x
Učitavanje

8.1 Prizme

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Koliko ste puta u svakodnevnom govoru čuli izraze bilježnica na kockice ili naši kockasti? Jesu li ti izrazi pravilni? Pogledajmo.


Kvadrati su geometrijski likovi te su dvodimenzionalni, dok su kocke geometrijska tijela i trodimenzionalna su.

Stoga bi bilo vrlo nezgodno pisati u bilježnicu s kockicama ili odjenuti kockasti dres.

Pravilno bi bilo reći bilježnica s kvadratićima i dres s kvadratićima.

Geometrijski likovi i tijela

Prisjetimo se.

Geometrijski je lik dio ravnine te je omeđen s konačno mnogo dužina ili zakrivljenih crta. Crte koje omeđuju lik moraju biti zatvorene i ne smiju se međusobno sjeći.

Slika prikazuje različite geometrijske likove (krug, pravokutnik, trokut i kvadrat).

Ovo su geometrijski likovi.

Slika prikazuje nekoliko primjera oblika koji nisu geometrijski likovi.

Ovo nisu geometrijski likovi.

Geometrijsko tijelo dio je prostora omeđen plohama. Plohe koje omeđuju tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene.

Zanimljivost

Slika prikazuje nekoliko geometrijskih tijela ijela i njihovih sjena.

Razvrstajte na likove i tijela.

Zadatak 1.

Pažljivo promotrite tijela na slikama. Kakve mogu biti plohe koje omeđuju geometrijska tijela?

Slika prikazuje skupinu geometrijskih tijela.

Plohe koje omeđuju geometrijsko tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene.

Zanimljivost

Pogledajte različita geometrijska tijela iz različitih perspektiva.

Zbog toga što plohe koje omeđuju geometrijsko tijelo mogu biti ravne (dijelovi ravnina) ili zakrivljene, geometrijska tijela možemo podijeliti u dvije skupine:

  • Uglata tijela (poliedri) su tijela koja su omeđena samo ravnim plohama.
  • Obla tijela su tijela koja su omeđena barem jednom zakrivljenom plohom.

Najvažnije su skupine uglatih tijela (poliedara) prizme i piramide.

Slika prikazuje podjelu geometrijskih tijela.
Podjela geometrijskih tijela

Zanimljivost

Istražite podrijetlo riječi prizma te njezina značenja na mrežnim stranicama Hrvatske enciklopedije. ​

Slika prikazuje podjelu uglatih geometrijskih tijela na prizme i piramide.
Podjela uglatih geometrijskih tjiela

Prizme

Zadatak 2.

Usporedite prizme s ostalim geometrijskim tijelima. Što primjećujete?

Slika prikazuje primjere tri skupine tijela -prizme, piramide i obla tijela.

Usporedimo li prizme s ostalim geometrijskim tijelima, možemo primijetiti:

  • Prizme su uglata geometrijska tijela.
  • Omeđene su s dva para sukladnih mnogokuta (trokuta, četverokuta, šesterokuta...) i paralelogramima (pravokutnicima).
  • Sukladni mnogokuti (baze prizme) pripadaju međusobno paralelnim (usporednim) ravninama.

Zanimljivost

Slika prikazuje glavu s kotačićima (osoba razmišlja).

Je li geometrijsko tijelo prizma, piramida ili oblo geometrijsko tijelo?

Razvrstajte.

Pogledajte različite prizme te razmislite kako biste ih opisali.

Slika prikazuje različite prizme.
Prizme

Prizma je geometrijsko tijelo omeđeno s dvama međusobno sukladnim n -terokutima koji pripadaju međusobno paralelnim ravninama, a nazivamo ih bazama ili osnovkama prizme te s n paralelograma koje nazivamo pobočkama i koji čine pobočje prizme. Baze i pobočke jednim imenom nazivamo stranama prizme.     

Slika prikazuje uspravnu i kosu prizmu s osjenčanim bazama..

Prizma je uspravna ako su pobočke prizme okomite na ravninu baze.  Pobočke uspravne prizme su pravokutnici.  

Mi ćemo u ovoj cjelini proučavati samo uspravne prizme. 

Sljedeća animacija prikazuje razlike uspravne i kose prizme.

Slika prikazuje uspravnu i kosu četverostranu prizmu.

U sljedećoj animaciji proučite nastanak različitih prizmi.

Nastanak prizmi translacijom

Proučite sljedeću animaciju te uočite svojstva baza i pobočki prizmi.

Svojstva baza i pobočki pravilne uspravne prizme

Zanimljivost

Razlika između prizmi i piramida

U ovom videu možete pobliže proučiti razliku između prizmi i piramida.

Zanimljivost

Ako bijela svjetlost (Sunčeva ili ona iz žarulje) prođe kroz staklenu trostranu prizmu, svjetlost će se razložiti na dugine boje. Više o nastanku duge pogledajte u videozapisu. Također možete pogledati i epizodu Duga serije Laboratorij na kraju svemira.

Više o disperziji svjetlosti i nastanku duge možete pogledati i u videozapisu na engleskom jeziku.

Uspravna je prizma pravilna ako su njezine baze pravilni mnogokuti.

Slika prikazuje pravilne uspravne prizme i pravilne prizme koje nisu uspravne.

 ​

Zanimljivost

Pogledajte različite pravilne prizme iz različitih perspektiva.

Ovisno o vrsti mnogokuta koji je baza prizme razlikujemo trostranu (baza joj je trokut), četverostranu (baza je četverokut), peterostranu (baza je peterokut), šesterostranu... n -terostranu prizmu.

Osnovni brid ili brid baze prizme jest dužina po kojoj se sijeku baza i pobočka.

Pobočni brid ili brid pobočke jest dužina po kojoj se sijeku dvije susjedne pobočke prizme. Pobočni su bridovi prizme međusobno usporedni i jednakih su duljina.

Slika prikazuje prizmu na kojoj je istaknuti jedan osnovni i jedan bočni brid.

Primjer 1.

Slika prikazuje uspravnu prizmu.

Na slici je uspravna peterostrana prizma A B C D E A ' B ' C ' D ' E ' . Ispišimo njezine vrhove, osnovne bridove, pobočne bridove, baze i pobočke.

Vrhovi nacrtane prizme su točke A , B , C , D , E , A ' , B ' , C ' , D ' i E ' .

Osnovni su bridovi nacrtane prizme dužine A B ¯ , B C ¯ , C D ¯ , D E ¯ , E A ¯ , A ´ B ´ ¯ , B ´ C ´ ¯ , C ´ D ´ ¯ , D ´ E ´ ¯ , E ´ A ´ ¯ , dok su njezini pobočni bridovi dužine A A ' ¯ , B B ' ¯ , C C ' ¯ , D D ' ¯ , E E ¯ ' . Baze te prizme su peterokuti A B C D E i A ' B ' C ' D ' E ' , a pobočke su pravokutnici A B B ' A ' , B C C ' B ' , C D D ' C ' , D E E ' D ' i E A A ' E ' .


Vrh prizme je točka u kojoj se sijeku tri ravnine: ravnina baze i ravnine kojima pripadaju dvije susjedne pobočke. Svaki je vrh zajednička rubna točka triju bridova, dvaju osnovnih i jednoga pobočnog brida.

Visina prizme je udaljenost njezinih baza. Za uspravne prizme visina  je jednaka duljini pobočnog brida.

Slika prikazuje prizmu na kojoj je istaknuta visina i vrh.

Zadatak 3.

Promotrite prizme, tablicu precrtajte u bilježnicu pa dopunite tablicu.

Baza Naziv prizme Broj vrhova Broj osnovnih bridova Broj pobočnih bridova Broj pobočki Broj strana
trokut
četverokut
peterokut
šesterokut
osmerokut
n -terokut
Slika prikazuje različite uspravne prizme.

 ​

Baza Naziv prizme Broj vrhova Broj osnovnih bridova Broj pobočnih bridova Broj pobočki Broj strana
trokut trostrana 6 6 3 3 5
četverokut četverostrana 8 8 4 4 6
peterokut peterostrana 10 10
5 5 7
šesterokut šesterostrana 12 12 6 6 8
osmerokut osmerostrana 16 16
8 8 10
n -terokut n -terostrana 2 n 2 n n n n + 2

Zadatak 4.

Neka prizma ima 20 strana. Koja je to prizma? Koliko ima vrhova, a koliko bridova?

Prizma s 20 strana naziva se osamnaesterokutna prizma. Ta prizma ima 36 vrhova i 36 bridova.


Zadatak 5.

  1. Koji je drugi naziv za bazu prizme?

    null
    null
  2. Je li valjak prizma?

    null

    Postupak:

    Prizma je uglato geometrijsko tijelo, a valjak je oblo geometrijsko tijelo.

  3. Baze i pobočke prizme jednim se imenom nazivaju strane prizme.

    null
  4. Je li prikazano geometrijsko tijelo prizma?

    Slika prikazuje geometrijsko tijelo s jednom bazom i pobočkama oblika trokuta.


    null

    Postupak:

    Prizma je omeđena dvama usporednim sukladnim mnogokutima i pobočkama koje su paralelogrami (u slučaju uspravne prizme, pravokutnici). Prikazano geometrijsko tijelo je piramida.

  5. Dane pojmove postavite na odgovarajuće mjesto na slici.

    Slika prikazuje trostranu prizmu.

    baza

    brid

     vrh

    pobočka

    null
  6. Od kojih se mnogokuta sastoji pobočje pravilne uspravne prizme?

    null
    null
  7. Baza osmerostrane prizme je .
    null
    null
  8. Prizma kojoj je baza trokut naziva se prizma.
    null
    null
  9. Koliko pobočki ima dvanaesterostrana prizma?

    null
    null
  10. Četverostrana prizma ima  vrhova.
    null
    null
  11. Peterostrana prizma ima strana.
    null
    null
  12. Broj je pobočki neke prizme uvijek veći od broja njezinih baza.

    null
  13. Koja prizma ima ukupno 30   bridova?​

    null

    Postupak:

    Ukupni broj bridova jednak je zbroju osnovnih i pobočnih bridova tj. 2 n + n = 3 n , pri čemu je n broj vrhova. Stoga 3 n = 30 i n = 10 . Radi se o prizmi s 10 vrhova tj. od deseterostranoj prizmi. ​

  14. Prizma koja ima 14  pobočki ima strana i vrhova.
    null

Mreže prizmi

Razrežemo li n -terostranu prizmu duž jednoga pobočnog brida i duž n - 1 brida gornje i donje baze pa sve nastale likove razvijemo u ravninu, dobit ćemo mrežu prizme.

Slika prikazuje pravilnu trostranu prizmu i njezinu mrežu.

Primjer 2.

Istražite mreže različitih uspravnih prizmi.

Pomicanjem crveno obojene točke na gornjoj bazi možete uspravnu prizmu promijeniti u kosu, a zatim istražiti i njezinu mrežu. Pazite, broj vrhova mora biti najmanje 3 .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 6.

Odaberite pravu mrežu za svaku prizmu.

Slika prikazuje kvadar.

Moguća mreža kvadra.

Moguća mreža kvadra.

Moguća mreža kvadra.

Moguća mreža kvadra.

null
null
Slika prikazuje trostranu prizmu.

Moguća mreža trostrane prizme.

Moguća mreža trostrane prizme.

Moguća mreža trostrane prizme.

Moguća mreža trostrane prizme.

null
null


Na slici je pravilna peterostrana prizma.

Moguća mreža peterostrane prizme.

Moguća mreža peterostrane prizme.

Moguća mreža peterostrane prizme.

Moguća mreža peterostrane prizme.

null
null


Slika prikazuje šesterostranu prizmu.

Moguća mreža šesterostrane prizme.

Moguća mreža šesterostrane prizme.

Moguća mreža šesterostrane prizme.

Moguća mreža šesterostrane prizme.

null
null

Zadatak 7.

Nacrtajte na papiru mrežu kocke A B C D E F G H s bridom duljine 20 mm .

Slika prikazuje mrežu kocke.
Razrežemo li kocku duž bridova, dobit ćemo šest međusobno povezanih sukladnih kvadrata kao na slici.

Zanimljivost

Pogledajte izgradnju prizmi iz mreža i obratno na poveznici.

...i na kraju

 U ovoj ste jedinici naučili:

Za kraj možete nacrtati mreže različitih pravilnih i nepravilnih prizmi, izrezati ih iz malo čvršćeg papira te izraditi njihove modele.

Idemo na sljedeću jedinicu

8.2 Kocka