x
Učitavanje

1.7 Razlika kvadrata

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Razlika kvadrata

Izračunajmo sada umnožak zbroja i razlike dvaju racionalnih brojeva.

( a + b ) · ( a - b ) = a 2 + a b - b a - b 2 = a 2 - b 2  

Ilustracija prikazuje tlocrt apartmana u obliku kvadrata. Kvadrat sa stranicom duljine a podijeljen je na dva kvadrata i dva pravokutnika.

Zbroj dvaju brojeva pomnožen njihovom razlikom daje razliku kvadrata tih brojeva pa možemo pisati:

( a + b ) · ( a - b ) = a 2 - b 2

Dakle, razlika kvadrata dvaju racionalnih brojeva jednaka je umnošku zbroja i razlike tih brojeva. Ako razliku kvadrata dvaju brojeva a 2 - b 2 napišemo u obliku umnoška ( a + b ) · ( a - b ) , kažemo da smo razliku kvadrata rastavili na faktore. Pišemo:

a 2 - b 2 = ( a + b ) · ( a - b )

Tu formulu, radi lakšeg pamćenja, možemo izreći i ovako:

prvi 2 - drugi 2 = prvi+drugi · prvi - drugi

Primijenimo sada tu formulu na nekoliko primjera.

Formulu možemo upotrijebiti za množenje zbroja i razlike dvaju brojeva.

Primjer 1.

Na papir napišimo u obliku razlike kvadrata sljedeće umnoške.

  1. ( a + 5 ) · ( a - 5 )
  2. ( 4 - 3 c ) · ( 4 + 3 c )
  3. ( 0.2 x - 0.3 y ) · ( 0.2 x + 0.3 y )
  1. a + 5 · a - 5 = a 2 - 5 2 = a 2 - 25  
  2. ( 4 - 3 c ) · ( 4 + 3 c ) = 4 2 - ( 3 c ) 2 = 16 - 9 c 2  
  3. 0.2 x - 0.3 y · 0.2 x + 0.3 y = 0.2 x 2 - 0.3 y 2 = 0.04 x 2 - 0.09 y 2

… ili za rastavljanje razlike kvadrata dvaju brojeva na faktore.

Primjer 2.

Rastavimo razliku kvadrata na faktore.

  1. x 2 - 36  
  2. 9 16 y 2 - 25 36 z 2  
  1. x 2 - 36 = x 2 - 6 2 = x - 6 · x + 6  
  2. 9 16 y 2 - 25 36 z 2 = ( 3 4 y ) 2 - ( 5 6 z ) 2 = ( 3 4 y + 5 6 z ) · ( 3 4 y - 5 6 z )  

Primjer 3.

Primijenimo formulu za razliku kvadrata i izračunajmo.

75 · 125

75 · 125 = ( 100 - 25 ) ( 100 + 25 ) = 100 2 - 25 2 = 10 000 - 625 = 9 375


Riješite zadatke koristeći se algebarskim pločicama.

Prisjetite se da crvene pločice možete dobiti pritiskom na bilo koju od postojećih pločica. Na isti način i vraćate polaznu boju pločice.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 1.

Napiši na papir umnoške u obliku razlike kvadrata.

  1. ( 3 a + b ) ( 3 a b )
  2. ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 )
  3. ( 1 + 6 y ) ( 1 6 y )
  4. ( 4 5 a ) ( 4 + 5 a )
  5. 1 7 x + 2 9 y 1 7 x - 2 9 y
  6. 0.4 c - 0.6 d ( 0.4 c + 0.6 d )
  1. ( 3 a + b ) ( 3 a b ) = 9 a 2 - b 2
  2. ( 2 x - 3 ) ( 2 x + 3 ) = 4 x 2 - 9
  3. ( 1 + 6 y ) ( 1 6 y ) = 1 - 36 y ²
  4. ( 4 5 a ) ( 4 + 5 a ) = 16 - 25 a 2
  5. ( 1 7 x + 2 9 y ) ( 1 7 x - 2 9 y ) = 1 49 x 2 - 4 81 y 2
  6. 0.4 c - 0.6 d 0.4 c + 0.6 d = 0.16 c 2 - 0.36 d 2

Zadatak 2.

Rastavi razliku kvadrata na faktore.

  1. 16 x 2 - 25 y 2
  2. 1 4 a 2 - 9 49 b 2  
  3. 0.25 x 2 - 0.81 y 2  
  4. 121 p 2 - 144 r 2
  1. 16 x 2 - 25 y 2 = ( 4x - 5y ) ( 4x + 5y )  
  2. 1 4 a 2 - 9 49 b 2 = 1 2 a - 3 7 b 1 2 a + 3 7 b  
  3. 0.25 x 2 - 0.81 y 2 = ( 0.5 x + 0.9 y ) ( 0.5 x - 0.9 y )
  4. 121 p 2 - 144 r 2 = 11 p + 12 r 11 p - 12 r  

Zadatak 3.

Prepišite jednakosti na papir i dopuni te ih tako da jednakosti budu istinite.

  1. 49 x 2 - 100 y 2 = _ _ - _ _ _ · 7 x + 10 y
  2. _ _ _ c 2 - 16 d 2 = 3 c - 4 d · 3 c + _ _ _
  3. 0.0121 - _ _ _ _ s 2 = _ _ _ _ _ + 0.02 s · _ _ _ _ _ _ - 0.02 s
  1. 49 x 2 - 100 y 2 = 7 x - 10 y · 7 x + 10 y
  2. 9 c 2 - 16 d 2 = 3 c - 4 d · 3 c + 4 d
  3. 0.0121 - 0.0004 s 2 = 0.11 + 0.02 s · 0.11 - 0.02 s

Zadatak 4.

Primijeni formulu za razliku kvadrata i izračunaj.

  1. 95 · 105  
  2. 30.3 · 9.7  
  3. 891 · 909
  1. 95 · 105 = ( 100 - 5 ) ( 100 + 5 ) = 100 2 - 5 2 = 10 000 - 25 = 9 975
  2. 10.3 · 9.7 = 10 + 0.3 10 - 0.3 = 10 2 - 0.3 2 = 100 - 0.09 = 99.91
  3. 891 · 909 = ( 900 - 9 ) ( 900 + 9 ) = 900 2 - 9 2 = 8 100 - 81 = 8 019

Zadatak 5.

Na slici se nalaze kvadrat i pravokutnik. Kvadrat ima duljinu stranice a cm i unutar njega u donjem desnom kutu kvadrat duljine b cm. Potrebno je izračunati razliku površina tih dvaju kvadrata. Pravokutnik ima duljine stranica (a+b) cm i (a-b) cm.

Usporedi površine crvenoga i plavoga geometrijskog lika sa slike.

Procijeni koji od njih ima veću površinu?

Provjeri rješenje za a = 5 cm i b = 2 cm .


Površina je većeg kvadrata jednaka a 2 , a površina je manjeg kvadrata jednaka b 2 . Razlika površina tih dvaju kvadrata jednaka je površini crvenoga geometrijskog lika a 2 - b 2 = a + b · a - b .

Površina je pravokutnika jednaka a + b · a - b = a 2 - b 2 .

Dakle, zadane su površine jednake.

Za a = 5 cm i b = 2 cm površina je većeg kvadrata jednaka 5 2 = 25 cm 2 , a površina je manjeg kvadrata jednaka 2 2 = 4 cm 2 . Razlika je tih dviju površina 21 cm 2 .

Za a = 5 cm i b = 2 cm površina je pravokutnika jednaka 7 · 3 = 21 cm 2 .


Zadatak 6.

Obitelji Mudrić ponuđena je radi izgradnje autoceste zamjena poljoprivrednog zemljišta. Za njihovo im je zemljište u obliku kvadrata ponuđeno zemljište u obliku pravokutnika. Jedna je stranica novog zemljišta 12 m   dulja, a druga 12 m   kraća od stranice njihova zemljišta. Isplati li se obitelji Mudrić zamjena zemljišta? ​

Objasnite odgovor.

Na slici je prikaz kvadratnog poljoprivrednog zemljišta sa stranicom duljine x m i slika pravokutnog  poljoprivrednog zemljišta kojemu su duljine stranica x+12 m,x-12 m.

Površina zemljišta u obliku kvadrata sa stranicom duljine x m jednaka je x 2 . Površina je zemljišta u obliku pravokutnika jednaka x + 12 x - 12 = x 2 - 144 . Obitelji Mudrić se ne isplati zamjena zemljišta jer je nova površina za 144 m 2 manja od površine zemljišta koje imaju u vlasništvu.


Zadatak 7.

Lucijin je suprug promijenio dimenzije gredice s jagodama u vrtu. Gredicu u obliku kvadrata duljine stranica x skratio je za 3 m po širini i produljio za 3 m po dužini. Lucija je nezadovoljna novom veličinom gredice s jagodama. Zašto? Usporedi površine nove i stare gredice.

Površina kvadratne gredice sa stranicom duljine x m jednaka je x 2 . Površina gredice u obliku pravokutnika jednaka je x + 3 x - 3 = x 2 - 9 . Lucija je s pravom nezadovoljna jer je površina nove gredice za 9 m 2 manja od početne površine gredice.


  1. Dovuci odgovarajuće algebarske izraze na njihove jednakosti.

    c + 1 2 2   ​
    1 4 - c 2   ​
    1 2 - c 2
    1 2 - c 1 2 - c   ​
    ( 1 2 - c ) ( 1 2 + c )  
    c 2 - 1 4   ​
    ( 1 2 + c ) ( c - 1 2 )
    c + 1 2 c + 1 2   ​
    null
    null
  2. Dovuci odgovarajuće algebarske izraze na njihove jednakosti.

    49 x 2 + 2.8 x + 0.04
    0.2 - 7 x 0.2 + 7 x   ​
    49 x 2 - 0.04   ​
    7 x - 0.2 7 x - 0.2   ​
    0.04 - 49 x 2
    7 x + 0.2 7 x + 0.2
    49 x 2 - 2.8 x + 0.04   ​
    0.2 + 7 x 7 x - 0.2   ​
    null
    null
  3. Dovuci izraze na odgovarajuća mjesta.
    x + 7 · 7 - x =

     
    .
    x - 7 · x + 7 =
     
    .
    4 + a · a - 4 =
     
    .
    4 - a · 4 + a =
     
     .

    a 2 - 16
    49 - x 2
    x 2 - 49
    16 - a 2

    null
    null

Zadatak 8.

Opsezi dvaju kvadrata razlikuju se za 16 cm , a njihove površine za 72 cm 2 . Kolike su duljine stranica tih kvadrata?

O 2 - O 1 = 16 cm

P 2 - P 1 = 72 cm 2

4 a 2 - a 1 = 16 / : 4 a 2 - a 1 = 4  

a 2 2 - a 1 2 = 72 a 2 2 - a 1 2 = ( a 2 - a 1 ) ( a 2 + a 1 ) = 72

4 ( a 2 + a 1 ) = 72 / : 4 a 2 + a 1 = 18

a 2 - a 1 = 4 , a 2 + a 1 = 18  

Rješavanjem ovog sustava dviju linearnih jednadžbi s dvjema nepoznanicama dobivamo da je a 2 = 11 cm i a 1 = 7 cm . Duljine stranica tih kvadrata imaju duljine 11 cm i 7 cm .


Zadatak 9.

Površinu pravokutnika možemo izraziti s pomoću formule P = a · b . Kolike mogu biti duljine stranica da bismo dobili površinu 36 a b ? Ispiši na papir sve mogućnosti uz uvjet da su a i b prirodni brojevi.

a   1 a   2 a   3 a   4 a   6 a   9 a   12 a   18 a   36 a  
b   36 b 18 b 12 b 9 b 6 b 4 b 3 b 2 b 1 b
P   36 a b 36 a b 36 a b 36 a b 36 a b 36 a b 36 a b 36 a b 36 a b

​Sve mogućnosti za rješenje zadatka dane su u tablici.


U sljedećem videu dokazat ćemo tvrdnju: Ako oduzmemo kvadrate dvaju uzastopnih prirodnih brojeva, dobit ćemo isti rezultat kao da smo zbrojili ta dva prirodna broja. Pogledajmo video!


...i na kraju

Naučili smo da je razlika kvadrata dvaju racionalnih brojeva jednaka umnošku zbroja i razlike tih brojeva.

a 2 - b 2 = ( a + b ) · ( a - b )

Ako razliku kvadrata dvaju brojeva a 2 - b 2 napišemo u obliku umnoška ( a + b ) · ( a - b ) , kažemo da smo razliku kvadrata rastavili na faktore. Zbroj dvaju brojeva pomnožen njihovom razlikom daje razliku kvadrata tih brojeva pa formulu možemo pisati i u obliku:

( a + b ) · ( a - b ) = a 2 - b 2

Kako biste kvalitetnije usvojili naučeno gradivo, riješite zadatke koje prikazuje video.