x
Učitavanje

7.2 Dijagonale mnogokuta

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Sad kad smo dobro upoznali osnovne elemente svakog mnogokuta, možemo postupno početi proširivati svoje znanje. Svaki novi detalj koji naučimo otkrit će nam ljepotu geometrije.

Za početak pažljivo proučite sljedeće mnogokute.

Slika prikazuje tri mnogukuta s istaknutima dijagonalama: četverokut, dvadeseterokut i peterokut.

 ​

Nacrtanim mnogokutima plavom su bojom istaknute  .

Pomoć:

 Plavo su istaknute dužine koje spajaju dva nasuprotna vrha. Kako se zovu takve dužine?

null

Prebrojavanjem bismo vrlo jednostavno mogli odgovorili na pitanje koliko dijagonala imaju četverokut i peterokut, ali za dvadeseterokut - prebrojavati bi bilo izuzetno teško. Sasvim je prirodno upitati se: možemo li nekako izračunati taj broj?

Bilo bi divno kad bismo uspjeli otkriti vezu broja vrhova i broja dijagonala, osim one koja je očita: što je veći broj vrhova, bit će i više dijagonala.

Prije nego što počnemo s našim malim istraživanjem, prisjetimo se značenja pojma dijagonala.

Dijagonala mnogokuta je dužina koja spaja dva nesusjedna vrha mnogokuta.

Zadatak 1.

Pažljivo pročitajte tekst i uparite odgovarajuće dijelove rečenica.

Dužina koja spaja susjedne vrhove mnogokuta naziva se
Dužina koja spaja nesusjedne vrhove mnogokuta naziva se 
null
null

Zadatak 2.

  1. Koliko susjednih vrhova ima svaki vrh mnogokuta?

    null
    null
  2. Koliko nesusjednih vrhova ima svaki vrh mnogokuta?

    null
    null
  3. Koliko se dijagonala može nacrtati iz jednog vrha mnogokuta?

    null
    null

Broj dijagonala iz jednog vrha

Slika prikazuje  ilustraciju ix-ox igre

Zaključili smo da broj dijagonala iz jednog vrha ovisi o vrsti mnogokuta, odnosno o broju njegovih vrhova. 

Možemo li uočiti neku pravilnost u međusobnoj vezi tih dvaju brojeva?

Istražimo.

Primjer 1.

Pokušajte uz pomoć GeoGebrine interakcije istražiti međusobni odnos i naći vezu između broja vrhova mnogokuta i broja dijagonala iz jednog vrha toga mnogokuta.

Pomicanjem klizača možete mijenjati broj vrhova mnogokuta, a odabirom vrha mnogokuta možete crtati ili brisati dijagonale iz tog vrha. 

Dopunite tablicu i izvedite zaključak.

Povećaj ili smanji interakciju

Provjerimo u sljedećim zadacima uspješnost našeg istraživanja i ispravnost izvedenog zaključka.

Zadatak 3.

Broj dijagonala koje se mogu nacrtati iz jednog vrha mnogokuta za 3   je od broja vrhova (stranica, kutova) tog mnogokuta.

Pomoć:

Ima li mnogokut više vrhova ili dijagonala koje se mogu nacrtati iz jednog vrha?

null

Iz jednog vrha mnogokuta s n  vrhova može se nacrtati n - 3  dijagonale.​ 

Dakle, ako neki mnogokut ima n  vrhova, tada svaki od njih ima​ n - 3 nesusjednih vrhova pa tako i n - 3  dijagonala koje se mogu iz njega nacrtati.

Pojasnimo. Potrebno je oduzeti upravo 3   (vrha) jer ne možemo nacrtati dijagonalu iz odabranog vrha do tog istog vrha niti možemo nacrtati dijagonale do njemu susjednih vrhova (to bi bile stranice mnogokuta).

Broj dijagonala iz jednog vrha, d n  

Mnogokut s n  vrhova ima d n = n - 3  dijagonale iz jednog vrha.

Zadatak 4.

Ako n  označava broj vrhova mnogokuta, a d broj dijagonala koje se mogu nacrtati iz jednog vrha tog mnogokuta, spojite odgovarajuće parove.

n = 7
n = 15  
d = 5  
d = 4  
n = 20  
n = 8  
d = 12  
d = 17  

Pomoć:

Broj dijagonala iz jednog vrha uvijek je za 3 manji od broja vrhova nekog mnogokuta. :)

null

Zadatak 5.

  1. Koliko vrhova ima mnogokut ako se iz jednog njegova vrha može nacrtati ukupno 18 dijagonala?

    Pomoć:

    Prisjetite se veze broja vrhova nekog mnogokuta i broja dijagonala koje se mogu nacrtati iz jednog njegova vrha.

    null
  2. Koliko stranica ima n -terokut kojemu se iz jednog vrha može nacrtati ukupno 8 dijagonala?​

    null
  3. Ako neki mnogokut ima 13 unutarnjih kutova, koliko se dijagonala može ukupno nacrtati iz jednog njegova vrha?

    null

U sljedećim zadacima nemojte pogađati rješenja, nego uzmite papir i olovku, skicirajte  i pokušajte riješiti zadatke. Ako ne uspijete riješiti iz prvog pokušaja, potražite pomoć klikom na odgovarajuću ikonu. :)

U rješavanju zadataka možete se koristiti danim predloškom.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Barbara je nacrtala ukupno 6 dužina koje imaju zajedničku početnu točku. Kako se zove mnogokut koji je počela crtati? Barbara crta  .
Ilustracija prikazuje djevojčicu koja je nacrtala 6 dužina sa zajedničkom početnom točkom.


Pomoć:

Skicirajte na papir (ili na predložak) Barbarin crtež.  Dvije od nacrtanih dužina su stranice, a preostale 4 su dijagonale iz jednog vrha.

Postupak:

Barbara je nacrtala  6 dužina koje su istaknute plavom bojom. U smjeru suprotnom od kazaljke sata imenujte preostale vrhove i docrtajte stranice mnogokuta.

Slika prikazuje sedmerokut, rješenje zadatka.



Zadatak 7.

  1. Bruno je nacrtao 6 dužina sa zajedničkom početnom točkom koja je vrh (budućeg) mnogokuta. Nacrtane dužine predstavljaju dijagonale mnogokuta iz vrha A .
    Slika prikazuje 6 dužina sa zajedničkom početnom točkom


    Ako ovaj mnogokut ima 6 dijagonala iz jednog vrha, tada mora imati  vrhova.

    Pomoć:

    Prisjetite se u kojem su odnosu broj dijagonala nacrtanih iz jednog vrha i broj vrhova mnogokuta.

    Postupak:

    Broj vrhova nekog mnogokuta za tri je veći od ukupnog broja dijagonala nacrtanih iz jednog njegova vrha.

  2. Da bi crtež bio ispravan, potrebno je docrtati  vrha.

    Pomoć:

    Ako ima 6 dijagonala iz vrha A , znači da vrh A ima 6 nesusjednih vrhova. Mora imati još i 2 susjedna (koja se trebaju docrtati).

    Postupak:

    Vrh A 1 , njemu nesusjedni vrhovi 6 i susjedni vrhovi 2 . Ukupno je to 9 vrhova.

Ukupan broj dijagonala mnogokuta

Možemo li sada izračunati ukupan broj dijagonala mnogokutima iz uvodnog primjera?

Sljedeći primjer pomoći će vam u traženju odgovora na postavljeno pitanje.

Primjer 2.

Uz pomoć interaktivnog uratka istražite vezu broja vrhova mnogokuta i ukupnog broja dijagonala toga mnogokuta.

Možemo li izračunati ukupni broj dijagonala ako znamo broj vrhova mnogokuta?

Klizačem možete mijenjati broj vrhova mnogokuta, odabirom gumba Dijagonale možete pratiti animaciju, a gumb Pomoć ostavite za trenutak kad vam ponestane ideja. 

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Provjerimo zaključke istraživanja:
    Neki n -terokut ima vrhova. Iz svakog njegova vrha može se nacrtati dijagonale.

    Pomoć:

    Ponovo proučite aplet u prethodnom primjeru.

     

  2. Ukupni broj dijagonala mnogokuta s  n  vrhova računamo:

    Pomoć:

    Još jedanput proučite prethodni primjer i usporedite ga s ponuđenim odgovorom.

Zadatak 8.

Izračunajte ukupan broj dijagonala peterokuta i provjerite rješenje prebrojavanjem dijagonala. (U odgovoru upišite brojke.) Peterokut ima ukupno  dijagonala.

 

null
Slika prikazuje peterokut s istaknutim dijagonalama.

Peterokut ima 5 vrhova, iz svakog vrha izlaze 2 dijagonale 5 - 3 . Ukupan broj dijagonala dobit ćemo ako pomnožimo broj vrhova s brojem dijagonala iz jednog vrha (umnožak je 10 ) te podijelimo s dva, jer smo svaku dijagonalu brojili 2 puta.

Dakle, postoji ukupno 5 dijagonala, a to lako možemo provjeriti prebrojavanjem.


Ako mnogokut nema puno vrhova, odnosno - ako je n neki jednoznamenkasti broj, račun najčešće izvodimo napamet. Međutim, katkad nam neće biti jednostavno množiti, a zatim i dijeliti napamet pa je preporučljivije račun zapisati.

Želimo li matematičkim jezikom zapisati izraz koji će nam dati ukupan broj dijagonala nekog n -terokuta, učinit ćemo to na sljedeći način:

Ukupni broj dijagonala mnogokuta, D n

Mnogokut s n  vrhova ukupno ima D n = n · n - 3 2   dijagonala.

Zadatak 9.

Slika prikazuje dvadeseterokut sa svim dijagonalama
Sada smo spremni odgovoriti na pitanje iz uvodnog dijela.
Koliko ukupno dijagonala ima dvadeseterokut? Dvadeseterokutu se ukupno može nacrtati  (upišite broj) dijagonala.

Pomoć:

Kako računamo ukupni broj dijagonala nekog mnogokuta?

Koliko ima dijagonala iz jednog vrha mnogokuta?

Možda će biti jednostavnije ako zapišete postupak. :)

Postupak:

n = 20  

Iz jednog vrha mnogokuta možemo povući 17 dijagonala ( n - 3 ) pa je ukupni broj dijagonala

D 20 = 20 · 17 2

U ovom je slučaju jednostavnije skratiti 20 i 2 , nego najprije množiti faktore u brojniku.

Nakon skraćivanja, rješenje lako možemo izračunati i napamet.

Izračunajte i provjerite točnost upisivanjem broja na predviđeno mjesto.

n = 20 _  

D n = ?  
D n = n n - 3 2  

D n = 20 20 - 3 2  

D n = 20 · 17 2  

D n = 10 · 17  

D n = 170


Primjer 3.

Koliko vrhova ima mnogokut koji ima ukupno 9  dijagonala?

D n = 9 _  

n = ?  

Umjesto oznake za ukupan broj dijagonala, napisat ćemo formulu te izjednačiti s 9 :

n n - 3 2 = 9
Pomnožimo cijelu jednadžbu s 2  kako bi nam ostao izraz iz brojnika lijeve strane:

n n - 3 = 18

Sada umnožak broja n s brojem koji je za 3  manji od njega daje 18 .

Povremeno možemo napamet otkriti takva dva broja, ali ako ne uspijemo (a nećemo uspjeti uvijek), najsigurnije nam je rastaviti taj umnožak na proste faktore.

Dakle, 18 = 2 · 3 · 3

Sada možemo uočiti da prva dva faktora daju umožak 6 , a preostane nam 3 .

18 = 6 · 3  

Pronašli smo takva dva prirodna broja koji se razlikuju za 3 , a pomnoženi daju 18 .

Veći od tih faktora je broj stranica mnogokuta ( n ), a manji je broj dijagonala iz jednog vrha.

U našem primjeru, n = 6 , dakle radi se o šesterokutu.


Zadatak 10.

Koji mnogokut ima ukupno 20  dijagonala?

Pomoć:

Zadan je ukupan broj dijagonala, D n = 20 , a traži se n .

Uz pomoć postupka opisanog u rješenju prethodnog primjera, pokušajte točno odgovoriti.

null

Primjer 4.

Postoji li mnogokut kojemu se ukupno može nacrtati 77  dijagonala?

U ovom je zadatku ponovo poznat ukupan broj dijagonala:

D n = 77 _

ali je postavljeno pitanje: postoji li mnogokut?

Pitamo se: zašto ne bi postojao? Kakav bi to trebao biti  n  (broj vrhova) da mnogokut ne postoji.

Naravno, broj  n  mora biti prirodni broj (jer ne može mnogokut imati npr.  4.5  vrhova), i to veći od broja  2  (jer je trokut mnogokut s najmanjim brojem stranica).

Dakle,

n = ?     Saznamo li n     N , n 3 ,   moći ćemo reći koji je to mnogokut.

Kao i u prethodnom primjeru, umjesto oznake D n , napisat ćemo formulu te izjednačiti sa 77 . Nakon toga pomnožit ćemo cijelu jednadžbu s  2  kako bi nam ostao izraz iz brojnika lijeve strane:

n n - 3 = 154  

Tražimo takva dva prirodna broja koji se razlikuju za 3 , a umnožak im je 154 .

To će teže ići napamet, stoga rastavimo taj umnožak na proste faktore.

Dakle, 154 = 2 · 77 = 2 · 7 · 11

Uočavamo da kombinacija 14 · 11 zadovoljava tražene uvjete, iz čega slijedi da je n = 14 .

Dakle, traženi mnogokut je četrnaesterokut.


Zadatak 11.

Postoji li mnogokut koji ima  12  dijagonala?

D n = 12 _  

n = ?     Saznamo li n , moći ćemo reći koji je to mnogokut.

Kao i u prethodnom primjeru, umjesto oznake D n  napisat ćemo formulu te izjednačiti s 12 . Nakon toga, pomnožit ćemo cijelu jednadžbu s  2  kako bi nam ostao izraz iz brojnika lijeve strane:

n n - 3 = 24

Tražimo takva dva prirodna broja koji se razlikuju za 3 , a pomnoženi daju 24 .

Rastavimo taj umnožak na proste faktore.

Dakle, 24 = 2 · 2 · 2 · 3

Možemo dobiti sljedeće kombinacije: 4 · 6 ili 8 · 3 ili 12 · 2 , ali ni jedan od parova brojeva ne zadovoljava uvjet da je jedan faktor za  3  veći od drugoga.

S obzirom na to da ne postoji takav n , zaključujemo da ni mnogokut 12  dijagonala ne postoji.


Zadatak 12.

Za sljedeći zadatak nije dovoljno samo odgovoriti na pitanje. Važan je postupak rješavanja, uz razumijevanje napisanoga, naravno. 

  1. Postoji li mnogokut kojemu se može nacrtati ukupno:

    10 dijagonala?

    Pomoć:

    Iskoristite postupak iz rješenja prethodnog primjera. :)

    null
  2. 65 dijagonala?

    null

Primjer 5.

Ekipe sedam vinkovačkih osnovnih škola sudjeluju na turniru u odbojci. Koliko će utakmica biti odigrano ako svaka ekipa mora odigrati po jednu utakmicu sa svakom preostalom ekipom?

Možemo zamisliti da je svaka ekipa vrh mnogokuta.

Ako svaka ekipa igra sa svakom, broj utakmica bit će jednak broju svih dužina na crtežu, a to su sve dijagonale i sve stranice mnogokuta, tj. D n + n .

Budući da znamo da je n = 7 , možemo lako izračunati D n = 14 .

Zaključujemo da će se odigrati  21  utakmica.


Zadatak 13.

Pred kinom se srelo 8 prijatelja. Ako se svaki rukovao sa svakim, koliko je bilo rukovanja?

Pomoć:

Prijatelje možete prikazati kao vrhove osmerokuta. Rukovanja su dužine koje povezuju vrhove, a to su sve dijagonale i same stranice mnogokuta.

Postupak:

Postupak rješavanja potražite u rješenju prethodnog primjera. Jedina razlika je u broju vrhova.

Uvježbajmo!

Pripremite papir i olovku.

Zadatak 14.

Znamo da n -terokut ima n vrhova. Iz svakog vrha možemo nacrtati n - 3 dijagonale. Znači li to da se ukupni broj dijagonala može izračunati kao n · n - 3 ?

Ne, jer smo u tom slučaju svaku dijagonalu brojili dva puta.

Da bismo dobili točan broj dijagonala, navedeni umnožak moramo podijeliti s 2 .


Zadatak 15.

Zadan je mnogokut s 12 stranica. Iz jednog njegova vrha možemo povući  dijagonala, a ukupni broj dijagonala je .

Pomoć:

d = n - 3  , a D n = n n - 3 2

null

Zadatak 16.

Mnogokut kojemu se iz jednog vrha može povući 16 dijagonala ima

Pomoć:

Broj dijagonala iz jednog vrha za 3 je manji od broja stranica (vrhova, kutova).

null

Zadatak 17.

Mirna odmalena voli igrati šah. Kako bi za tu zanimljivu igru zainteresirala što više učenika svoje škole, uz pomoć učitelja organizirala je šahovski turnir. Prijavilo se, osim nje, 17  učenika. Mirna treba napisati raspored partija. Planira podijeliti natjecatelje u dvije jednake skupine, a unutar svake skupine svaki sudionik igra sa svakim jednu partiju.

  1. U svakoj skupini ima  natjecatelja.
    null
    null
  2. Koliko će partija šaha odigrati Mirna u svojoj skupini?  
    null

    Postupak:

    Ako skupinu zamislite kao mnogokut, jedan vrh predstavlja Mirnu. Dakle, ukupan broj vrhova umanjite za jedan (jer ne može igrati sama sa sobom).

  3. Koliko će ukupno partija biti odigrano unutar jedne skupine?

    Pomoć:

    Želimo li grafički prikazati situaciju, crtamo deveterokut ( 9 sudionika u skupini). Ako dužina predstavlja partiju šaha, primjećujemo da je potrebno računati broj svih dijagonala i pribrojiti broj svih stranica mnogokuta.

    Slika prikazuje deveterokut sa svim dijagonalama

  4. Koliko je ukupno šahovskih partija odigrano na turniru?

    Pomoć:

    Dvije su skupine s istim brojem sudionika, što znači da je u svakoj odigran isti broj partija.

    null

Zanimljivost

Ilustracija prikazuje djevojčicu i dječaka koji igraju šah.

Smatra se da je povijest šaha počela u Indiji prije oko dvije tisuće godina, ali uistinu ne postoje dokazi da je šah, u obliku kakav danas poznajemo, postojao prije 6. stoljeća.

U samim počecima, šah se u Indiji zvao "čatarunga", što znači četverodijelni, a predstavljao je borbeni raspored indijske vojske. Vojska je bila raspoređena u četiri dijela (slonovi, borna kola, konji i pješaci), a njima su pridodani vojskovođa (kralj) i dama (kraljica), koji su radi sigurnosti bili smješteni u sredini formacije.

O šahu postoje mnoge legende, a jednu od njih, onu o mudracu Sisi Ben Dahiru i mladom kralju Šahramu, zasigurno ćete čuti učeći potencije u osmom razredu.

Do tada, želite li naučiti igrati šah, uključite se u školsku grupu (ako postoji u vašoj školi) ili posjetite neku od mrežnih stranica na kojima su detaljno opisana pravila te drvene igre, na primjer Šah ili Naučimo igrati šah.

Zadatak 18.

  1. Ako se nekom mnogokutu iz jednog vrha može nacrtati ukupno 11  dijagonala, koliko  ukupno dijagonala ima taj mnogokut?

    Pomoć:

    Koliko vrhova ima mnogokut?

    Postupak:

    Izračunajte najprije broj vrhova (za tri ih je više nego što je broj dijagonala iz jednog vrha), a zatim izračunajte ukupan broj dijagonala.

  2. Koliko kutova ima mnogokut kojemu se iz jednog vrha može nacrtati 21 dijagonala?

    Pomoć:

    Broj unutarnjih kutova je isti kao i broj vrhova, a njih je za 3 više od broja dijagonala iz jednog vrha.

Zadatak 19.

Postoji li mnogokut koji ima ukupno 35  dijagonala?​

Pomoć:

Riješite zadatak po uzoru na Primjer 4.

null

Zadatak 20.

Na nogometnom treningu trener je svima podijelio lopte i zadao vježbu. Svih 10 djevojčica treba stati u krug i dodavati se loptom tako da svaka djevojčica doda svima ostalima, ali ne i onima koje su prva slijeva i prva zdesna. Naravno, ona kojoj je lopta dodana, treba loptu i vratiti istoj djevojčici od koje je lopta stigla.

Koliko je puta lopta prošla terenom za dodavanje?

Pomoć:

Ako zamislimo da djevojčice predstavljaju vrhove deseterokuta, dodavanja su dijagonale. S obzirom na to da djevojčica kojoj je lopta dodana treba i vratiti loptu, u jednom krugu lopta će prijeći teren četrnaest puta. a kako ima deset djevojčica, ukupan broj je ​ 140 .

null

...i na kraju

Naučili ste da dijagonale nekog mnogokuta ne morate prebrojavati da biste saznali koliko ih ima.Naučili ste i kako nam poznavanje svojstava dijagonala mnogokuta može pomoći u rješavanju problemskih situacija u svakodnevnom životu.

Naučili ste pravilnosti koje povezuju broj vrhova mnogokuta s brojem dijagonala iz jednog vrha d te s ukupnim brojem dijagonala ( D n ).Ponovimo ih.

Za svaki n -terokut vrijedi:

d = n - 3 i D n = n · n - 3 2

Jeste li sve dovoljno dobro naučili, možete provjeriti u nekoliko zadataka koji slijede.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Dijagonala mnogokuta je dužina koja spaja dva

null
null
2

Koliko se dijagonala može nacrtati iz jednog vrha n -terokuta?​

null
null
3

Iz jednog vrha devetnaesterokuta možemo nacrtati najviše

Pomoć:

Broj dijagonala iz jednog vrha za 3 je manji od broja vrhova n -terokuta.

4

Ako je  D n  ukupni broj dijagonala, a  d n  broj dijagonala iz jednog vrha  n -terokuta, pronađite odgovarajuće parove:

D n = 5
D n = 14  
d n = 12  
null
5
Koliko stranica ima mnogokut koji ima ukupno 104 dijagonale?
n =

 

null
6

Koliko ukupno dijagonala ima mnogokut kojemu iz jednog vrha možemo nacrtati 9 dijagonala?

null
7

Ljetos je Matija boravio u izviđačkom kampu. Nakon dolaska je raspoređen u skupinu Kolibri u kojoj je bilo, osim njega, još 12 izviđača. Došli su iz raznih dijelova Hrvatske i nisu se međusobno poznavali. Slijedilo je upoznavanje i rukovanje.

Koliko se puta rukovao Matija? Koliko je rukovanja bilo ukupno?

Pomoć:

Matija se rukuje sa svima osim sa samim sobom.

Ukupan broj rukovanja jednak je zbroju ukupnog broja dijagonala i broja stranica zamišljenog trinaesterokuta.

Postupak:

Osim na uobičajeni način, zadatak se može riješiti i na sljedeći način:

Ima 13 osoba, svaka se rukuje 12 puta, a 13 puta po 12 je 156 . Međutim, rezultat moramo prepoloviti jer kad se rukuju dvije osobe, to je jedno rukovanje i ne brojimo ga dva puta.

ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

7.3 Kutovi mnogokuta