 4 x = 30 15 4 2 = 15 2 = 7.5

Zadatak 9.

Odredite x sa slike.  

Slika za 1. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

10 : 6 = 9 : x x = 27 5 = 5.4   ​


Zadatak 10.

S pomoću proporcije a : a + c = m : n   odredite nepoznanicu x sa slike.  

Slika za 2. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

9 : 9 + x = 6 : 11 6 9 + x = 9 · 11 9 + x = 99 6 x = 15 2


Zadatak 11.

Dvanaest metara od stabla postavljena je rampa duljine 4 m i visine 1 m .  

Slika za 3. zadatak određivanja nepoznate veličine x pomoću Talesovog poučka

Odgovorite na pitanja.

Koliko je visoko stablo?
Koliko je puta stablo više od visine rampe?
Kolika je udaljenost od rampe do stabla?
Ako ste na vrhu rampe, koliko ste udaljeni od vrha stabla u odnosu prema duljini kosine rampe?

Pomoć:

12  je trostruko od 4 , pa je visina stabla trostruko od 1 .

8 je dvostruko od 4 , pa je udaljenost od vrha rampe do vrha stabla dvostruko veća od duljine kosine rampe.

Postupak:

4 : 12 = 1 : 3

4 : 8 = duljina kosine rampe : udaljenost od vrha rampe do vrha stabla

Uvježbajmo

Zadatak 12.

Koristeći se Talesovim poučkom riješite zadatke.

  1. ​Za zadani omjer 3 : 2 = 5 : x rasporedite elemente na pravo mjesto na slici.

    Na slici je kut presječen usporednim pravcima.

    2

    3

    5

    null
    null
  2. Odredite nepoznanicu x .

    null
    null
  3. Izračunajte duljinu dužine M N ¯ ako vrijedi proporcija 4 : M N = 2 : 5 . Sve duljine izražene su u centimetrima.
    M N = cm .
    null
    null
  4. Za dani razmjer iz prethodnog primjera dovucite točke na pravo mjesto na slici ako je M Q = 2 cm i M P = 4 cm .

    Na slici je kut presječen usporednim pravcima.

    P

    N

    Q

    R

    null
    null

Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Odredite nepoznate elemente sa slike.

Slika za dodatni zadatak određivanja nepoznate veličine a i b pomoću Talesovog poučka

2 + a : 2 = 3 : 1.5   ​

a = 2 , b = 5 2 = 2.5


Zadatak 13.

Odredite nepoznate elemente sa slike.

Slika za dodatni zadatak određivanja nepoznate veličine x i y pomoću Talesovog poučka

x : x + 0.5 = 3 : 5

x = 3 4 , y = 9 4


Primjer 6.

Slika s tri usporedna pravca na krakovima kuta

Odredite nepoznate elemente sa slike.

​Izračunajmo nepoznate duljine dužina koje na krakovima kuta odsijecaju tri usporedna pravca.

Odsječke na krakovima usporedimo u parovima, ovisno što nam je zadano.

x 2 = 2 3 x = 4 3

y : 1 = 3 : 2 y = 3 2

Zadatak možemo riješiti zapisom s pomoću razmjera, ali ga možemo riješiti i tako da omjer stavimo u razlomak.

Pazite: Krak s kojeg duljinu prvu stavljate u omjer mora u proporciji uvijek biti prvi. Obično na prvo mjesto stavljate nepoznanicu radi lakšeg računanja.


Zadatak 14.

Izračunajte nepoznate veličine sa slike.  

Krakovi kuta presječeni s tri paralelna pravca: traže se tri nepoznate duljine dužina.

x : 7 = 4.5 : 10.5 x = 3   ​

Iskorstite dobiveni x : y : 2.5 = 4.5 : 3 y = 11.25 3 = 3.75

x + 2.5 : x + 2.5 + 4.5 = 5.5 : z 5.5 : 10 = 5.5 : z z = 10


...i na kraju

U sljedećoj interakciji odaberite s pomoću klizača željeni broj paralelnih pravaca koji presijecaju krakove zadanog kuta i dijele dužinu A B ¯ na manje dužine jednakih duljina. Uočite što se događa kada su odsječci na zadanoj dužini jednaki. Jesu li i na drugom kraku ti odsječci jednaki? Kako to zaključujemo? Vrijedi li tu Talesov poučak? Promijenite kut pomičući točku C . Jesu li i dalje odsječci na drugom kraku jednaki?

Povećaj ili smanji interakciju

U sljedećoj jedinici upravo ćemo Talesov poučak iskoristiti za podjelu zadane dužine na jednake dijelove.

Idemo na sljedeću jedinicu

6.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru