x
Učitavanje

8.8 Ostale prizme

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje pitu od jabuke izrezane na prizme čija je baza romb. Ostatici kod ruba kolača sačinjeni su od prizmi čije su baze jednakostranični ili jednakokračni trokuti.

Ivana je ispekla pitu od jabuka u limu duljine 36 cm i širine 24 cm . Visina je pečene pite bila 6 cm . Odlučila je pitu izrezati kao što je prikazano na slici. Kakva su oblika izrezani dijelovi? Koliki je volumen pojedinog dijela?

Slika prikazuje oblike izrezanih kolača (prizme čije su baze redom rombovi, jednakokračni torkuti i jednakostranični trokuti).

Izrezane komade kolača možemo shvatiti kao uspravne prizme visine 6 cm , kojima su baze rombovi odnosno jednakokračni trokuti. Prema slici zaključujemo da je duljina veće dijagonale romba (i osnovice tupokutnoga jednakokračnog trokuta) jednaka 36 : 4 = 9 cm , dok je duljina manje dijagionale romba (i osnovice šiljastokutnoga jednakokračnog trokuta) jednaka 24 : 6 = 4 cm .

U primjerima i zadatcima koji slijede naučit ćete kako izračunati volumen Ivaninih kolača!


Trostrane prizme

Promotrite mreže različitih trostranih prizmi.

Povećaj ili smanji interakciju

Baza pravokutni trokut

Primjer 1.

Promotrimo mrežu uspravne prizme kojoj je baza pravokutni trokut s katetama duljina a i b te hipotenuzom duljine c , pri čemu je h visina prizme.

Slika prikazuje prizmu i mrežu prizme čija je baza pravokutni trokut.

Mreža se sastoji od dvaju sukladnih pravokutnih trokuta i triju pravokutnika koji imaju jednu stranicu duljine h .


Površinu baze (pravokutnog trokuta s katetama duljina a i b ) računamo po formuli B = 1 2 a b . Površinu pobočja te prizme računamo kao zbroj površina triju pravokutnika sa stranicama duljina a i h , b i h te c i h , tj.

P = a h + b h + c h .

Slika prikazuje površine strana prizme kojoj je baza pravokutni trokut.

Za računanje oplošja i volumena takve prizme primijenit ćemo opće formule O = 2 B + P i V = B h .

Zadatak 1.

Baza je trostrane prizme pravokutni trokut s katetama duljina 48 mm i 5.5 cm , a visina je te prizme 8 cm . Izračunajte oplošje i volumen te prizme.

Slika prikaze dijelove mreže prizme kojoj je baza pravokutan trokut (bazu i pobočje).

Površina se pravokutnog trokuta s katetama duljina a i b računa prema formuli  B = 1 2 a b pa uvrštavanjem dobivamo B = 1 2 · 48 · 55 = 24 · 55 = 1 320   mm 2 .

Za računanje površine pobočja potrebna je duljina hipotenuze pravokutnog trokuta. Primjenom Pitagorina poučka dobivamo da je c 2 = a 2 + b 2 = 48 2 + 55 2 = 2 304 + 3 025 = 5 329   pa je c = 5 329 = 73   mm .

Uvrštavanjem podataka u izraz za računanje površine pobočja dobiva se P = a h + b h + c h = ( a + b + c ) h = ( 48 + 55 + 73 ) · 80 = 176 · 80 = 14 080   mm 2 .

Oplošje je te prizme​ O = 2 B + P = 2 · 1 320 + 14 080 = 16   720   mm 2 , a volumen V = B h = 1 320 · 80 = 105   600   mm 3 .


Zadatak 2.

Slika prikazuje površine strana prizme kojoj je baza pravokutni trokut.

Baza je trostrane prizme pravokutni trokut s hipotenuzom duljine 65 mm i katetom duljine 56 mm , a volumen je te prizme 90.552 cm 3 . Duljina je druge katete te prizme mm , površina je baze​ mm 2 ,  ​duljina je visine prizme mm , površina je pobočja​ mm 2 , a oplošje ​je mm 2 .
null
null

Baza jednakokračni trokut

Primjer 2.

Promotrimo mrežu uspravne prizme kojoj je baza jednakokračni trokut s osnovicom duljine a i krakom duljine b , pri čemu je h visina prizme.

Slika prikazuje prizmu i mrežu trostrane prizme kojoj je baza jednakokračan trokut.
Mreža se sastoji od dvaju sukladnih jednakokračnih trokuta i triju pravokutnika koji imaju jednu stranicu duljine h .  

Površinu baze (jednakokračnog trokuta s osnovicom duljine a i visinom na osnovicu duljine v ) računamo po formuli B = 1 2 a v . Površinu pobočja te prizme računamo kao zbroj  površina triju pravokutnika, jednoga sa stranicama duljina a i h te dvaju sa stranicama duljina b i h , tj. P = a h + 2 b h .

Slika prikazje površine strana prizme kojoj je baza jednakokračni trokut.

Za računanje oplošja i volumena takve prizme primijenit ćemo opće formule O = 2 B + P  i V = B h .  

Zadatak 3.

Baza je upravne prizme jednakokračni trokut s osnovicom duljine 32 cm i krakom duljine 34 cm . Visina je te prizme 20 cm . Izračunajte oplošje i volumen te prizme.

Slika prikazuje dijelove mreže prizme kojoj je baza jednakokračni trokut.

Primjenom Pitagorina poučka prvo računamo visinu baze v 2 = b 2 - a 2 2 = 34 2 - 16 2 = 900 , tj. v = 900 = 30 cm i zato je površina baze jednaka B = 1 2 a v = 1 2 · 32 · 30 = 16 · 30 = 480 cm 2 . Volumen je te prizme V = B h = 480 · 20 = 9 600 cm 3 .

Površina je pobočja te prizme P = a h + 2 b h = ( a + 2 b ) h = ( 32 + 2 · 34 ) · 20 = 100 · 20 = 2 000 cm 2 , a oplošje je O = 2 B + P = 2 · 480 + 2 000 = 2 960 cm 2 .


Zadatak 4.

Slika prikazuje prizmu kojoj je baza jednakokračni trokut s upisanom formulama za površinu pojedinih strana.

  1. Duljina je osnovice jednakokračnog trokuta jednaka 4 cm , a duljina visine na osnovicu 4.5 cm . Taj je trokut baza uspravne prizme čija je visina 6 cm . Koliki je volumen te prizme?

    Slika prikazuje kolač oblika trostrane prizme, baza jednakokračan trokut

    null
    null
  2. Baza je uspravne prizme jednakokračni trokut s osnovicom duljine 0.9 dm i visinom na osnovicu duljine 2 cm . Visina je te prizme 60 mm . Volumen te prizme iznosi mm 3 .

    Pomoć:

    Slika prikazuje kolač oblika trostrane prizme, baza jednakokračan trokut

     ​

    null
  3. Baza je uspravne prizme jednakokračni trokut površine 2.4 dm 2 , a duljina je visine na osnovicu tog trokuta 24 cm . Oplošje je te prizme 1 344 cm 2 . Spoji parove.

    a =
    20 cm
    v =
    864 cm 2
    P =  
    26 cm
    V =
    2880 cm 3  
    null

Četverostrane prizme

Promotrite mreže raznih četverostranih prizmi.

Povećaj ili smanji interakciju

Baza romb

Primjer 3.

Promotrimo mrežu uspravne prizme kojoj je baza romb sa stranicom duljine a i dijagonalama duljina e i f , pri čemu je h visina prizme  

Slika prikazuje prizmu i mrežu prizme kojoj je baza romb.

Mreža se sastoji od dvaju sukladnih rombova i četiriju sukladnih pravokutnika sa stranicama duljina a i h .


Površinu baze (romba sa stranicom duljine a i dijagonalama duljine e i f ) računamo po formuli B = 1 2 e f . Površinu pobočja te prizme računamo kao zbroj površina četiriju pravokutnika sa stranicama duljina a i h , tj. kao P = 4 a h .

Slika prikazuje mrežu prizme kojoj je baza romb s upisanim formulama za površinu strana.

Zadatak 5.

Baza je četverostrane prizme romb s dijagonalama duljina 28.8 cm i 8.4 dm . Koliko je oplošje te prizme ako je njezin volumen 30.24   dm 3 ?

Slika prikazuje dijelove mreže prizme čija je baza romb.

Površina je baze te prizme B = 1 2 · 28.8 · 84 = 14.4 · 84 = 1 209.6   cm 2 pa na temelju poznate površine baze i volumena prizme slijedi da je visina prizme h = 30 240 : 1 209.6 = 25   cm . Duljinu stranice romba nalazimo primjenom Pitagorina poučka pa iz a 2 = e 2 2 + f 2 2 = 14.4 2 + 42 2 = 1 971.36 slijedi da je a = 1 971.36 = 44.4   cm .

Površina je pobočja jednaka P = 4 a h = 4 · 44.4 · 25 = 4 440   cm 2 , a oplošje je te prizme O = 2 B + P = 2 · 1 209.6 + 4 440 = 2 419.2 + 4 440 = 6 859.2   cm 2 .


Zadatak 6.

Slika prikazuje mrežu prizme kojoj je baza romb.

  1. Duljine su dijagonala romba 9 cm i 4 cm . Taj je romb baza uspravne prizme čija je visina 6 cm . Koliki je volumen te prizme?

    Slika prikazuje kolač oblika četverostrane prizme kojoj je baza romb.


    null
    null
  2. Baza je uspravne prizme romb opsega 5.2 dm . Duljina je visine te prizme 5 cm , a duljina jedne dijagonale baze iznosi 24 cm . Oplošje je te prizme cm 2 , a volumen joj je   cm 3 .
    null
    null

Baza jednakokračni trapez

Primjer 4.

Promotrimo mrežu uspravne prizme kojoj je baza jednakokračni trapez s osnovicama a i c , krakovima duljine b i visinom baze duljine v , pri čemu je h visina prizme.  

Slika prikazuje prizmu i mrežu kojoj je baza jednakokračni trapez.

Mreža se sastoji od dvaju sukladnih jednakokračnih trapeza i četiriju pravokutnika (od kojih su dva međusobno sukadna) i svi pravokutnici imaju jednu stranicu duljine h .​


Površinu baze (jednakokračnog trapeza s osnovicama duljine a i c , krakovima duljine b , visinom baze duljine v ) računamo po formuli  B = a + c 2 · v . Površinu pobočja te prizme računamo kao zbroj površina četiriju pravokutnika sa stranicama duljina a i h tj. kao P = a h + 2 b h + c h , odnosno P = a + 2 b + c · h .

Slika prikazuje mrežu prizme čija je baza jednakokračni trapez.

Zadatak 7.

Baza je prizme jednakokračni trapez s osnovicama duljina 26 cm i 1 dm te krakom duljine 17 cm . Visina je te prizme 6.5 cm . Izračunajte oplošje i volumen te prizme.

Slika prikazuje dijelove mreže prizme kojoj je baza jednakokračni trapez.

Duljinu visine baze dobivamo s pomoću Pitagorina poučka primijenjena na istaknuti pravokutni trokut. Uvrštavanjem u izraz v 2 = b 2 - c - a 2 2 dobivamo v 2 = 17 2 - 8 2 = 289 - 64 = 225 , tj. V = 15 cm .

Površina je baze jednaka B = a + c 2 · v = 10 + 26 2 · 15 = 18 · 15 = 270 cm 2 , površina je pobočja P = a h + c h + 2 b h = ( a + 2 b + c ) · h = 70 · 6.5 = 455 cm 2 , a oplošje je O = 2 B + P = 2 · 270 + 455 = 995 cm 2 .

Volumen je te prizme V = B h = 270 · 6.5 = 1 755 cm 3 .


Zadatak 8.

Slika prikazuje dijelove mreže prizme kojoj je baza jednakokračni trapez.

 ​

Baza je prizme jednakokračni trapez opsega 108 cm , s krakovima duljine 29 cm i kraćom osnovicom duljine 0.5 dm . Površina je najveće pobočke 13.5   dm 2 . Koji su podatci točno određeni?

null
null

Zadatak 9.

Povežite prizmu s njezinim odgovarajućim nazivom (imenujte prizmu).

Prizma kojoj je baza osmerokut.
Četverostrana prizma
Prizma s pet pobočki.
 Dvanaesterostrana prizma
Prizma kojoj je baza trapez.
 Osmerostrana prizma
Prizma sa 14 strana.
Peterostrana prizma
null
null

...i na kraju

Slika prikazuje drvarnicu iz zadatka.

 U ovoj ste jedinici naučili:

Primijenite naučeno i izračunajte koliko kubnih metara drva Sanja može spremiti u svoju drvarnicu. Potrebne su mjere označene na slici.

Baza je Sanjine drvarnice pravokutni trapez s osnovicama duljina 2.5 m i 3 m , a visina je tog trapeza 3 m .

Uvrštavajući te podatke u izraz za površinu trapeza, dobit ćemo redom B = a + c 2 · v =   2.5 + 3 2 · 3 = 5.5 2 · 3 = 2.75 · 3 = 8.25   m 2 .

Visina je te prizme 3 m pa je njezin volumen jednak V = B h = 8.25 · 3 = 24.75   m 3 .

U Sanjinu drvarnicu stane 24.75   m 3 drva.