x
Učitavanje

7.1 Osnovno o mnogokutima

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Ilustracija prikazuje interijer dnevne sobe

Često možete čuti izreku da je matematika svuda oko nas. Ako se upravo sada osvrnete oko sebe, vjerojatno nećete vidjeti matematiku, ali zasigurno ćete vidjeti mnoštvo geometrijskih likova! Pogledajte malo temeljitije prostor u kojemu se nalazite i pokušajte imenovati geometrijske likove koje prepoznajete.

 Prepoznajemo sljedeće geometrijske likove:

null
null

Nakon trokuta i četverokuta, koje već dobro poznajemo, vrijeme je da upoznamo i neke druge mnogokute. Prije nego što to učinimo, odgovorite na sljedeća pitanja i provjerite točnost svojih odgovora.

a. Zašto se trokut zove baš trokut?

Zato što ima tri kuta. Čitamo: trokut.


b. Zašto se četverokut zove baš četverokut?

Zato što ima četiri kuta. Čitamo četverokut.


moderna arhitektura - prozor u obliku šesterokuta

c. Proučite prozor na lijevoj kućici. Kako bismo nazvali taj mnogokut?

Šesterokut.

Pazite, nije šestkut ni šestokut.


Prozor u bliku peterokuta

d. Proučite staklene plohe na ovoj fotografiji. Kako bismo nazvali te mnogokute?

Peterokuti.

Pazite, nisu petokuti ni petkuti.


  Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

n   kutova

trokut

peterokut

n -terokut (čitaj: enterokut)

 

null

Mnogokut

Zanimljivost

Mnogokut još nazivamo i poligon. Riječ poligon dolazi iz grčkog jezika, a složena je od dviju riječi: polys, što znači mnogo ili više, i gonos, što znači kut. Dakle, više kutova ili mnogo kutova.

Upamtite, predmetak (prefiks) poli u složenicama uvijek znači više nečega; npr. politeizam (višeboštvo).

Istražite značenja riječi: poliglot, poligamija, polinom.

Mnogokut je dio ravnine omeđen dužinama koje imaju zajedničke krajnje točke.

Zadatak 1.

Likovi na slici označeni su velikim slovima.

Koji od navedenih likova nisu, a koji jesu mnogokuti? 

Svakako provjerite svoje odgovore!

Slika prikazuje likove od kojih su samo neki mnogokuti.
NISU mnogokuti: , , i
JESU mnogokuti: , i .
null
null

Osnovni elementi mnogokuta

Osnovni elementi svakog mnogokuta su njegovi vrhovi, stranice i unutarnji kutovi.

Primjer 1.

Slika prikazuje osam točaka koje su vrhovi mnogokuta.

Želimo li skicirati neki mnogokut ili ga želimo nacrtati, najbolje je početi isticanjem točaka u ravnini. Pri isticanju točaka vodimo računa da tri uzastopne točke ne leže na istom pravcu. Te će točke biti vrhovi našeg mnogokuta.  

Vrhove mnogokuta najčešće označavamo velikim tiskanim slovima abecede (zapisujući ih u smjeru suprotnom od smjera kazaljke sata). Katkad primjenjujemo i zapis s indeksima, npr.  A 1 ,   A 2 ,   A 3 , . ..

Zadatak 2.

 Jesu li sve istaknute točke vrhovi istog mnogokuta?

Slika prikazuje 5 točaka istaknutih u kvadratnoj mreži.

Pomoć:

Točke ​ A 1 , A 2  i A 3  pripadaju istom pravcu. Točka  A 2  pripada dužini  A 1 A 3 ¯  pa nije vrh mnogokuta.

null

Zadatak 3.

Prethodni zadatak pokušajte riješiti koristeći se GeoGebrinim predloškom za crtanje mnogokuta. Upotrebljavajući ponuđene alate, istaknite točke (u zadanom položaju) pa nacrtajte mnogokut.

Što uočavate?

Prije rješavanja zadatka dobro je znati: 

  • odabirom pojedinog alata pojavljuje se polje s opisom alata,
  • za pomicanje bilo kojeg objekta koristite alat Pomicanje,
  • za povratak na početno stanje odaberite alat Početno stanje konstrukcije koji se nalazi u gornjem desnom kutu interakcije.
Povećaj ili smanji interakciju

Istaknuli smo u početku pet točaka koje bi trebale biti vrhovi mnogokuta, a nakon crtanja mnogokuta vidimo da je nacrtani lik zapravo četverokut. Dakle, sve istaknute točke nisu vrhovi istog mnogokuta.


Primjer 2.

Slika prikazuje osmerokut.

Spojimo li dužinama susjedne točke (abecednim redom ili prema indeksima), dobit ćemo stranice mnogokuta. Stranice mnogokuta su dužine, stoga se pri zapisu koristimo uobičajenim oznakama: A B ¯ , B C ¯ , C D ¯ ...

Želimo li istaknuti duljine stranica, koristimo se zapisom: a = A B , b = B C , c = C D   itd.

Stranice mnogokuta su dužine koje omeđuju mnogokut.

Vrh mnogokuta je točka zajednička dvjema susjednim stranicama mnogokuta.

Susjedni vrhovi mnogokuta su vrhovi koji pripadaju istoj stranici mnogokuta.

Susjedne stranice mnogokuta jesu stranice koje imaju jednu zajedničku točku (vrh mnogokuta).

Primjer 3.

Slika prikazuje peterokut kojemu je istaknuta jedna stranica

Istaknutoj stranici A B ¯  zadanog peterokuta odredite nasuprotnu stranicu.

Slika prikazuje peterokut sa dvojbom određenja nasuprotne stranice zadanoj

Primjećujemo da ne možemo sa sigurnošću reći koja je od stranica peterokuta nasuprotna zadanoj stranici. 

Upravo zato umjesto pojma nasuprotna stranica uvodimo pojam nesusjedna stranica. Zadana stranica mnogokuta može imati više nesusjednih stranica. U ovom primjeru, stranici  A B ¯  nesusjedne stranice su  C D ¯  i  D E ¯ .


Zadatak 4.

Slika prikazuje osmerokut.

Promotrite zadani mnogokut i odgovorite na sljedeća pitanja.

  1. Stranice D E ¯ i E F ¯  su susjedne stranice.

    null
    null
  2. Mnogokut A B C D E F G H ima  vrhova (kutova, stranica) i zovemo ga  .
    null
    null
  3. Vrh H ima

     
     susjedna vrha. Vrh C ima
     
     nesusjednih vrhova.

    dva
    pet

    null
    null

Osim stranica i vrhova, važni elementi mnogokuta su i unutarnji kutovi.

Mnogokut ima onoliko unutarnjih kutova koliko ima vrhova i stranica.

Unutarnje kutove označavamo uobičajenim oznakama: H A B  ili A , A B C ili B , B C D  ili C  itd.

Dogovoreno je da se ako u zadatku piše samo kut, misli na unutarnji kut.

Nekonveksni mnogokuti

Primjer 4.

Slika prikazuje tri mnogokuta od kojih je jedan nekonveksni

Jedan od mnogokuta bitno se razlikuje od preostala dva.

Možete li reći koji je to mnogokut i na koji se način izdvaja?

Mnogokut b) razlikuje se od preostala dva jer jedini ima unutarnji kut veći od 180 ° , tj. ima jedan izbočeni kut. Mnogokuti pod a) i c) imaju sve unutarnje kutove manje od 180 ° .


Konveksni mnogokut možemo prepoznati po unutarnjim kutovima - svaki je manji od 180 ° .

Mnogokut koji ima barem jedan izbočeni kut naziva se nekonveksni mnogokut.

U ovoj ćemo jedinici proučavati isključivo konveksne mnogokute.

Zadatak 5.

Dovucite pojam nekonveksni mnogokut na odgovarajući mnogokut.

Slika prikazuje tri mnogokuta od kojih je jedan nekonveksni.

nekonveksni mnogokut

Pomoć:

 Dobro pogledajte unutarnje kutove prikazanih mnogokuta.

Postupak:

Nekonveksni mnogokut je onaj mnogokut koji ima barem jedan unutarnji kut veći od 180 ° .

Zadatak 6.

Je li točna sljedeća tvrdnja?

Ovaj mnogokut je konveksni mnogokut.

Slika prikazuje nekonveksni mnogokut.

Pomoć:

Ovaj mnogokut ima jedan izbočeni kut (unutarnji kut pri vrhu  F  ). Što to znači?

null

Kutak za znatiželjne

Slika prikazuje naočale.

Nekonveksni mnogokut nazivamo još i konkavni mnogokut.

Više o pojmovima konkavni i konveksni učit ćete u osmom razredu u dijelu fizike koji nazivamo optika. Optika je dio fizike koji proučava svjetlosne pojave.

Optičar izrađuje pomagala za vid upotrebljavajući leće. Leća je element od prozirnog materijala omeđen dvjema zakrivljenim plohama.

Za korekciju kratkovidnosti (negativna dioptrija) optičar u izradi pomagala upotrebljava konkavne leće, a za korekciju dalekovidnosti (pozitivna dioptrija) konveksne leće.

Uvježbajmo!

Pažljivo pročitajte svaki zadatak i pokušajte ga samostalno riješiti. Ako ne uspijete, možete se vratiti na prethodno riješene primjere ili zatražiti pomoć vršnjaka ili učitelja.

Zadatak 7.

U nekom n -terokutu oznaka n ima značenje:​

Pomoć:

Oznaka n ima višestruko značenje.

 

Zadatak 8.

Mia je za potrebe svoje računalne igrice kreirala lik koji je nazvala Srećica. Kojim se mnogokutima koristila Mia pri crtanju Srećice?

Slika prikazuje lik čovječuljka koji je nacrtan pomoću mnogokuta.

  1. Pridružite naziv mnogokuta zadanom dijelu tijela.

    noga
     trokut
    ruka
    peterokut
    glava
    deseterokut
    uho
    šesterokut
    null
    null
  2. Navedi jedan dio tijela koji nije mnogokut:   .
    null
    null

Zadatak 9.

 Opisu mnogokuta pridružite odgovarajući naziv.

Mnogokut koji ima 4 vrha zove se
deseterokut. 
Mnogokut koji ima 9 stranica zove se
 deveterokut.
Mnogokut koji ima 10 kutova zove se
 četverokut.

Pomoć:

Naziv mnogokuta određujemo prema broju njegovih unutarnjih kutova, ali taj broj je jednak broju stranica mnogokuta i broju njegovih vrhova.

null

Zadatak 10.

Slika prikazuje pčelinje saće i pčele.

Na sljedeće pitanje odgovorite uz pomoć slike.

Zanimljivost

Pčele grade saće u obliku pravilnog šesterokuta. Pravilne šesterokute proučavat ćemo nešto kasnije, ali ako vas zanima zašto pčele grade saće u obliku pravilnog šesterokuta, pogledajte ovdje.

Vrijedne  grade svoje saće u obliku  .
null
null

Zadatak 11.

U bilježnicu nacrtajte mnogokut A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 . Kako se zove nacrtani mnogokut? Pravilno označite duljine njegovih stranica a 1 , a 2 , a 3 . . . i veličine unutarnjih kutova α 1 , α 2 , α 3 . . . .

Slika prikazuje pravilno označeni sedmerokut.

Istakni sedam točaka od kojih bilo koje tri nisu na istom pravcu. Kao vrh A 1  možeš odabrati bilo koju od točaka, ali preostale moraš nizati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.


Zadatak 12.

Pokušajte nacrtati zadani mnogokut koristeći se GeoGebrinim predloškom za crtanje mnogokuta.

Prije rješavanja zadatka dobro je znati:

  • za imenovanje objekta koristite alat Pokaži/sakrij oznaku
  • za preimenovanje objekta koristite desni klik miša uz odabir alata Preimenuj
  • želite li koristiti zapis pomoću indeksa ,npr.  A 1 , zapišite A_1.
Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 13.

Za koji mnogokut vrijedi da njegov odabrani vrh nema nesusjednih vrhova?

null
null

Zanimljivost

GeoGebra je računalni program dinamičke geometrije koji ima izuzetno veliku primjenu u učenju i poučavanju matematike. GeoGebra je ujedno i nekomercijalni program, što znači da se slobodno može preuzeti na osobno računalo i upotrebljavati izvanmrežno. 

Praktična vježba

Nacrtajte mnogokut iz 10. zadatka, koristeći se programom dinamičke geometrije GeoGebra. Nemate li iskustva s GeoGebrom, pogledajte poučni videozapis autora Damira Belavića, a zatim prionite na posao. Vjerujemo da ćete biti zadovoljni učinjenim. 

...i na kraju

Naučili smo opisati mnogokut i njegove osnovne elemente - vrhove, stranice i unutarnje kutove. Naučili smo kako imenovati mnogokute i kako pravilno označiti elemente svakog mnogokuta.

Jeste li dovoljno sigurni u svoje znanje? Možete provjeriti u nekoliko zadataka. Ako niste  zadovoljni ostvarenim rezultatom, vratite se na početak.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Na zadane mnogokute dovucite odgovarajući naziv.

Slika prikazuje deveterokut, sedmerokut i šesterokut.

deveterokut

šesterokut

 sedmerokut

null
null
2

 Zadan je mnogokut A B C D E F .

Slika prikazuje šesterokut

Stranice A B ¯  i C D ¯   su

3
 Upišite naziv mnogokuta za koji vrijedi da jedan njegov vrh ima 5 nesusjednih vrhova.

Pomoć:

 Odredite ukupan broj vrhova mnogokuta.

Postupak:

Prebrojimo vrhove: zadani vrh (1), susjedni vrhovi (2) i nesusjedni vrhovi (zadano 5). Ukupno je to 8 vrhova.

4

Zadanom n-terokutu pridružite odgovarajući naziv:​

n = 9  
n = 12  
n = 19  

 

5

Ako su svi unutarnji kutovi manji od  180 ° ,  kažemo da je to nekonveksni mnogokut.​

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

7.2 Dijagonale mnogokuta