x
Učitavanje

6.2 Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je bakin vrt oblika pravokutnika

Baka vas je zamolila da joj pomognete podijeliti vrt na tri dijela jednakih površina. Vrt je u obliku pravokutnika dimenzija 5.3 m × 1.5 m . Kako biste to najpreciznije učinili?

Trebalo bi dulju stranicu vrta podijeliti na tri dijela jednakih duljina i problem podjele je riješen. Ali, nemate čime to izmjeriti. Dosjetili ste se nacrtati umanjeni vrt na papiru u omjeru 1 : 100 . Sada biste trebali podijeliti pravokutnik na tri sukladna dijela. Kako to učiniti?

Ponovimo

Povezani sadržaji

Ako s a i b označimo duljine stranica vrta, onda je a = 5.3 m i b = 1.5 m . Označimo umanjene stranice s a ' i b ' . Tada vrijedi a ' : a = b ' : b = 1 : 100 . Iz te proporcije lako dobijemo umanjene stranice pravokutnika, ali kako stranicu podijeliti precizno na tri jednaka dijela (bez mjerenja)?

U ovoj jedinici naučit ćemo kako podijeliti dužinu na sukladne dijelove bez mjerenja njihove duljine.

Koliko su vam ispale duljine stranica malog pravokutnika?

Budući da članovi omjera moraju biti istih mjernih jedinica, pretvorimo sve u centimetre.

a = 5.3 m = 530 cm i b = 1.5 m = 150 cm

a ' : a = 1 : 100 a ' = 530 100 = 5.3 cm, b ' : b = 1 : 100 b ' = 150 100 = 1.5 cm

Zadatak se može riješiti i s pomoću trojnog pravila.

Postavimo zadatak: a ' 530 1 100 i b ' 150 1 100 .

Sada prateći strelice dobijemo istu proporciju kao i u prvom načinu rješavanja:  a ' : 530 = 1 : 100 i b ' : 150 = 1 : 100

Dalje rješavamo isto.


Zadatak 1.

Ponovite pojmove koje ste naučili u 5. razredu o skupovima točaka u ravnini i odgovorite na pitanja.

  1. Točka na dužini A B ¯ koja je jednako udaljena od krajnjih točaka dužine naziva se .

    Pravac koji je okomit na tu dužinu i prolazi njezinim polovištem naziva se .

    null
    null
  2. Uvjeti koji moraju biti ispunjeni da bi neki pravac bio simetrala dužine:

    1. pravac mora biti na dužinu.
    2.  prolaziti  dužine.

    null
    null
  3. Ako duljinu dužine A B ¯ označimo s a , za konstrukciju polovišta potrebno je uzeti u šestar duljine dužine A B ¯ .

    Zabodemo vrh šestara u te zarežemo luk iznad i ispod dužine.
    Kroz dobivene presjeke lukova povučemo .

    null
    null
  4. Koji su od pravaca na slici simetrale dužine A B ¯ ?

    Treba odrediti na kojoj slici je prikazana dužina i njena simetrala.

    Treba odrediti na kojoj slici je prikazana dužina i njena simetrala.

    Treba odrediti na kojoj slici je prikazana dužina i njena simetrala.

    Treba odrediti na kojoj slici je prikazana dužina i njena simetrala.

    null
  5. Pokušajte što točnije postaviti točku P ​koja raspolavlja dužinu A B ¯ .

    Na slici treba označiti polovište dužine.

    P

    Pomoć:

    Dovucite točku P na odgovarajuće mjesto.

    null
  6. Dužina A B ¯ podijeljena je na  jednakih dijelova.
    null

U zadnjem je zadatku dužina podijeljena na šest sukladnih dijelova. Kako to konstruirati šestarom i ravnalom bez mjerenja?

Dijeljenje dužine na jednake dijelove

Zadatak 2.

Podijelite dužinu A B ¯ duljine 7 cm na 2 dužine jednakih duljina.

To ćemo lako učiniti geometrijskom konstrukcijom simetrale dužine. Nacrtajte dužinu duljine 7 cm u bilježnicu te konstruirajte simetralu dužine.

  • Uzmemo u šestar više od pola duljine dužine A B ¯ .  
  • Zabodemo vrh šestara u točku A te nacrtamo dio kružnice.
  • Ponovimo za točku B .
  • Kroz točke gdje se sijeku lukovi kružnica nacrtamo pravac.

Možemo nacrtati samo dio pravca koji siječe dužinu i time smo dobili točku polovišta dužine A B ¯ .

Konstrukciju možete pogledati u sljedećoj GeoGebrinoj interakciji.


Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 3.

Istu dužinu A B ¯ podijelite na četiri sukladna dijela.

Na slici je dužina podjeljena na 4 sukladna dijela

Nakon što smo podijelili dužinu na dva sukladna dijela, ponovimo postupak za svaku dobivenu polovicu. Time smo dobili četiri sukladna dijela.


Uočimo da se dužina može dijeliti na 2 , 4 , 8 , 16 ... sukladnih dijelova.

Prisjetimo se Talesova poučka i proporcionalnosti dužina koje odsijecaju paralelni pravci na krakovima kuta. Pogledajmo ponovno interakciju u kojoj smo dužinu podijelili na više jednakih dijelova. Mijenjajte broj paralelnih pravaca te pomičući točku C uočite mijenjaju li se duljine dužina na donjem kraku.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

U prethodnoj interakciji podijelite dužinu A B ¯ na pet jednakih dijelova. Pomičite točku C . Promatrajte što se događa s dobivenim duljinama na dužini A B ¯ , a što se događa na drugom kraku kuta s duljinama dobivenih odsječaka. Odgovorite na pitanja.

Ako na neko pitanje ne znate odgovor, vratite se na interakciju te pozornije proučite promjene.

  1. Nazovimo svaki od 5 dobivenih dijelova na dužini A B ¯ osnovnim dužinama, a one dobivene na drugom kraku kuta pomoćnim dužinama.

    Jesu li sve osnovne dužine na dužini A B ¯ međusobno sukladne?

    null
    null
  2. Jesu li sve pomoćne dužine na drugom kraku međusobno sukladne?

    null
    null
  3. Pomicanjem točke C osnovne dužine  duljinu.

    Pomoćne dužine na drugom kraku  duljinu.

    null
    null
  4. Vrijedi li za omjer dobivenih osnovnih i pomoćnih dužina Talesov poučak?

    null
  5. Dovucite omjere iz lijevog stupca na njihove jednakosti u desnom stupcu.

    A Z : A C  
    A D : A B  
    A D : D B  
    A D : D B  
    A Z : Z C   ​
    1 : 4   ​
    A D : A B  
    1 : 5   ​

    Pomoć:

    Dijeljenje dužine na 5 jednakih dijelova

     

    Postupak:

    Omjere duljina s pomoćnog polupravca spojite s omjerima duljina na dužini A B , a omjere duljina na dužini A B spojite s brojčanim omjerima.

Možemo zaključiti da nam podjela dužine na jednake dijelove ne ovisi o duljinama jednakih dužina na pomoćnom polupravcu. Budući da su zbog Talesova poučka te dužine proporcionalne (bitno je da ih dobijemo paralelnim pravcima), možemo konstrukciju početi djelišnim točkama na polupravcu proizvoljne duljine.

Kutak za znatiželjne

Dokažimo da su dobivene osnovne dužine na dužini A B ¯ doista sukladne. U sljedećoj interakciji pomičući točku C pratite što se događa s vrijednostima istaknutih kutova i dužina. Provjerite s pomoću poučaka o sukladnosti trokuta jesu li istaknuti trokuti sukladni.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

Istaknuti su trokuti sukladni. Vidimo da se podudaraju u dvama kutovima i jednoj stranici koja se nalazi između tih dvaju kutova.

  1. Iz kojeg poučka o sukladnosti to slijedi? Trokuti su sukladni ako su im sukladne:

    null
    null
  2. Pokušajte sami utvrditi redoslijed crtanja elemenata pri dijeljenju dužine A B ¯ na jednake dijelove.

    • Točke na dužini A B ¯  
    • Točke na polupravcu
    • Pravac kroz zadnju točku na polupravcu i B  
    • Polupravac iz vrha A
    • Paralele kroz ostale točke
    • Dužina A B ¯
    null
    null

Podijelili smo dužinu A B ¯  na pet jednakih dijelova s pomoću digitalnih alata, a sada je vrijeme da u ruke uzmete bilježnicu, olovku i šestar te podijelite nacrtanu dužinu na pet jednakih dijelova. Ako u prethodnom zadatku niste uspjeli točno poredati korake konstrukcije, sada ćemo sve ponoviti.

Primjer 1.

Nacrtajmo dužinu A B ¯   duljine 7 cm . Podijelimo je na pet dužina jednakih duljina. Korake konstrukcije pogledajte u sljedećoj animaciji.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Nacrtajte u bilježnicu dužinu proizvoljne duljine te je podijelite na sedam sukladnih dijelova.

Grafički prikaz rješenja dijeljenja dužine na 7 sukladnih dijelova.

Zadatak 7.

  1. Koristeći se oznakama iz prethodnog zadatka, odredite vrijednosti zadanih omjera.

    A B 1 : A B =
    A B 3 : A B 1 =
    A B 4 : B 4 B =
    A B : B 3 B 4 =
    A B 3 : A B 4 =
    A B 1 : B 4 B =

    Pomoć:

    Prebrojite koliko je jednakih duljina u traženoj dužini.

    null
  2. Točka B 3 dijeli dužinu A B u omjeru .

    Pomoć:

    Koliko je sukladnih dužna do te točke, a koliko nakon nje?

     

  3. Točka B 4 dijeli dužinu A B u omjeru ​ .

    Pomoć:

    Koliko je sukladnih dužna do te točke, a koliko nakon nje?

Sada znamo podijeliti dužinu u zadanom omjeru.

Dijeljenje dužine u zadanom omjeru

Primjer 2.

Na slici je dužina MN podijeljena točkom P.

U kojem omjeru točka P dijeli dužinu M N ¯ ?

Rješenje ćete dobiti tako da odgovorite na sljedeća pitanja.

  1. Dužina M N ¯ podijeljena je na jednakih dijelova. Od toga dužini M P ¯ pripadaju dijela, a dužini P N ¯ dijelova.
    null
    null
  2. U kojem omjeru točka P dijeli dužinu M N ¯ , počevši od točke M ?

    null
    null

Zadatak 8.

U kojem omjeru točka R dijeli dužinu P Q ¯ ? Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina P Q ¯ ?

Na slici je dužina PQ podijeljena točkom R

P R : R Q = 7 : 2   ​

P Q = 7 + 2 = 9 jednakih dijelova.


Primjer 3.

Podijelimo dužinu A B ¯ proizvoljne duljine točkom T u omjeru 2 : 3 .

Postupak konstrukcije pogledajte u animaciji u nastavku.

Koracima konstrukcije možete upravljati s pomoću klizača ili pokrenite konstrukciju.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 9.

Podijelite proizvoljnu dužinu M N ¯ točkom A u omjeru 1 : 5 . Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina M N ¯ ?

Na slici je dužina MN podijeljena točkom A u omjeru 1:5.

Dužina M N ¯ podijeljena je na 1 + 5 = 6   jednakih dijelova.


Zadatak 10.

Podijelite proizvoljnu dužinu E F ¯ točkom G u omjeru 5 : 3 . Na koliko je jednakih dijelova podijeljena dužina E F ¯ ?

Na slici dužina EF podijeljena točkom G u omjeru 5:3.

 ​Dužina E F ¯ podijeljena je na  5 + 3 = 8   jednakih dijelova.


Zadatak 11.

Na slici je grafičko rješenje zadatka

Dužina A B ¯ podijeljena je na 10 jednakih dijelova točkom M . Ako je A M = 4 jednaka dijela, u kojem omjeru točka M dijeli dužinu A B ¯ ?

Zadatak se lako riješi konstrukcijom (kao na slici), ali ga možemo riješiti i računski.

A M = 4 , A B = 10 jednakih dijelova. Budući da zbroj jednakih djelova do točke M i nakon točke M   mora biti 10 , odmah se vidi da je M B = 10 - 4 = 6 jednakih dijelova.

Sada nam još preostaje da napišemo omjer: ​ A M M B = 4 6 = 2 3 .

Naučili smo geometrijski konstruirati djelišnu točku zadane dužine u danom omjeru. Možemo li to napraviti s pomoću programa dinamične geometrije?

Poigrajte se sa sljedećom interakcijom te prethodne zadatke pokušajte riješiti podešavanjem omjera a : b mijenjajući na klizačima prvi a i drugi b član omjera. (Dobro će doći i za provjeru domaće zadaće.)

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 12.

 Podijelite dužinu duljine 15 cm dvjema točkama u omjeru 3 : 5 : 2 .

Na slici je dužina podijeljena s divje točke u omjeru 3:5:2

Kako iskoristiti Talesov poučak za konstrukciju geometrijskih likova

Praktična vježba

Slika kružnice, kvadrata, jednakostraničnog trokuta od savijene žice

Pokušajte saviti komad žice ili užeta u krug, kvadrat i jednakostranični trokut.

Za krug spojimo dva kraja žice i oblikujemo ga rukom.

Ali kako saviti u kvadrat da budu sve strane jednake ili u jednakostranični trokut?

Za kvadrat žicu treba podijeliti na četiri jednaka dijela. Nacrtajmo u bilježnicu dužinu duljine naše žice (ako je prevelika, napravimo to u umanjenom omjeru kao što smo učinili u uvodu s bakinim vrtom). Dalje je jasno. S pomoću Talesova poučka podijelimo dužinu na četiri jednaka dijela.

  1. Na koliko jednakih dijelova moramo podijeliti žicu da bismo ju savili u jednakostranični trokut? dijela.
    null
    null
  2. Kako nazivamo duljinu (zbroj) svih stranica trokuta ili četverokuta?

    null
    null
  3. Kojem geometrijskom liku pripada formula za opseg?

    o = 3 a   ​
    o = a + 2 b   ​
    o = a + b + c   ​
    o = 4 a   ​
    o = 2 a + 2 b   ​
    null
    null

Primjer 4.

Konstruirajmo jednakostranični trokut čiji opseg iznosi 12.5 cm .

Slijedite korake:

  • nacrtamo dužinu duljine 12.5 cm
  • podijelimo je na tri sukladne dužine
  • uzmemo u šestar jednu od triju dobivenih dužina i konstruiramo trokut.

U sljedećem dinamičnom uratku sami pomičite korake te prateći upute riješite zadatak u bilježnicu.

Ovu vježbu možete upotrijebiti za konstrukciju proizvoljnoga jednakostraničnog trokuta zadanog opsega.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 13.

Da bismo savili žicu duljine 5 metara u jednakostranični trokut, koliki dio žice ide na svaku stranicu? Konstruirajte trokut danog opsega u omjeru 1 : 100 .

Na slici je konstrukcija trokuta s pomoću zadanog opsega

Svaka je stranica dugačka 1.67 m = 167 cm .


Zadatak 14.

Konstruirajte kvadrat opsega 16.8 cm .

Na slici je konstrukcija kvadrata s pomoću zadanog opsega

Iz formule za opseg o = 4 a vidimo da dužinu duljine 16.8 cm treba podijeliti na četiri sukladne dužine da bismo dobili stranicu kvadrata.


Zadatak 15.

Konstruirajte pravokutnik opsega 220 mm kojemu se duljine stranica odnose kao 3 : 4 .

Na slici je konstrukcija pravokutnika iz uvjeta zadatka

Iz formule za opseg pravokutnika imamo 2 a + 2 b = 220 / : 2 a + b = 110 i a : b = 3 : 4 . Nacrtamo dužinu duljine 110 mm = 11 cm i podijelimo je u omjeru 3 : 4 . Time smo dobili stranice pravokutnika s pomoću kojih konstruiramo traženi pravokutnik.


Kutak za znatiželjne

Zadatak 16.

Konstruirajmo jednakokračni trokut kojemu su duljina osnovice i kraka u omjeru ​ 3 : 5 .

Na slici je konstrukcija jednakokračnog trokuta iz uvjeta zadatka

Nacrtajmo dužinu. Podijelimo je na 3 + 5 = 8 jednakih dijelova. Podijelimo dužinu u zadanom omjeru. Time je dužina podijeljena na 2 dijela ‒ osnovicu a i krak b . S pomoću tih dviju dužina konstruiramo jednakokračni trokut.


Zadatak 17.

Konstruirajte jednakokračni trokut kojemu je krak dvostruko veći od osnovice.

Na slici je konstrukcija jednakokračnog trokuta iz zadatka

a : b = 1 : 2


...i na kraju

Jeste li baki podijelili vrt? Možda da to ipak ostavimo geometrima i sličnim stručnjacima, a mi pokušajmo konstruirati umanjenu varijantu vrta sada kada znamo kako to učiniti.

Vrt nam je dugačak 5.3 m . Zbog omjera 1 : 100 umanjen 100 puta iznosi 5.3 cm . Tu duljinu podijelite na tri jednaka dijela te nacrtajte vrt u obliku pravokutnika podijeljen ogradom na tri jednaka dijela. Znamo da je druga stranica pravokutnika 1.5 cm .

Na slici je bakin vrt podijeljen na tri jednaka dijela po dužinama

Dobili ste vrt sličan bakinu vrtu. Sličnost podrazumijeva da su likovi jednakog oblika, ali proporcionalnih veličina. Više o sličnosti geometrijskih likova učit ćete u sljedećim jedinicama.

Idemo na sljedeću jedinicu

6.3 Sličnost trokuta