x
Učitavanje

8.3 Kvadar

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Kučište kompjutera

Na slici vidimo kućište stolnog računala.

Ima oblik kvadra.

Kvadar je geometrijsko tijelo koje spada u obitelj uspravnih prizmi.

Kvadar ima:

  • 8 vrhova
  • 6 strana
  • 12 bridova.

Primjer 1.

U sljedećoj aktivnosti proučite kvadar sa svih strana. Uočite pravilnosti. Možete mu mijenjati duljine bridova i okretati ga.

Povećaj ili smanji interakciju
KVADAR

Mirnina sanduka uz oznake

Zbrojimo površine svih strana kvadra prikazanih mrežom kvadra

Kvadar ima tri četvorke bridova jednake duljine:

A B = C D = E F = G H = a B C = A D = F G = H E = b A E = B F = C G = D H = c

Kažemo da su osnovni bridovi duljine a , b i c .

Kvadar ima tri para sukladnih strana.

Baze A B C D i E F G H sukladni su paralelni pravokutnici.

Prvi par pobočki A B F E i D C G H sukladni su paralelni pravokutnici.

Drugi par pobočki B C G F i A D H E sukladni su paralelni pravokutnici.

Pobočje su sve pobočke zajedno.

A B ¯ , B C ¯ , C D ¯ , D A ¯ : bridovi donje baze

E F ¯ , F G ¯ , G H ¯ , H E ¯ : bridovi gornje baze

A E ¯ , B F ¯ , C G ¯ , D H ¯ : bridovi pobočki

Odnosi bridova i strana kvadra

Primjer 2.

Odredimo u kakvu su odnosu bridovi kvadra koji se spajaju u jednom njegovu vrhu.

kvadar

Odaberimo jedan vrh, na primjer F . Svi su bridovi koji se spajaju u vrhu F u parovima okomiti, E F ¯ B F ¯ G F ¯ . To vrijedi za sve bridove kvadra koji se spajaju u vrhu kvadra.


Primjer 3.

Odredimo u kakvu su međusobnom položaju parovi susjednih strana kvadra.

Susjedne su strane kvadra međusobno okomite.


Kvadar ćemo opisati duljinama bridova, najčešće ​ a , b , c . Dimenzije kvadra često zapisujemo i zapisom ​ a × b × c .

Proučavat ćemo mjerljiva obilježja kvadra.

Mjerljivo obilježje Oznaka
duljina osnovnih bridova kvadra a , b , c  
duljine plošnih dijagonala kvadra d a b , d b c , d a c  
duljina prostorne dijagonale kvadra D  
oplošje kvadra O  
volumen kvadra V  
površina dijagonalnog presjeka p d p  

Mreža kvadra

Primjer 4.

kutija

Kutija ima oblik kvadra. Nacrtajmo kako izgleda takva kutija kad je rastvorimo u ravninu režući je duž bridova.

Ravninski je prikaz kvadra sastavljen od triju parova sukladnih pravokutnika.

Primjer 5.

DIJELOVI MREŽE

Pridružimo mreži kvadra odgovarajuće duljine bridova.

Na slici je prikazana mreža kvadra s pridruženim duljinama bridova a, b i c

Mreža kvadra je ravninski prikaz svih strana kvadra. Mreža se kvadra osnovnih bridova duljine a , b , c sastoji od triju parova sukladnih pravokutnika .​

Zadatak 1.

Koji od prikaza predstavlja mrežu kvadra?

Na slici je tri para sukladnih pravokutnika naizmjenično postavljenih i međusobno spojenih

Na slici su dva para sukladnih pravokutnika ostali su različiti

Na slici je tri para sukladnih pravokutnika naizmjenično postavljenih i međusobno spojenih

Na slici je tri para sukladnih pravokutnika naizmjenično postavljenih i međusobno spojenih

Na slici su dva para sukladnih pravokutnika ostali su različiti

null
null

Zadatak 2.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte stvaranje mreže kvadra. Pokušajte postići što raznolikije mreže. U gornjem su izborniku ponuđeni dijelovi mreže kvadra koje povlačite na plohu za slaganje. Dvoklikom na dio možete ga okrenuti prije nego ga prenesete u donji prostor za slaganje. (Na mobitelu prvo treba odabrati pa klikom okrenuti.). Obratite pažnju na to da ne možete spojiti dva dijela ako su im spojene stranice različitih duljina.

Oplošje kvadra

Zadatak 3.

Drveni sanduk
Izvor: https://www.flickr.com/photos/brenda-starr/3466702375/

Mirna je na tavanu kuće pronašla stari bakin drveni sanduk. Poželjela ga je obnoviti kako bi ga premjestila u svoju sobu. Roditelji su joj savjetovali kako ga mora prebrusiti i ponovno lakirati. Krenula je u trgovinu kupiti lak za drvo, ali nije znala koliko laka treba kupiti. Pronašla je podatak kako je jedna litra laka dovoljna za 13 m 2 , 13 m 2 / l . Pakiranja su bila od 0.2 l , 0.5 l , 0.75 l  i 2.5 l . Kako nije željela kupiti ni previše ni premalo, odlučila je vratiti se kući i odrediti površinu koju treba prelakirati. Kako će Mirna odrediti površinu koju treba prelakirati?

mreža

Odredimo nepoznatu duljinu brida kvadra ako su zadane duljine dvaju bridova

Mirna zna da sanduk ima oblik kvadra i da će računanjem površine mreže kvadra odrediti površinu sanduka koju treba prelakirati. Izmjerila je dimenzije sanduka i upisala ih u skiciranu mrežu.

Mirna će izračunati oplošje sanduka koji ima oblik kvadra.


Primjer 6.

Odredimo izraz za računanje oplošja bilo kojeg kvadra.

 Zbrojimo površine svih strana kvadra prikazanih mrežom kvadra.

O = 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c O = 2 · ( a · b + a · c + b · c )  

oplošje

Oplošje kvadra jednako je zbroju površina svih strana kvadra. Izraz za izračunavanje oplošja kvadra O  s osnovnim bridovima duljine a , b i c je

O = 2 a b + 2 a c + 2 b c ,

što je nakon izlučivanja jednako

O = 2 · a b + a c + b c .

Izračun oplošja sanduka.

Izračunajmo oplošje O Mirnina sanduka uz oznake a = 0.7 m , b = 0.5 m , c = 1.36 m i pakiranje laka koje je dovoljno za lakiranje njezina sanduka.

O = 2 · ( a b + a c + b c ) O = 2 · ( 0.7 · 0.5 + 0.7 · 1.36 + 0.5 · 1.36 ) O = 2 · ( 0.35 + 0.952 + 0.68 ) O = 2 · 1.982 O = 3.964

Površina sanduka iznosi​ 3.964 m 2 , što je približno 4 m 2 .

Za lakiranje sanduka bit će joj dovoljno pakiranje od 0.5 l jer je to dovoljno za 0.5 · 13 = 6.5 m 2 .


Primjer 7.

Odredimo nepoznatu duljinu brida kvadra ako su zadane duljine dvaju bridova a = 5 cm , b = 7 cm  i oplošje kvadra O = 118 cm 2 .

Uvrstimo poznate vrijednosti a = 5 cm , b = 7 cm i O = 118 cm 2 u formulu za oplošje kvadra.

O = 2 ( a b + a c + b c ) 118 = 2 ( 5 · 7 + 5 c + 7 c ) 118 = 2 ( 35 + 12 c ) 118 = 2 · 35 + 2 · 12 c 118 = 70 + 24 c 24 c = 118 - 70 24 c = 48 c = 48 : 24 c = 2

Duljina trećeg brida iznosi​ c = 2 cm .


Zadatak 4.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Oplošje kvadra cm 2   O   Duljina brida cm   a   Duljina brida cm   b   Duljina brida cm   c  
148   5   6  

3 4   7 8   1.5  
96   4   6  
7.4   0.2   1.5  
35   25   15  
1 5 6   3 8   0.8  
Oplošje kvadra cm 2 O Duljina brida cm a Duljina brida cm b Duljina brida cm c
148 4 5 6
5 3 4 3 4 7 8 1.5
96 2 4 6
7.4 0.2 1.5 2
3 550 35 25 15
1 5 6 3 8 0 . 6 ˙ 0.8

Zadatak 5.

kutija karton

Tvornica je ambalaže dobila narudžbu za izradu tri tisuće kutija dimenzija 0.5 m , 0.4 m i 0.2 m . Koliko najmanje treba kartona za izradu kartonske kutije tih dimenzija? Količina kartona za jednu kutiju mora biti uvećana za 5 % zbog dijelova koji se lijepe.

Prvo treba izračunati količinu kartona za jednu kutiju te to pomožiti s brojem naručenih kutija.

Izračunajmo količinu kartona za jednu kutiju, tj. oplošje jedne kutije.

O = 2 ( a b + b c + a c ) O = 2 · ( 0.2 · 0.4 + 0.4 · 0.5 + 0.2 · 0.5 ) O = 2 · ( 0.8 + 0.2 + 0.1 ) O = 2 · 1.1 O = 2.2

Taj iznos treba uvećati za 5 % , tj. koeficijent povećanja iznosi 1 + 5 % = 1 + 0.05 = 1.05 .

Za cijelu kutiju treba 2.2 · 1.05 = 2.31 m 2 kartona.

Za tri tisuće kutija treba 3 000 · 2.31 = 6 930 m 2 .

(To je približna površina nogometnog igrališta srednje veličine.)


Zadatak 6.

Površina baze i površine dviju različitih pobočki odnose se kao 1 : 2 : 3 . Oplošje kvadra iznosi 288 m 2 . Kolika je površina baze, a kolika je površina pobočki?

Omjer površina baze i pobočki je 1 : 2 : 3 . Znači da površine baze i pobočki možemo prikazati u obliku

a b = k a c = 2 k c b = 3 k.

Uvrstimo vrijednosti u izraz za oplošje kvadra.

O = 2 ( a b + a c + b c ) 288 = 2 ( k + 2 k + 3 k ) 288 = 2 · 6 k 288 = 12 k k = 288 : 12 k = 24

Površina je baze a b = k = 24 m 2 , a površine su pobočki a c = 2 k = 48 m 2 i c b = 3 k = 72 m 2 .


Zadatak 7.

Površina pobočja iznosi 180 cm 2 . Opseg baze iznosi 36 cm . Izračunajte visinu kvadra.

Slika prikazuje mrežu kvadra s duljinama bridova

Površina je pobočja pravokutnik sa stranicama duljine 2 a + 2 b i c (pogledajte sliku). Za površinu pobočja vrijedi:

O = 2 a + 2 b · c 180 = 2 a + 2 b · c 180 = 2 ( a + b ) · c .

Zadan je opseg baze​ 2 ( a + b ) = 36 . Uvrstimo ga u gornji izraz.

180 = 36 · c c = 180 : 36 c = 5

Visina kvadra iznosi 5 cm .


Zadatak 8.

Majstor je za bojenje donio kantu boje dovoljnu za bojenje 50 m 2 . Hoće li jedna takva kanta biti dovoljna za bojenje sobe čije su dimenzije 4 m × 5 m × 2.7 m ? Boje se zidovi i strop.

Na slici je prikaz sobe u obliku kvadra
Prikaz sobe

Treba izračunati oplošje umanjeno za površinu poda. Pogledajmo skicu sobe. Prema slici je površina koju treba obojiti jednaka površini pobočke uvećane za površinu jedne baze.

O = 4 · 5 + 2 · 4 · 2.7 + 2 · 5 · 2.7 O = 20 + 21.6 + 27 O = 68.6

Površina je sobe koju treba obojiti 68.6 m 2 .

S obzirom na to da je veća od 50 m 2 , jedna kanta boje neće biti dovoljna.


Zadatak 9.

Riješite kviz.

  1. Duljine su bridova kvadra 15 cm , 1.8 dm i 0.08 m . Njegovo oplošje iznosi:

    null

    Postupak:

    P = 2 15 · 18 + 15 · 8 + 18 · 8

    P = 2 · 534

    P = 1 068 cm 2 = 10.68 dm 2

  2. Kvadar ima oplošje​ 24 dm 2 . Kocka ima isto oplošje i cjelobrojnu duljinu brida. Duljina brida iznosi

    null

    Postupak:

    O = 6 · a 2 24 = 6 · a 2 a 2 = 4 a = 2 dm

  3. Oplošje kvadra iznosi 52 m 2 , a duljine njegovih dvaju bridova iznose 2 m i 3 m . Duljina trećeg brida iznosi m .
    null

    Postupak:

    P = 2 ( a b + b c + a c ) 52 = 2 ( 2 · 3 + 2 · c + 3 · c ) 52 = 2 ( 6 + 5 c ) 52 = 12 + 10 c 10 c = 52 - 12 10 c = 40 c = 4

  4. Površina baze kvadra iznosi 15 cm 2 , a površina pobočja 30 cm 2 . Oplošje tog kvadra iznosi cm 2 .

    null

    Postupak:

    P = 2 · 15 + 30 P = 30 + 30 P = 60 c m 2

Prostorna dijagonala kvadra

plošne dijagonale

Kvadar ima plošne dijagonale, njih 12 . Na slici su prikazane samo tri glavne plošne dijagonale.

prostorne dijagonale

Kvadar ima četiri prostorne dijagonale koje imaju duljinu D .

Prostorna dijagonala kvadra je dužina koja spaja dva suprotna vrha kvadra koji ne pripadaju istoj strani kvadra.

Primjer 8.

šetači

Baka je kupila štapove za nordijsko hodanje duge 1.28 m . Ormar za sportsku opremu ima visinu 1.2 m , širinu 0.4 m i duljinu 0.3 m . Ispitajmo hoće li štapovi stati u ormar.

Štap za nordijsko hodanje u ormariću

Štap je dulji od svih dimenzija ormara. Međutim možemo ga pokušati smjestiti u ormar dijagonalno na jednu stranu pravokutnika ili dijagonalno u prostor.

Treba ispitati može li se smjestiti po duljini plošne dijagonale. Ako ne može, treba ispitati može li se smjestiti duž prostorne dijagonale.


Primjer 9.

prostorna

Izrazimo duljinu prostorne dijagonale kvadra D duljinama bridova kvadra a , b i c .

Uočimo pravokutni trokut s katetama duljine​ c i d te hipotenuzom duljine D .

Postavimo Pitagorin poučak za taj pravokutni trokut.

D 2 = c 2 + d 2 (1)

Izrazimo duljinu plošne dijagonale d duljinama bridova a i b .

Uočimo pravokutni trokut s katetama duljine a i b te hipotenuzom duljine d .

Postavimo Pitagorin poučak za taj pravokutni trokut.

d 2 = a 2 + b 2

Uvrstimo vrijednost​ d 2 u jednadžbu (1)

D 2 = c 2 + a 2 + b 2 D 2 = a 2 + b 2 + c 2 / D = a 2 + b 2 + c 2

Duljina je prostorne dijagonale kvadra D , izražene duljinama bridova kvadra  a ,   b  i  c :   D = a 2 + b 2 + c 2 .

Izračunajmo sada hoće li štapovi duljine 1.28 m stati u ormar​ dimenzija 1.2 × 0.3 × 04 .

Ormar ima visinu 1.2 m , širinu 0.4 m i duljinu 0.3 m .

Provjerimo prvo može li stati duž najveće plošne dijagonale.

d a c 2 = a 2 + c 2 d a c 2 = 1.2 2 + 0.4 2 d a c 2 = 1.44 + 0.16 d a c 2 = 1.6 / d a c = 1.26

Ne može stati duž najveće plošne dijagonale jer je ​ 1.26 < 1.28 .

Ispitajmo sada odnos duljine štapa i prostorne dijagonale.

Ako je duljina štapa manja od duljine ili jednaka duljini prostorne dijagonale, on će stati u ormar.

D = a 2 + b 2 + c 2 D = 1.2 2 + 0.3 2 + 0.4 2 D = 1.44 + 0.09 + 0.16 D = 1.69 D = 1.3

Duljina je štapa manja od duljine prostorne dijagonale, 1.28 < 1.3 , pa će štapovi stati u ormar.​

Primjer 10.

Duljina prostorne dijagonale kvadra iznosi D = 5 2 , a duljine su dvaju bridova kvadra 3   i   4. Odredimo duljinu trećeg brida kvadra? ​

D = a 2 + b 2 + c 2 5 2 = 3 3 + 4 2 + c 2 5 2 2 = 9 + 16 + c 2 5 2 · 2 = 25 + c 2 25 · 2 = 25 + c 2 50 = 25 + c 2 c 2 = 50 - 25 c 2 = 25 / c = 5

Duljina je trećeg brida 5 .


Zadatak 10.

Uvježbajte izračunavanje nepoznatih mjerljivih obilježja kvadra, duljina bridova a , b i c , duljinu prostorne dijagonale D i površinu dijagonalnog presjeka P . Računajte u bilježnici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

a cm b cm c cm D cm P cm 2
1 2 2
3 6 7
8 16 21
7 9 28 2
2 6 18 10
3 4 12
5 20 21
9 20 25
21 29 420
a cm b cm c cm D cm P cm 2
1 2 2 3 2 5
2 3 6 7 6 13
8 11 16 21 16 185
4 4 7 9 28 2
2 6 9 11 18 10
3 4 12 13 60
4 5 20 21 20 41
9 12 20 25 300
12 16 21 29 420

Zanimljivost

Izraz za prostornu dijagonalu kvadra D 2 = a 2 + b 2 + c 2 ( a , b i c duljine su međusobno okomitih bridova kvadra koje se spajaju u jednom vrhu) podsjeća na izraz za Pitagorin poučak na pravokutnom trokutu z 2 = x 2 + y 2 ( x i y su duljine međusobno okomitih stranica pravokutnog trokuta).

Uređene trojke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju Pitagorin poučak z 2 = x 2 + y 2 nazivamo Pitagorine trojke.

Uređene četvorke prirodnih brojeva koje zadovoljavaju izraz D 2 = a 2 + b 2 + c 2 nazivamo Pitagorine četvorke.

Na desnoj ilustraciji pogledajte primjere Pitagorinih četvorki ( a , b , c , D ) čiji su svi članovi manji od 30 .

Dijagonalni presjek

dijagonalni presjeci
dijagonalni presjeci

Presjek ravnine okomite na stranu kvadra koja sadrži prostornu dijagonalu je dijagonalni presjek kvadra.

Dijagonalni je presjek kvadra pravokutnik.

Za razliku od kocke, kod koje su svi dijagonalni presjeci sukladni, kvadar ima dijagonalne presjeke s trima različitim iznosima površine.

d a b   je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine a i b .  

d b c   je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine b i c .

d a c   je duljina dijagonale u ravnini s bridovima duljine a i c .

Dijagonalni presjek kvadra je presjek kvadra ravninom koju određuju međusobno usporedne/paralelne dijagonale dviju nasuprotnih strana.

Primjer 11.

Izračunajmo površinu dijagonalnih presjeka kvadra s bridovima duljina 3 , 4 i 5 centimetara.

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina b i c te dijagonalom duljine d b c .

dijagonalni presjek

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina b i c te dijagonalom duljine d b c .

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina​ a i d b c . Duljina a  je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale d b c . Plošna dijagonala duljine d b c je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina b i c .

d b c 2 = b 2 + c 2 d b c 2 = 4 2 + 5 2 d b c 2 = 16 + 25 d b c 2 = 41 / d b c = 41

Površina traženog dijagonalnog presjeka iznosi

p d p = a · d b c p d p = 3 · 41 p d p = 3 41.


Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina a i c te dijagonalom duljine d a c .

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina a i c te dijagonalom duljine d a c .

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina​ b i d a c . Duljina b  je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale d a c . Plošna dijagonala duljine d a c je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina a i c .

d a c 2 = a 2 + c 2 d a c 2 = 3 2 + 5 2 d a c 2 = 9 + 25 d a c 2 = 34 / d a c = 34  

Površina traženoga dijagonalnog presjeka iznosi

p d p = b · d a c p d p = 4 · 43 p d p = 4 34.


Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina a i b te dijagonalom duljine d a b .

dab

Odredimo površinu dijagonalnog presjeka određenog bridovima duljina a i b te dijagonalom duljine d a b .

Taj dijagonalni presjek ima stranice duljina​ c i d a b . Duljina c  je zadana. Izračunajmo duljinu plošne dijagonale d a b . Plošna dijagonala duljine d a b je hipotenuza pravokutnog trokuta s katetama duljina a i b .

d a b 2 = a 2   + b 2 d a b 2 = 3 2   + 4 2 d a b 2 = 9 + 16 d a b 2 = 25 / d a b = 5

Površina traženog dijagonalnog presjeka iznosi

p d p = c · d a b p d p = 5 · 5 p d p = 25.

Taj je dijagonalni presjek kvadrat.


Dijagonalni presjek kvadra je kvadrat ako su duljine osnovnih bridova kvadra ( a , b , c ) Pitagorina trojka.

Zadatak 11.

Izračunajte površine dijagonalnih presjeka kvadra s bridovima duljina a , b i c . Računajte u bilježnici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

a   cm  
b   cm  
c   cm  
6 8 10
5 12 13
14 48 50
( a ,   b ,   c )   cm   a · d b c   c m 2   b · d a c   c m 2   c · d a b   c m 2  
( 6 , 8 , 10 )   12 41
16 34   100  
( 5 , 12 , 13 )   5 313
12 194   169  
( 14 , 48 , 50 )   28 1201   96 674   2500  

Volumen ili obujam kvadra

Ponovimo!

Izraz za volumen V kocke brida duljine ​ a je V = a · a · a = a 3 .

Volumen kocke brida duljine a = 1 cm iznosi V = 1 3 = 1 · 1 · 1 = 1 cm 3 .

Primjer 12.

obujam

Odredimo koliko puta kocka brida duljine 1 cm , a obujma 1 cm 3 stane u kvadar čije duljine bridova iznose 5 cm , 3 cm i 6 cm .

Odredit ćemo volumen kvadra.

U sljedećoj aktivnosti odaberite duljine bridova kao u zadanom kvadru te ispitajte koliko takvih kocaka stane u kvadar.

Primjer 13.

Klizačem odaberimo duljine bridova kvadra. Posložimo jedinične kocke u taj kvadar. Odredimo volumen (obujam) kvadra zadanog duljinama bridova. (Jedinične kocke odaberite s iste razine na kojoj želite slagati.)

Povećaj ili smanji interakciju

Volumen ili obujam kvadra jednak je broju jediničnih kvadrata koji ga u potpunosti ispune.

356 kvadar

Volumen V kvadra s bridovima duljina 5 cm , 3 cm i 6 cm iznosi

V = 5 · 3 · 6 V = 90 cm 3

Volumen ili obujam kvadra V s bridovima duljina a , b i c iznosi V = a · b · c , tj. jednak je umnošku duljina osnovnih bridova kvadra.

Zadatak 12.

Zadane su duljine bridova kvadra. Izračunajte njegovo oplošje i volumen (obujam).

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 13.

Koliko litara tekućine stane u plastični spremnik čije su dimenzije 25 cm × 30 cm × 45 cm ?

Kako bismo odredili koliko litara tekućine sadržava, moramo odrediti obujam posude u decimetrima kubnim. Izračunajmo volumen.

V = a · b · c V = 25 · 30 · 40 V = 30 000 cm 3 V = 30 dm 3

U plastični spremnik danih dimenzija stane 30 litara tekućine.


Zadatak 14.

Kutija ima obujam ​ V = 1 716 cm 3 . Bridovi baze imaju dimenzije a = 12 cm i   b = 13 cm . Kolika je dubina te kutije?

Dubina je kutije jednaka duljini bočnog brida c .

Napišimo izraz za računanje volumen i uvrstimo u njega poznate podatke.

V = a · b · c 1 716 = 12 · 13 · c 1 716 = 156 · c c = 1 716 : 156 c = 11 cm

Dubina je kutije 11 cetimetara.


Zadatak 15.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajmo računanje oplošja i obujma (volumena) kvadra te duljine prostorne dijagonale kvadra.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 16.

Komad plastelina ima obujam​ 12 cm 3 . Kojih su dimenzija kvadri koje možete oblikovati od tog komada plastelina, a da su mu duljine bridova prirodni brojevi?

Tri kvadra obujma 12 kubičnih centimetara

Volumen je 12 pa treba istražiti koje trojke prirodnih brojeva imaju umnožak 12.

12 = 1 · 1 · 12 12 = 1 · 2 · 6 12 = 1 · 3 · 4 12 = 2 · 2 · 3

Možemo napraviti tri vrste kvadra: 1 × 1 × 12 , 1 × 2 × 6 i 1 × 3 × 4 , 2 × 2 × 3 .


Zadatak 17.

U spavaćoj sobi koja ima dimenzije 5 × 6 × 2.8 nalazi se veliki krevet dimenzija 2 × 2 × 0.6 , ormar dimenzija 4 × 0.7 × 2 i komoda dimenzija 1.8 × 0.6 × 1.3 . Koliki postotak prostora sobe zauzima namještaj? (Zadani su podatci duljina × širina × visina  u metrima.)

Treba izračunati zbroj volumena V n namještaja u prostoriji i podijeliti ga s volumenom sobe V s .

Volumen namještaja.

V n = 2 · 2 · 0.6 + 4 · 0.7 · 2 + 1.8 · 0.6 · 1.3

V n = 2.4 + 5.6 + 1.404

V n = 9.404

Volumen sobe.

V s = 5 · 6 · 2.8 V s = 84

Računanje postotka.

V n V s = 9.404 84 = 0.1119 11 %

Namještaj zauzima​ 11.19 % 11 % prostora sobe.


Zadatak 18.

Slika bazena s malim kvadratnim pločicama.

Unutarnje strane bazena obložene su malim kvadratnim pločicama koje imaju dimenzije 2 × 2 centimetra. Bazen ima dimenzije 6 × 8 × 1.5 metara. S koliko je takvih malih pločica obložen taj bazen?

Kako bismo dobili broj pločica, treba izračunati površinu strana bazena pokrivenih pločicama te ju podijeliti s površinom jedne pločice.

Ako su dimenzije bazena a = 6 m , b = 8 m i c = 1.5 m , tada je površina prekrivena pločicama

O = a b + 2 a c + 2 b c O = 6 · 8 + 2 · 6 · 1.5 + 2 · 8 · 1.5 O = 48 + 18 + 24 O = 90 m 2

Površina jedne pločice iznosi ​ 2 · 2 = 4 cm 2 .

Podijelimo površinu prekrivenu pločicama s površinom jedne pločice.

90 m 2 : 4 cm 2 = 900 000 cm 2 : 4 cm 2 = 225 000

Bazen je popločan s 225 000 pločica.


Zadatak 19.

krov

Krov se sastoji od dviju strana čije su dimenzije 8 × 6  metara. Krov treba prekriti limom. Ispod lima ga treba prekriti daskama debljine 2.5 cm . Koliko je kubnih metara dasaka  potrebno za drvenu podlogu tog krova i kolika im je cijena? Cijena je kubika jelovih dasaka te debljine (duljina 4 metra) 1400  kuna po metru kubnom.

daska

Treba izračunati površinu krova te ju pomnožiti s debljinom daske.

Površina krova iznosi​ 2 · 7 · 8 = 112 m 2 .

Preračunajmo debljinu daske koja je zadana u centimetrima u metre: 2.5 cm = 2.5 · 10 - 2 m = 0.025 m ​.

Volumen je dasaka jednak umnošku površine krova i debljine daske:

112 m 2 · 0.025 m= 2.8 m 3 .

Cijena dasaka za taj krov iznosi ​ 2.8 · 1 400 = 3920 kuna.


Zadatak 20.

Kvadru, čije su duljine bridova x = 10 m , y = 5 m , z = 10 m , izrezane su dvije kocke brida duljine a = 3 m . Izračunajte oplošje i volumen nastalog  tijela.
izrezane kocke kvadru

Oplošje tijela jednako je oplošju kvadra.

Iz cijele površine izrezano je šest kvadrata površine a 2 , ali su oni dodani kako bi zatvorili oblik.

Dakle oplošje takva tijela jednako je oplošju kvadra.

O = 2 x y + x z + y z O = 2 10 · 5 + 10 · 5 + 10 · 10 O = 2 · 200 O = 400 m 2

Volumen je tog tijela jednak obujmu kvadra umanjenom za obujam dviju kocki.

V = x y z - 2 a 3 V = 10 · 10 · 5 - 2 · 3 3 V = 500 - 2 · 27 V = 500 - 54 V = 446 m 3


Povezani sadržaji

Prema pravilniku o poštanskom prometu dimenzije paketa ne smiju biti veće od 3 000 mm u zbroju dužine i opsega paketa na najširem dijelu poprečno, s tim da najveća dimenzija može biti do 1 500 mm . Može li paket koji ima oblik kvadra imati dimenzije u omjeru 1 : 2 : 3 ? Koliki je volumen takva kvadra?

Označimo duljine bridova paketa u obliku kvadra s x , y i z . Ako su u omjeru 1 : 2 : 3 , znači da ih možemo prikazati u ovisnosti o koeficijentu k > 0 .

x = k y = 2 k z = 3 k

Njihov zbroj ne smije biti veći od 3 000 mm= 3 m .

x + y + z = 3 k + 2 k + 3 k = 3 6 k = 3 k = 0.5  

Uvrstimo vrijednost koeficijenta.

x = 0.5 m y = 1 m z = 1.5 m

Paket može biti tih dimenzija jer mu najveća dimenzija ne prelazi 1 500 mm = 1.5 m .

Volumen tog paketa iznosi

V = a · b · c V = 0.5 · 1 · 1.5 V = 0.75 m 3


...i na kraju

Zgrada u obliku kvadra

Oblik je kvadra jako čest u našem okruženju: zgrade, ormari, stolovi, mobiteli, kutije...

Oplošje kvadra računamo kad želimo saznati njegovu vanjsku ili unutarnju površinu.

Oplošje je kvadra jednako zbroju površina svih strana koje ga određuju:

O = 2 a b + a c + b c .

Volumen ili obujam kvadra računamo kada želimo odrediti koliki prostor zauzima. Volumen je kvadra jednak umnošku duljina njegovih osnovnih bridova: V = a · b · c .

Ono što je plošna dijagonala strani kvadra, to je prostorna dijagonala cijelom kvadru. Čak i izrazi za njihove duljine slično izgledaju: D = a 2 + b 2 + c 2 i d= a 2 + b 2 .

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Povuci imena tijela na odgovarajuću crtu ispod prikaza uspravnih tijela.

Slika prikazuje različite prizme

KOCKA

KVADAR

 TROSTRANA

PRIZMA

 PETEROSTRANA

PRIZMA

 ŠESTEROSTRANA

PRIZMA

null
null
2
Na slici je  mreža
Na slicije šest sukladnih kvadrata složenih tako da se mogu složiti bez preklapanja
 .
null

Postupak:

 Mreža kocke.

3
Na slici je mreža
Na slici su tri para sukladnih pravokutnika spojeni naizmjenično
 .
null

Postupak:

 Mreža kvadra.

4

Odaberi na kojoj je slici prikaz uspravne prizme.

Na slici je trostrana prizma

Na slici je trostrana piramida

Na slici je kocka

Na slici je pravilna četverostrana prizma

Na slici je valjak

Na slici je kugla

null
5

Duljina brida kocke iznosi a = 5 . Duljina plošne dijagonale  d iznosi

 
. Duljina prostorne dijagonale D iznosi
 
. Površina dijagonalnog presjeka p d p iznosi
 
 .

5 3  
5 2
25 2

Pomoć:

d = a 2 , D = a 3 , p d p = a 2 2   ​

Postupak:

d = 5 2 , D = 5 3 ,   p d p = 25 2   ​

6

Volumen kocke iznosi   V = 125 dm 3 . Duljina brida te kocke
dm . Oplošje O te kocke iznosi dm 2 .

Pomoć:

V = a 3 , P = 6 a 2   ​

Postupak:

V = a 3 125 = a 3 125 = 5 · 5 · 5 = 5 3 a = 5

P = 6 a 2 P = 6 · 5 2 P = 150

7

Povuci odgovarajuće pojmove na sliku. Duljine su bridova a , b i c , duljina plošne dijagonale d , duljina prostorne dijagonale D .

Na slici je kvadar s istaknutom prostornom i plošnom dijagonalom

a  

b  

c   ​

d

D   ​

8
Duljine su bridova kvadra 6 , 10 i 15 . Oplošje O   mu je cm 2 . ​Volumen tog kvadra V je cm 3 .

Pomoć:

  ​ O = 2 ( a b + b c + a c ) , V = a · b · c  

Postupak:

P = 2 ( 6 · 10 + 6 · 15 + 10 · 15 ) P = 2 · 300 P = 600

V = 6 · 10 · 15 = 900

9
Duljine su bridova kvadra a = 5 , b = 12 i c = 13 . Duljina . Površina dijagonalnog presjeka  p d p nad tom dijagonalom iznosi .

Pomoć:

   d = a 2 + b 2 ,   p d p = d · c  

Postupak:

d = a 2 + b 2 = 25 + 144 = 169 = 13 ,

p d p = d · c = 13 · 13 = 169

10

Koliko najviše kocaka duljine brida 2 stane u kvadar s bridovima duljina 4 , 6 i 8 ?

Postupak:

  2 × 3 × 4 = 24

Na slici su kocke koje u potpunosti ispunjavaju kvadar, njih 24


11
Oplošje kvadra iznosi O = 148 m 2 . Duljine dvaju bridova iznose a = 5 cm i b = 6 cm . Volumen te prizme iznosi m 3 .

Pomoć:

  O = 2 · ( a · b + a · c + b · c ) , V = a · b · c  

Postupak:

O = 2 ( a b + a c + b c ) 148 = 2 ( 5 · 6 + 5 · c + 6 · c ) 148 = 2 · ( 30 + 11 c ) 30 + 11 c = 148 : 2 30 + 11 c = 74 11 c = 44 c = 44 : 11 c = 4

V = a b c = 4 · 5 · 6 = 120 m 3

12
Duljine bridova kvadra su prirodni brojevi. Najveće oplošje takva kvadra volumena V = 30 m 3 iznosi  m 2 .
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.4 Oplošje i obujam prizme