Matematika 7 - 7.3 Kutovi mnogokuta

Ponovimo.

Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog trokuta je

$180 °$

$360 °$ .

null

null
Zbroj veličina unutarnjih kutova svakog četverokuta je $° .$

null

null
Na kojoj su slici istaknuti susjedni kutovi (sukuti)?

A

B

Pomoć:

Dva kuta koji imaju jedan zajednički krak, a drugi su im krakovi suprotni polupravci istoga pravca nazivamo susjednim kutovima ili sukutima.

null

Zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta

Vidimo da zbroj veličina unutarnjih kutova nije jednak za trokute i četverokute pa možemo očekivati i da zbroj unutarnjih kutova peterokuta neće biti ni $180 °$ ni $360 ° .$

Ali hoće li taj zbroj biti isti za svaki zadani peterokut?

Što možemo očekivati za šesterokut?

A za $n$ -terokut?

Istražimo.

Primjer 1.

Istražite uz pomoć GeoGebrine interakcije vezu broja vrhova mnogokuta i zbroja veličina unutarnjih kutova tog mnogokuta.

Odabirom točke $K$ možete mnogokut dijagonalama iz jednog vrha podijeliti na trokute. Možete i mijenjati broj vrhova mnogokuta s pomoću klizača.

Zbroj veličina unutarnjih kutova $n$ -terokuta označit ćemo s $K_{n},$ gdje je $n$ broj stranica (ili vrhova ili unutarnjih kutova), a računamo ga kao $K_{n} = (n - 2) \cdot 180 ° .$

Primjer 2.

Izračunaj zbroj veličina unutarnjih kutova petnaesterokuta.

Kako je $n = 15,$ broj trokuta koje dobijemo crtanjem dijagonala iz jednog vrha je $13 .$

Zbroj veličina unutarnjih kutova tada iznosi $13 \cdot 180 °,$ tj. $2340 ° .$

Ili matematičkim zapisom:

$\underline{n = 15}$

$K_{15} = ?$

$K_{n} = (n - 2) \cdot 180 °$ $\leftarrow$ Umjesto $n$ uvrstimo broj $15$ i dalje računamo.

$K_{15} = (15 - 2) \cdot 180 °$

$K_{15} = 13 \cdot 180 °$

$K_{15} = 2340 °$

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadan je mnogokut $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4} A_{5} A_{6} A_{7} A_{8} A_{9} .$ Izračunajte zbroj unutarnjih kutova zadanog mnogokuta.

$K_{n} = 1260 °$

$K_{n} = 1080 °$

Pomoć:

Da bismo počeli rješavanje zadatka, moramo znati koliko vrhova ima zadani mnogokut (prebrojimo ih ili kraće - očitajmo indeks posljednjeg vrha u nizu). Zatim koristimo izraz prema kojem možemo izračunati zbroj veličina unutarnjih kutova:

$K_{n} = (n - 2) \cdot 180 °$

Postupak:

Proučite pomoć, a po potrebi i rješenje prethodnog primjera.
Koliki je zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta kojemu je broj unutarnjih kutova $17 ?$

$2700 °$

$2520 °$

Pomoć:

Iz tvrdnje da je broj unutarnjih kutova $17,$ zaključujemo da je $n = 17.$

Postupak:

Računamo prema formuli za $K_{n}$ ili napamet odredimo broj trokuta na koje je dijagonalama iz jednog vrha podijeljen zadani sedamnaesterokut ( $15$ ), nakon čega taj broj pomnožimo sa $180 ° .$

Zadatak 2.

Izračunajte zbrojeve veličina unutarnjih kutova za pojedine mnogokute ( $K_{n}$ ) i tražene razlike te pridružite točna rješenja.

$K_{8} - K_{4} =$	$720 °$
$K_{11} - K_{5} =$	$1080 °$
$K_{8} - K_{5} =$	$540 °$

Pomoć:

Iz zapisa $K_{n}$ očitajte broj $n,$ a zatim izračunajte zbroj veličina unutarnjih kutova prema poznatoj formuli (za sve $n$ -ove koji se u zadatku spominju).

Postupak:

Nakon izračunatih $K_{n}$ -ova, izračunajte tražene razlike.

Zatvori

Zanimljivost

Poznato nam je da veličine kutova najčešće označavamo malim slovima grčkog alfabeta. No dosad nije bilo potrebe primijeniti sve oznake, osim dobro nam poznatih: $α,$ $β,$ $γ$ i $δ .$

S obzirom na to da više ne proučavamo isključivo trokute i četverokute, bilo bi dobro naučiti bar još nekoliko grčkih slova.

Grčki alfabet
$A α$ alfa	$B β$ beta	$Γ γ$ gama	$Δ δ$ delta	$E ε$ epsilon	$Z ζ$ zeta
$H η$ eta	$Θ θ$ teta	$I ι$ jota	$K κ$ kapa	$Λ λ$ lambda	$M μ$ mi
$N ν$ ni	$Ξ ξ$ ksi	$O ο$ omikron	$Π π$ pi	$P ρ$ ro	$Σ ς,$ $σ$ sigma
$T τ$ tau	$ϒ υ$ ipsilon	$Φ φ$ fi	$X χ$ hi	$Ψ ψ$ psi	$Ω ω$ omega

Primjer 3.

Izračunajmo veličinu nepoznatog kuta u šesterokutu na slici.

Najprije moramo uočiti da je zadan šesterokut. Da bismo mogli izračunati veličinu nepoznatog kuta $ε$ (čitamo: epsilon), potrebno je izračunati zbroj veličina svih kutova u šesterokutu, $K_{6} .$

$K_{n} = (n - 2) \cdot 180 °$ $\leftarrow$ Uvrstimo $n = 6$ i dobijemo

$K_{6} = (6 - 2) \cdot 180 ° = 4 \cdot 180 ° = 720 ° .$

Traženu veličinu kuta dobit ćemo tako da od $720 °$ oduzmemo zbroj veličina preostalih pet kutova šesterokuta:

$\begin{array}{l} ε = 720 ° - (154 ° + 90 ° + 175 ° + 73 ° + 126 °) = 720 ° - 618 ° = 102 ° \end{array} .$

A možemo li, ako nam je poznat zbroj unutarnjih kutova, otkriti o kojem se mnogokutu radi?

Proučimo sljedeći primjer.

Primjer 4.

Kojem mnogokutu je zbroj veličina unutarnjih kutova $1440 ° ?$

$\underline{K_{n} = 1440 °}$ $\leftarrow$ poznati podatak

$n = ?$ $\leftarrow$ Saznamo li koliki je $n,$ moći ćemo odgovoriti na postavljeno pitanje jer prema broju stranica (vrhova, kutova) određujemo naziv mnogokuta.

Uvrstimo li poznati podatak u formulu $K_{n} = (n - 2) \cdot 180 °,$ dobit ćemo sljedeću jednadžbu:

$1440 ° = (n - 2) \cdot 180 ° .$

Ako nam se više sviđa da je nepoznanica $n$ na lijevoj strani jednadžbe, možemo zamijeniti mjesta stranama (kao da čitamo najprije desnu stranu jednakosti, a zatim lijevu) i tada izračunati vrijednost broja $n .$ Učinimo tako.

$(n - 2) \cdot 180 ° = 1440 °$ $/ :$ $180 °$

$n - 2 = \frac{1440 °}{180 °}$

Ili možemo dijeljenje zapisati u obliku razlomka te postupno skraćivati:

$n - 2 = \frac{{1440 °}^{: 10}}{{180 °}^{: 10}} = \frac{144^{: 2}}{18^{: 2}} = \frac{72}{9} = 8$

Oba načina vode nas do jednadžbe

$n - 2 = 8,$

čije je rješenje

$n = 10 .$

Zaključujemo da je traženi mnogokut deseterokut.

Zadatak 3.

Koliko stranica ima mnogokut kojemu je zbroj veličina unutarnjih kutova $3060 ° ?$

15

19

17 .

Pomoć:

Poznati podatak je $K_{n}$ pa je potrebno u odgovarajući izraz (formulu) uvrstiti broj te izračunati $n$ iz dobivene jednadžbe.

Postupak:

Ne zaboravite uočiti da, nakon dijeljenja obiju strana jednadžbe sa $180 °,$ nismo još izračunali $n,$ nego tek $n - 2$ (broj trokuta koje dobijemo crtanjem dijagonala iz jednog vrha mnogokuta). Broj stranica za dva je veći od broja nastalih trokuta.

Vanjski kutovi mnogokuta

Osim unutarnjih kutova, mnogokuti imaju i vanjske kutove. O vanjskim smo kutovima trokuta i četverokuta učili prije, a sada ćemo znanje proširiti i na ostale mnogokute.

Da bismo nekom mnogokutu istaknuli vanjske kutove, potrebno je redom produžiti njegove stranice, kao na slici.

Slika prikazuje istaknute vanjske kutove mogokuta.

Susjedni kut nekog unutarnjeg kuta mnogokuta nazivamo vanjskim kutom tog mnogokuta.

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Unutarnji i pripadni vanjski kut nekog mnogokuta zajedno čine kut pa zbroj njihovih veličina iznosi

° .

Slika prikazuje vanjski i unutarnji kut mnogokuta

null

Zadatak 5.

Izračunaj veličinu nepoznatog kuta mnogokuta sa slike.

Slika prikazuje peterokut kojemu je nepoznat jedan unutarnji kut

β = 103 °

β = 255 °

β = 125 °

Pomoć:

Najprije izračunajte veličine nepoznatih sukutova. Zatim izračunajte zbroj veličina unutarnjih kutova peterokuta. Naposljetku, od toga broja oduzmite zbroj veličina poznatih četiriju kutova zadanog peterokuta.

null

Zatvori

Zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta

Vidjeli smo da zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta ovisi o broju vrhova tog mnogokuta.

Hoće li i zbroj vanjskih kutova mnogokuta ovisiti o broju vrhova mnogokuta?

Istražimo uz pomoć GeoGebrine interakcije.

Primjer 5.

Mijenjajući položaj vrhova i broj vrhova mnogokuta, istražite koliki je zbroj veličina svih vanjskih kutova. Što možete zaključiti?

Zbroj veličina svih vanjskih kutova bilo kojeg mnogokuta iznosi $360 ° .$

7.3 Kutovi mnogokuta

Zanimljivost

Ponovimo.

Zbroj veličina unutarnjih kutova mnogokuta

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zadatak 2.

Zanimljivost

Zadatak 3.

Vanjski kutovi mnogokuta

Kolekcija zadataka 2

Zadatak 4.

Zadatak 5.

Zbroj veličina vanjskih kutova mnogokuta

Uvježbajmo!

Kolekcija zadataka 3

Zadatak 6.

Zadatak 7.

Zadatak 8.

Kolekcija zadataka 4

Zadatak 9.

Zadatak 10.

Zadatak 11.

Zadatak 12.

Kutak za znatiželjne

...i na kraju

7.4 Pravilni mnogokuti