x
Učitavanje

8.2 Kocka

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Fotografija prikazuje Kockaste kuće, Rotterdam,  Piet Blom
Kockaste kuće (Cube housing), Rotterdam, Nizozemska

Kocka ili heksaedar (heksa = šest)

Slika prikazuje kocku

Na slici je prikaz kocke.

Kocka je uspravna pravilna četverostrana prizma.

Kocka je kvadar sa svim bridovima jednake duljine.

Ima 8 vrhova, 12 bridova i 6 strana.

Svi su bridovi, osnovni i pobočni, jednake duljine.

Bridovi kocke: ​ A B ¯ , B C ¯ , C D ¯ , D A ¯ , A E ¯ , B F ¯ , C G ¯ , D H ¯ , E F ¯ , F G ¯ , G H ¯ i H E ¯ .

Baze A B C D , E F G H i pobočke B C G F , D C G H , D A E H , A B F E su sukladni kvadrati.

Bilo koja strana može preuzeti ulogu baze.

Zanimljivost

Slika prikazuje Platonova tijela
Platonova tijela: tetraedar, kocka, oktaedar, dodekaedar i ikosaedar

Kocka je jedno od pet Platonovih tijela.

Svakom je tijelu Platon dao značenje nekog od pet elemenata: zemlja, zrak, voda, vatra i život.

Kocka je predstavljala vodu.

Na poveznici možete promatrati njihove 3D animacije.

Odnosi bridova i strana kocke

Primjer 1.

Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu bridovi kocke koji se spajaju u jednom njezinu vrhu.

Slika prikazuje kocku s okomitim bridovima koji se spajaju u jednom vrhu

Odaberimo jedan vrh, na primjer vrh F . Bridovi koji se spajaju u vrhu F su svi međusobno okomiti, E F ¯ F G ¯ B F ¯ .


Primjer 2.

Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu parovi susjednih strana kocke.

Slika prikazuje okomitost susjednih strana kocke
okomitost susjednih strana kocke

Susjedne su strane kocke međusobno okomite.


Zadatak 1.

Odredimo u kakvu su međusobnom odnosu parovi nasuprotnih strana kocke.

Slika prikazuje usporednost/paralelnost nasuprotnih strana kocke
Paralelnost (usporednost) nasuprotnih strana kocke

Parovi nasuprotnih strana kocke su paralelni (usporedni).


Sad kada smo ponovili osnovne odnose strana i bridova kocke, možemo učiti o njezinim osnovnim mjerljivim obilježjima:

Mjerljivo obilježje Dogovorna oznaka
duljina brida kocke a  
oplošje kocke O   
volumen (obujam) kocke V  
duljina plošne dijagonale kocke d  
duljina prostorne dijagonale kocke D  
Slika prikazuje kocku s istaknutim duljinama bridova, a

Kocku ćemo nadalje označavati njezinim osnovnim mjerljivim svojstvom, duljinom brida. Duljinu ćemo brida označavati malim pisanim slovom, najčešće a .

Naravno, može se upotrijebiti i bilo koje drugo slovo abecede.


Mreža kocke

Primjer 3.

Petrina se sestra igrala drvenom kockom i temperama. Svaku je stranu kocke obojila jednom bojom i napravila otisak na papiru. Što je na taj način nacrtala?

Slika prikazuje mrežu kocke

Otiskujući svaku stranu samo jednom, napravila je jednu mrežu kocke.


Mreža je kocke ravninski prikaz svih strana kocke. Mreža kocke brida duljine a sastoji se od šest kvadrata sa stranicom duljine a .

Primjer 4.

Predstavlja li svaki oblik sastavljen od šest sukladnih kvadrata kocku? Odgovor potražimo u animaciji koja slijedi.


Zadatak 2.

Prepoznaj koja od mreža predstavlja mrežu kocke.

  1. Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.


    Na slici je niz od šest sukladnih kvadrata, četiri u nizu i dva sa svake strane

    Na slici je šest sukladnih kvadrata po tri u nizu u obliku slova T i jedan sa strane

    Na slici je šest sukladnih kvadrata od kojih su četiri spojena uzajamno

    null
    null
  2. Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.

    Na slici je šest sukladnih kvadrata spojeni po dva

    Na slici je šest sukladnih kvadrata spojeni po tri

    Na slici je šest sukladnih kvadrata s dva s iste strane

    null
    null
  3. Odaberite mrežu kocke. Dva različito obojena kvadrata predstavljaju baze kocke.

    Na slici je šest sukladnih kvadrata, četiri u nizu i dva sa svake strane

    Na slici je šest sukladnih kvadrata po dva spojena

    Na slici je šest sukladnih kvadrata s dva s različitih strana

    null
    null

Zadatak 3.

U narednoj interakciji slaganjem kvadata istraži što više različitih prikaza mreže kocke.

Oplošje kocke

Zbroj površina svih strana kocke nazivamo oplošje kocke i označavamo ga s velikim tiskanim slovom O .

Primjer 5.

Slika prikazuje kocku s istaknutim duljinama bridova, a

Odredimo oplošje kocke s duljinom brida a .

Slika prikazuje mrežu kocke

Oplošje ćemo najlakše odrediti koristeći se mrežom kocke. Odredimo površinu svakog kvadrata sa stranicom duljine a .

O = 6 · a 2


Oplošje kocke s bridom duljine a iznosi O = 6 · a 2

Primjer 6.

Izračunajmo oplošje kocke s bridom duljine 1.5 m .

Zapišimo izraz za oplošje kocke O zadane duljinom brida ​ a .

O = 6 · a 2

O = 6 · 1.5 2

O = 6 · 2.25

O = 13.5

Oplošje kocke s bridom duljine 1.5 m iznosi 13.5 m 2 .


Primjer 7.

Izračunajmo duljinu brida kocke a oplošja 150 dm 2 .

Napišimo izraz za računanje oplošja kocke O  zadane duljinom brida ​ a i uvrstimo oplošje.

O = 6 · a 2 150 = 6 · a 2 a 2 = 150 : 6 a 2 = 25 / 2 a = 5    ​

Duljina brida kocke a oplošja 150 dm 2 iznosi 5 dm .


Zadatak 4.

Riješite kviz.

  1. Duljina brida kocke iznosi a = 6 cm . Oplošje te kocke iznosi   cm 2 .
  2. Kocka oplošja 486 mm 2   ima brid duljine

    Pomoć:

    O = 6 a 2   ​

    Postupak:

    O = 6 a 2 486 = 6 a 2 a 2 = 81 / a = 9 a 1,2 = ± 9 a = 9 mm

  3. Kocka s bridom duljine 0.2 m ima oplošje iznosa dm 2 .

    Pomoć:

    O = 6 a 2   ​

    Postupak:

    O = 6 a 2 O = 6 · 0.2 2 O = 6 · 0.04 O = 0.24 O = 24 dm 2

  4. Oplošje kocke iznosi 24 dm 2 . ​Duljina brida te kocke iznosi   cm .

    Pomoć:

    O = 6 a 2   ​

    Postupak:

    O = 6 a 2 24 = 6 a 2 a 2 = 4 / a = 2 a 1,2 = ± 2 a = 2 dm = 20 cm

  5. Duljina brida kocke iznosi 10 2 cm . Njezino oplošje iznosi cm 2 .

    Pomoć:

    O = 6 a 2   ​

    Postupak:

    O = 6 a 2 O = 6 · 10 2 2 O = 6 · 100 · 2 O = 1 200 cm 2  

Zadatak 5.

U sljedećoj aktivnosti uvježbajte izračun oplošja kocke sa zadanom duljinom brida i izračunavanje duljine brida kocke iz zadanog oplošja kocke. (Točni rezultati unutar greške 0.2 ).

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Slika prikazuje Rubikovu kocku
Rubikova kocka

Rubikova kocka ima brid duljine 5.75 cm . Koliko približno iznosi obojena površina Rubikove kocke?

Obojeni je dio Rubikove kocke jednak oplošju O  kocke s bridom duljine a = 5.75 cm .

O = 6 a 2 O = 6 · 5.75 2 O = 6 · 33.0625 O = 198.375 O 198 cm 2  

Obojeni dio iznosi približno 198 cm 2 .


Povezani sadržaji

Ilustracija prikazuje kockastu kućica na drvetu

Kućicu na drvetu koja ima oblik kocke cijelu treba iznutra obložiti vodootpornim pločama. Visina unutrašnjosti kućice iznosi 180 cm . Cijena vodootporne ploče dimenzija 1700 mm × 2500 mm iznosi 100.63 kn . Kolika će biti minimalna cijena šperploče potrebne za cjelokupno oblaganje unutrašnjosti kućice?

Kako bismo odredili cijenu ploča potrebnih za oblaganje, moramo izračunati koliku površinu one trebaju prekrivati. Ta je površina jednaka oplošju O kocke brida duljine a = 180 cm = 1.8 m .

O = 6 a 2 O = 6 · 1.8 2 O = 6 · 3.24 O = 19.44 m 2  

Također treba odrediti i površinu koju prekriva jedna ploča dimenzija 1700 mm × 2500 mm .

Preračunano u metre površina jedne ploče iznosi 1.7 · 2.5 = 4.25 m 2 .

Kako bismo saznali broj ploča, podijelimo ukupnu površinu s površinom jedne ploče:

19.44 : 4.25 = 4.57

Iznos nije cjelobrojan pa možemo zaključiti kako je minimalni broj ploča koji treba kupiti 5 .

Cijena je pet ploča c 5 jednaka broju ploča pomnoženom s cijenom jedne koja iznosi 100.63 kn .

c 5 = 5 · 100.63 = 503.15

Cijena će oblaganja kućice iznositi 503.15 kuna.


Povezani sadržaji

Slika prikazuje kocku s istaknutim točkama E koja je vrh i F koja je polovište brida

Na slici je prikazana kocka brida duljine 24 cm . Točka F je na polovištu brida, a točka E je vrh kocke. Koliko iznosi najkraći put kojim će pauk, hodajući po stranama kocke, iz točke F stići u točku E ?


Povezani sadržaji

Slika prikazuje kocku s istaknutim točkama E koja je vrh i F koja je polovište brida i najkraći put po stranama kocke između te dvije točke

Na slici je prikazana kocka brida duljine 24 cm . Točka E je na polovištu brida, a točka F je vrh kocke. Točka T nalazi se na presjeku brida i najkraće spojnice točaka E i F koja pripada susjednim stranama kocke. Točke A i B vrhovi su kocke. Odredite omjer dužina A B : T B .

 ​

Slika prikazuje mrežu kocke s istaknutim pravokutnim trokutom

Rastvorimo kocku u njezin ravninski prikaz, mrežu.

Uočimo trokute E F D i E T B .

Ti su trokuti slični jer imaju dva sukladna kuta. Svaki od njih ima pravi kut, a kut D E F je zajednički.
Slični trokuti imaju stranice u istom omjeru.

Označimo udaljenosti kao A B = a , T B = x , tražimo a : x .

a : x = a + a 2 : a 2 a : x = 3 a 2 : a 2 a : x = 3 a 1 2 1 · 2 1 a 1 a : x = 3 : 1

Omjer dužina iznosi 3 : 1 .


Dijagonale kocke

Primjer 8.

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH

Na slici je kocka A B C D E F G H brida duljine a .

Odredimo najkraću udaljenost vrhova A i G .

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH s istaknutom prostornom dijagonalom AG

Najkraća je udaljenost vrhova A i G prostorna dijagonala kocke.


Prostorna dijagonala kocke je spojnica dvaju nasuprotnih vrhova kocke koji ne pripadaju istim stranama kocke.

Zanimljivost

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH i prostorne dijagonale  AG, BH, CE i DF

Kocka ima četiri prostorne dijagonale koje se sijeku u jednoj točki. Međusobno se raspolavljaju. Točka S središte je kocke.

Slika prikazuje kocku i pravokutni trokut s hipotenuzom D, katetama a i d

Promotrimo sliku. Prostorna je dijagonala hipotenuza pravokutnog trokuta. Jedna je kateta brid kocke, a druga je plošna dijagonala, tj. dijagonala kvadrata.

Duljinu ćemo prostorne dijagonale označiti s D .

Primjer 9.

Slika prikazuje kocku i pravokutni trokut s hipotenuzom D, katetama a i d

Izrazimo duljinu prostorne dijagonale kocke D s pomoću duljine brida kocke a .

Podsjetimo se: duljina dijagonale kvadrata stranice duljine a iznosi d = a 2 .

D 2 = a 2 + d 2 D 2 = a 2 + a 2 2 D 2 = a 2 + a 2 2 2 D 2 = a 2 + 2 a 2 D 2 = 3 a 2 /

D 2 = 3 · a 2 D = a 3

Duljina prostorne dijagonale kocke D brida duljine a je D = a 3 .

Primjer 10.

Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale kocke brida duljine 5 cm .

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke a = 5 cm .

D = a 3  

D = 5 3   cm  

D 8.66   cm  

Duljina prostorne dijagonale kocke brida a = 5 cm iznosi 5 3 cm .


Primjer 11.

Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale kocke brida duljine 3 cm .

Zapišimo izraz za duljinu prostorne dijagonale i uvrstimo duljinu brida kocke 3 cm .

D = a 3 D = 3 · 3 D = 3  

Duljina prostorne dijagonale kocke brida a = 3 cm iznosi 3 cm .


Primjer 12.

Duljina prostorne dijagonale kocke iznosi​ 12 . Odredimo oplošje te kocke.

Za oplošje kocke treba nam duljina brida kocke. Duljinu ćemo brida kocke izračunati iz duljine prostorne dijagonale.

D = a 3 12 = a 3 a = 12 3 · 3 3 a = 12 3 3 2 a = 4 3

Izračunajmo oplošje.

O = 6 a 2 O = 6 · 4 3 2 O = 6 · 16 · 3 O = 288  

Oplošje kocke s prostornom dijagonalom duljine 12 iznosi 288 .


Zadatak 7.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Duljina brida kocke cm   a
Oplošje kocke cm 2   O  
Duljina prostorne dijagonale cm   D  
1.2  
1.5  
14 3  
6  
108  
10 3  
Duljina brida kocke cm
a
Oplošje kocke cm 2
O
Duljina prostorne dijagonale cm
D
1.2
8.64 1.2 3
0.5 1.5 0.5 3
14 1 176 14 3
6 36 3 2
3 2 108 3 6
10 3 6 . 6 ˙ 10 3

Dijagonalni presjek kocke

Primjer 13.

Slika prikazuje kocku i njen dijagonalni presjek

Promotrimo ravninu koja sadrži jednu prostornu dijagonalu i okomita je na jednu stranu kocke. Za takvu ravninu kažemo da dijagonalno presijeca kocku.

Dijagonalni je presjek kocke pravokutnik. Odredimo izraz za površinu dijagonalnog presjeka koju ćemo označiti s p d p .

p d p = a · d p d p = a · a 2 p d p = a 2 · 2 p d p = a 2 2  

Dijagonalni presjek kocke je presjek kocke ravninom koju određuju međusobno paralelne dijagonale dviju nasuprotnih strana.

Površina dijagonalnog presjeka kocke brida​ a iznosi p d p = a 2 2 .

Primjer 14.

Izračunajmo površinu i opseg dijagonalnog presjeka kocke brida duljine​ a = 5 m .

Površinu dijagonalnog presjeka kocke računamo po formuli:

p d p = a 2 2 p d p = 5 2 2 p d p = 25 2 p d p 35.36 m 2   

Izračunajmo opseg dijagonalnog presjeka o d p .

Dijagonalni je presjek kocke pravokutnik.

Duljina je jedne stranice jednaka duljini brida kocke a .

Druga je stranica jednaka duljini plošne dijagonale kocke d = a 2 .

Opseg je zbroj duljina stranica

o d p = 2 a + 2 a 2 o d p = 2 · 5 + 2 · 5 2 o d p = 10 + 10 2 o d p = 10 1 + 2 2.41 m


Primjer 15.

Dijagonalni presjek kocke ima površinu ​ p d p = 18 2 cm 2 . Odredimo oplošje te kocke.

Za oplošje kocke trebamo duljinu brida kocke​ a , koju ćemo odrediti iz površine dijagonalnog presjeka.

p d p = a 2 2 18 2 = a 2 2 / : 2 a 2 = 18

Nije potrebno korjenovati jer nam za oplošje treba baš ​ a 2 .

O = 6 a 2 O = 6 · 18 O = 108 cm 2

Oplošje kocke dijagonalnog presjeka ​ 18 2 cm iznosi 108 cm 2 .


Zadatak 8.

Računajući u bilježnici izračunajte nepoznate elemente u tablici i usporedite dobivene rezultate u rješenju.

Duljina brida kocke cm  
a
Površina dijagonalnog presjeka kocke cm 2  
p d p  
Oplošje kocke cm 2  
O  
2.5  
10 2  
144  
0 . 3 ¯  
2 2  
2.16  

Duljina brida kocke cm  
a
Površina dijagonalnog presjeka kocke cm 2  
p d p  
Oplošje kocke cm 2  
O   
2.5   6.25 2   37.5  
10   10 2   60  
2 6   24 2   144  
0 . 3 ¯   2 9   0 . 6 ¯  
2 2   2 2   3  
0.6   0.36 2   2.16  

Zadatak 9.

Odredite duljinu presjeka dijagonalnih ravnina kocke na slici. Duljina brida te kocke iznosi ​ a = 3 3 .  
Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka
Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka i njihovim presjekom - prostornom dijagonalom

Presjek tih dvaju dijagonalnih presjeka kocke je prostorna dijagonala kocke. Izračunajmo duljinu prostorne dijagonale.

D = a 3 D = 3 3 · 3 D = 3 · 3 2 D = 9

Duljina presjeka tih dvaju dijagonalnih presjeka iznosi 9 .


Zadatak 10.

Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka

Površina dijagonalnih presjeka na slici iznosi​ p d p = 50 2 . Odredite duljinu presjeka dijagonalnih ravnina kocke na slici.

Slika prikazuje kocku s dva dijagonalna presjeka s njihovim presjekom

Presjek tih dijagonalnih ravnina je dužina koja ima duljinu jednaku duljini brida kocke a .

Duljinu ćemo brida izračunati iz površine dijagonalnog presjeka​ p d p = 50 2 .

p d p = a 2 2 50 2 = a 2 2 / : 2 a 2 = 50 / a = 50 a = 25 · 2 a = 25 2 a = 5 2

Presjek zadanih dijagonalnih ravnina iznosi 5 2 .


Volumen ili obujam kocke

Slika prikazuje kocku ispunjena  jediničnim kockama

Volumen je kocke jednak broju jediničnih kocaka koje ju potpuno popune.

Na primjer, broj je jediničnih kocaka velike kocke na slici jednak 4 · 4 · 4 = 64 .

Mjerne su jedinice za volumen kubne mjerne jedinice: mm 3 , cm 3 , m 3 , ...

Povećaj ili smanji interakciju

Obujam ili volumen je broj jediničnih kocaka koje u potpunosti popunjavaju tijelo.

Volumen ili obujam kocke V s bridom duljine​ a računa se po formuli V = a · a · a = a 3 .

Primjer 16.

U sljedećoj aktivnosti odaberite duljinu brida kocke na klizaču. Popunite odabranu kocku jediničnim kockama i odredite volumen (obujam) te kocke. Jedinične kocke odaberite s iste razine na koju želite slagati.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 17.

Izračunajmo volumen kocke duljine brida​ a = 5 m .

Napišimo izraz za računanje volumena kocke V brida duljine a i uvrstimo zadanu duljinu brida.

V = a 3 V = 5 3 V = 125 m 3

Volumen kocke duljine brida ​ a = 5 m iznosi 125 m 3 .


Primjer 18.

Izračunajmo duljinu brida kocke čiji volumen iznosi ​ V = 8 m 3 .

Kako bismo našli duljinu brida kocke zadanog volumena, moramo odrediti broj koji pomnožen tri puta sam sa sobom daje 8 , odnosno koji broj je kub zadanog broja.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 a = 2

Duljina brida kocke čiji je volumen ​ V = 8 m 3 iznosi . a = 2 m


Primjer 19.

Kada moramo odrediti koji je broj kub zadanog broja (obično je to volumen), najsigurnija je metoda rastavljanje broja na proste faktore i traženje među njima tri istovrsna faktora.

Evo primjerakubovaprvih deset prirodnih brojeva.

Zadani broj – volumen Rastav broja Kub
8 2 · 2 · 2 2 3
27 3 · 3 · 3 3 3
64 4 · 4 · 4 4 3
125 5 · 5 · 5 5 3
216 6 · 6 · 6 6 3
343 7 · 7 · 7 7 3
512 8 · 8 · 8 8 3
729 9 · 9 · 9 9 3
1000 10 · 10 · 10 10 3

Zadatak 11.

Komunalni doprinos mora platiti svaki vlasnik objekta pri njegovoj izgradnji i obračunava se cijenom po metru kubičnom. U Zagrebu je najveća cijena u prvoj građevnoj zoni ​ 118 kn/m 3 . Obitelj je sagradila novu dvorišnu gospodarsku zgradu oblika kocke duljine brida 9.5 metara. Koliko će iznositi komunalni doprinos za tu građevinu?

(Podatci preuzeti sa stranice.)

Treba izračunati volumen te zgrade te ga pomnožiti s jediničnom cijenom komunalnog doprinosa.

V = a 3 V = 9.5 3 V = 857.375 m 3

Pomnožimo taj iznos s jediničnom cijenom.

Komunalni doprinos za tu građevinu iznosi 857.375 · 118 = 101 170.25  kuna.


Primjer 20.

Oplošje kocke iznosi 294 m 2 . Koliki je volumen te kocke?

Za volumen nam treba duljina brida a . Duljinu ćemo brida izračunati iz zadanog oplošja.

O = 6 a 2 294 = 6 a 2 a 2 = 294 : 6 a 2 = 49 / a = 7  

Izračunajmo volumen.

V = a 3 V = 7 3 V = 343 m 3  

Volumen kocke oplošja 294 m 2 iznosi 343 m 3 .


Zadatak 12.

Riješite kratki kviz u kojem su povezani oplošje i volumen.

  1. Zadan je iznos oplošja kocke O . Uparite ga s odgovarajućim iznosom volumena V te kocke.

    O = 48 cm 2
    V = 16 2 cm 3   ​
    O = 6 · 10 2 cm 2
    V = 0.02 7 ˙ cm 3   ​
    O = 18 cm 2  
       V = 0 . 037 ¯ cm 3  
    O = 0 . 6 ˙ cm 2  
    V = 0.001 m 3  
    O = 0.1 6 ˙ cm 2  
      V = 3 3 cm 3  


    Pomoć:

    O = 6 a 2 , V = a 3   ​

    Postupak:

    O = 6 a 2 a 2 = O 6 / , a 0 a = O 6  

  2. Volumen kocke iznosi V = 1 331 m 3 . Oplošje te kocke iznosi m 2 .

    Pomoć:

    V = a 3 O = 6 a 2   ​

    Postupak:

    V = 1 331 a 3 = a · a · a = 11 · 11 · 11 a = 11 m 3 O = 6 a 2 O = 6 · 11 2 O = 6 · 121 O = 726 m 2

Povezani sadržaji

Uvećana slika kristala soli
Uvećana slika kristala soli

Kristal soli ima oblik kocke brida prosječne duljine 0.35 mm .

  1. Koliki je volumen kristala soli?
  2. Koliko maksimalno takvih kristala stane u kocku duljine brida 1 cm ?
  1. Duljina je brida 0.35 mm .

    V = a 3 V = 0.35 3 V = 0.042875 mm 3

  2. Kako bismo dobili maksimalni iznos takvih kristala u kocki duljine brida 1 cm , izračunajmo volumen te kocke i podijelimo ga s volumenom kristala soli.

    V = a 3 V = 1 3 V = 1 cm 3

    Podijelimo volumene.

    1 cm 3 : 0.042875 mm 3 = 1 000 mm 3 : 0.042875 mm 3 = 23 323.61516

    Maksimalni bi broj cijelih kristalića bio 23 323 .


Primjer 21.

Slika prikazuje figuru sastavljenu od kocaka

Na slici je model sastavljen od kocaka brida duljine 1.5 cm . Odredimo ukupan volumen modela.

Na slici je 10 kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s 10 .

V = 10 a 3 V = 10 · 1.5 3 V = 10 · 3.375 V = 33.75 cm 3

Ukupan volumen iznosi 33.75 cm 3 .


Zadatak 13.

Slika prikazuje model sastavljen od kocaka

Na slici je model sastavljen od kocaka brida duljine 5 cm . Koliki je ukupan volumen modela?

Na slici je 10 kocaka. Izračunajmo volumen jedne kocke i pomnožimo ga s 10 .

V = 10 a 3 V = 10 · 5 3 V = 10 · 5 · 5 · 5 V = 10 · 5 2 · 5 V = 50 5 cm 3

Ukupan volumen iznosi 50 5 cm 3 .


Kutak za znatiželjne

Na slici su prikazani modeli sastavljeni od kocaka brida duljine 5.6 dm .

Iznad modela su tlocrti s upisanim brojem kocaka posloženih u visinu.

Odredite volumen svakog modela.

Na slici su modeli sastavljeni od kocaka i njihovi pridruženi tlocrti
Na slici su modeli sastavljeni od kocaka i njihovi pridruženi tlocrti te iznosi volumena

Ispod svakog modela su ispravne vrijednosti volumen .


Zadatak 14.

Kocka kojoj su smanjene duljine bridova za 12 cm ima oplošje 1 944 cm 2 . Koliki je volumen početne kocke?

Za volumen početne kocke treba nam duljina njezina brida. Označimo duljinu brida početne kocke s x . Tada vrijedi:

6 x - 12 2 = 1 944 x - 12 2 = 1 944 : 6 x - 12 2 = 324 / x - 12 = ± 324 x - 12 = ± 18 x 1 = 12 + 18 = 30 x 2 = 12 - 18 = - 6 < 0

Duljina brida mora biti veća od nule stoga negativno rješenje odbacimo i uzmemo rješenje 30 cm .

Volumen tražene kocke iznosi:

V = a 3 V = 30 3 V = 27 000 cm 3


...i na kraju

Kristal pirita, sumpornog mineral
Kristal pirita, sumpornog minerala

Kocka je geometrijsko tijelo koje čovjek često upotrebljava u umjetnosti, arhitekturi, društvenim igrama...

I priroda „voli“ oblik kocke koji je čest oblik kristala.

Oplošje kocke duljine brida a zbroj je svih površina koje ju omeđuju i računa se kao O = 6 a 2 .

Volumen (obujam) kocke računa ​se kao  V = a 3 .

Duljina prostorne dijagonale računa ​se kao D = a 3 .

  1. Kocka ima  vrhova,  strana,  bridova.

    Pomoć:

    Na slici je prikaz kocke

     ​

    null
  2. Je li na slici mreža kocke?

    Na slici je prikaz šest sukladnih kvadrata, četiri u nizu i dva s iste strane

    null
  3. Je li na slici mreža kocke?

    Na slici je šest sukladnih kvadrata dva para spojenih

    null
    null
  4. Spoji parove. Sa O je zadano oplošje, a sa V volumen kocke.

    O = 1 cm 2  
    V = 6 6 cm 3  
     
    O = 216 cm 2  
      V = 6 36 cm 3  
    O = 36 cm 2   
    V = 216 cm 3  
    O = 6 cm 2  
    V = 1 cm 3  

    Pomoć:

    O = 6 a 2 V = a 3    ​

    null
  5. Ako je duljina brida kocke 3 , onda je duljina prostorne dijagonale  .

    Pomoć:

    D = a 3   ​

    null
  6. Ako je površina dijagonalnog presjeka kocke 121 2 , onda je duljina brida kocke  .

    Pomoć:

    p d p = a 2 2   ​

    null

Idemo na sljedeću jedinicu

8.3 Kvadar