x
Učitavanje

1.3 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Izlomljena crta sukladnih izlomljenih dijelova i izlomljena crta različitih izlomljenih dijelova

Promotrimo izlomljene linije na slici i zapis njihovih duljina.

k + k + k + k = 4 · k  

a + b + c + d + e + f

Duljine ovih izlomljenih linija možemo zbrajati i zapisati kao:

k + k + k + k = 4 · k = 4 k ,

a + b + c + d + e + f .

Algebarski izrazi

Površine koje se sastoje od: 5 sukladnih pravokutnika, 5 sukladnih kvadrata, te kvadrata i pravokutnika

Uočimo kako su u prvoj liniji svi pribrojnici istoimeni pa njihov zbroj možemo prikazati kao umnožak.

U drugom su slučaju svi pribrojnici raznoimeni pa zbroj ostaje prikazan u istom obliku. Promotrimo sada površine na slici.

5 · a · b

5 · x 2

n 2 + m · n

Zbroj površina prvih dvaju likova na slici možemo zapisati na sljedeći način:

Svi su pribrojnici istoimeni pa njihov zbroj možemo prikazati kao umnožak.

a · b + a · b + a · b + a · b + a · b = a b + a b + a b + a b + a b = 5 · a · b = 5 a b

x 2 + x 2 + x 2 + x 2 + x 2 = 5 · x 2 = 5 x 2

Izraze oblika

n 2 + m · n ,

5 · a · b , 5 · x 2

a + b

nazivamo algebarski izrazi.

Primjer 1.

Izlomljena crta s četiri sukladna dijela

Zadan je prikaz u obliku izlomljene linije.

Izračunajmo duljinu izlomljene linije na slici ako k predstavlja duljinu od  20 metara, k = 20 m .

Zapišimo na papir duljinu izlomljene linije algebarskim izrazom.

Izračunajmo duljinu linije.

Algebarski izraz: k + k + k + k = 4 · k .

Vrijedi: 4 · k = 4 · 20 = 80 .

Duljina zadane linije iznosi 80 metara.

Zadatak 1.

Slika prikazuje neki položaj pet jednakih pravokutnih strunjača.

U sportskoj su dvorani poslagane pravokutne strunjače kako je prikazano na slici. Sve strunjače imaju iste dimenzije, 2 m × 1 m .

Zapišimo na papir površinu poda prekrivenog strunjačama algebarskim izrazom. Odredimo kolika je površina poda prekrivenog strunjačama?

Pet je strunjača, a svaka od njih ima površinu a · b .

Algebarski izraz kojim opisujemo površinu poda prekrivenog strunjačama je 5 · a · b. .

Uvrstimo u taj izraz zadane vrijednosti (duljine stranica strunjače)

5 · a · b = 5 · 2 · 1 = 10 .

Površina poda prekrivenog strunjačama je 10 m 2 .


Zadatak 2.

Pet sukladnih kvadrata

Vrt se sastoji od pet jednakih kvadratnih gredica. Duljina stranice jedne gredice iznosi 4.5 metra. Algebarskim izrazom zapišite na papir ukupnu površinu gredica. Izračunajte ukupnu površinu gredica.

5 · x 2 = 5 · 4.5 2 = 5 · 20.25 = 101.25

Ukupna površina svih gredica u vrtu iznosi 101.25 m 2 .


Zadatak 3.

Tlocrt sastavljen od jednog  kvadrata i jednog pravokutnika

Marta ima malu garsonijeru. Tlocrt je garsonijere prikazan na slici. Kvadrat ima stranicu duljine 4 m , a pravokutnik stranice duljina 4 m i 6.5 m . Algebarskim izrazom zapišite na papir površinu garsonijere. Izračunajte površinu garsonijere.

P = n 2 + m · n

P = 4 2 + 4 · 6.5

P = 16 + 26

P = 42  ​

Površina je Martine garsonijere 42 m 2 .


U algebarskim izrazima oblika a · b · c   možemo izostaviti znak puta i pisati a b c .

Vrijednost algebarskog izraza

Zadatak 4.

U zadatku spajanja parova zadana je vrijednost x  za koji treba izračunati vrijednost algebarskog izraza 5 x .

Svakoj vrijednosti x  pridružite povlačenjem njegovu vrijednost algebarslog izraza 5 x .

x = - 9 10   ​
5 x = 4  
x = 67   ​
5 x = 30   ​
x = 9.8  
5 x = - 335   
x = 4 5   
5 x = 49   ​
x = 6  
5 x = - 18   ​
null
null

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za n = 12 , m = 10 .

n 2 + m · n =

12 2 + 12 · 10 =

144 + 120 =  

164

Primjer 3.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za n = 12 , m = 10 .

n 2 - m 2 =

12 2 - 10 2 =

144 - 100 =

44

Primjer 4.

Izračunajmo vrijednost zadanog algebarskog izraza za n = 12 , m = 10 .

- n 2 + 2 · m · n - 1 =

- 12 2 + 2 · 10 · 12 - 1 =

- 144 + 240 - 1 =

95

Zadatak 5.

Izračunjate vrijednost algebarskog izraza za zadane vrijednosti.

  1. Vrijednost algebarskog izraza n 2 + m n za n = 10 , m = 8 .  

     

     

  2. Vrijednost algebarskog izraza n 2 - m 2 za n = 10 , m = 8 .  

     

     

  3. Vrijednost algebarskog izraza 1 2 n 2 - m 2  za n = 10 , m = 8 .  

     

     

  4. Vrijednost algebarskog izraza - n 2 + 2 m n - m 2   za n = 10 , m = 8  

     

     

Zadatak 6.

Izračunajte vrijednost algebarskih izraza za zadane vrijednosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Izračunajte vrijednost zadanoga algebarskog izraza za a = 2 5 , b = - 1 2

a 2 + 2 a b + b 2 .

2 5 2 + 2 · 2 5 · - 1 2 + - 1 2 2 =

4 25 - 2 5 + 1 4 =

1 100


Zadatak 8.

Izračunajte vrijednost zadanoga algebarskog izraza za a = 2 5 , b = - 1 2

a b 2 - a 2 b

2 5 · - 1 2 2 - 2 5 2 · - 1 2 =

2 5 · 1 4 + 4 25 · 1 2 =

1 10 + 2 25 =  

9 50


Zadatak 9.

Izračunajte vrijednost zadanoga algebarskog izraza za a = 2 5 , b = - 1 2

a - b · a + b

2 5 - - 1 2 · 2 5 + - 1 2 =

2 5 + 1 2 · 2 5 - 1 2 =

9 10 · - 1 10 =  

- 9 100  


Zadatak 10.

Izračunajte vrijednost zadanoga algebarskog izraza za a = 2 5 , b = - 1 2

a + b 2

2 5 + - 1 2 2 =

2 5 - 1 2 2 =

- 1 10 2 =

1 100


Zadatak 11.

Izračunajte vrijednost izraza s njegovom vrijednosti za zadane x i y .

x = 1 2 , y = 3 4

4 3 x 2 + 6 y - x y   ​
25 16   ​
4 x 2 - 16 y 2   ​
5 5 8   ​
3.5 - x y + y 2  
5 3 16 = 5.1875   
x 2 - 2 x y + y 2   ​
125 24   ​
2 x 2 - 3 x y + 4  
- 8   ​
null
null

Zadatak 12.

U zadatcima izračunajte vrijednost izraza.

  1. Odredite vrijednost izraza​ 2 ( x + y ) za x = 5 , y = - 7 .

    null
    null
  2. Odredite vrijednost izraza 2 x 2 + x za x = - 8 .

    null
    null
  3. Odredite vrijednost izraza x 2 - y 2 za x = - 0.5 , y = - 1 .  

    null
    null
  4. Odredite vrijednost izraza x 2 - 4 x y + 4 y 2   za x = 10 , y = - 10 .  

    null
    null

Pojednostavnjivanje algebarskih izraza zbrajanjem i/ili oduzimanjem

Animacija pokazuje kada se izraz može pojednostavniti.

Pojednostavniti algebarski izraz znači zbrojiti/oduzeti sve istoimene vrijednosti u izrazu.

Zadatak 13.

Upari zadani algebarski izraz i izraz koji je nastao njegovim pojednostavnjivanjem.

Dovuci zadane algebarske izraze na izraze koji su nastali njegovim pojednostavnjivanjem .

3 4 x 2 - 6 y + 1 4 x 2 + 4 y
x 2 - 2 y
2 x 2 + 6 x - x 2 + 4 x
x 2 + 10 x
x + 2 x + 5 + 4 x
2 x y - 7
7 x y + 2 - 5 x y - 9
2
6 x 2 + 8 x - 9 - 6 x 2 - 8 x + 11
7 x + 5
null
null

Zadatak 14.

Tlocrt koji se sastoji od pravokutnika

Na slici je tlocrt koji se sastoji od pravokutnika. Zapišite na papir algebarski izraz koji opisuje ukupnu površinu tlocrta i pojednostavnite ga.

Tlocrt je sastavljen od jednog kvadrata sa stranicom duljine a , dvaju sukladnih pravokutnika sa stranicama duljine a i b te dvaju sukladnih pravokutnika sa stranicama duljine b i c .

Zapišimo i zbrojimo njihove površine.

P = a 2 + a b + a b + b c + b c

P = a 2 + 2 a b + 2 b c


Zadatak 15.

U sljedećem nizu zadataka potraži odgovarajući pojednostavnjeni izraz zadanom.

  1. Pojednostavnjen izraz 2 x - 1 jednak je:

    null
    null
  2. Pojednostavnjen izraz - 5 a b - 3 a b + 8  jednak je:  

    null
    null
  3. Pojednostavnjen izraz x 2 - x  jednak je: ​  

    null
    null
  4. Pojednostavnjen izraz x 2 - 2 x + x 2 - 1 jednak je:  

    null
    null
  5. Pojednostavnjen izraz 2 a 2 + 3 a b - 8 a 2 + 7 a b  jednak je: ​  

    null
    null

Primjena

Povezani sadržaji

Na slici je osnosimetrični tlocrt. Zapišite na papir algebarski izraz koji opisuje ukupnu površinu tlocrta i pojednostavnite ga. Odredite površinu tlocrta ako je x = 12 m .

osnosimetrični tlocrt oblika troliste djeteline

Tlocrt je sastavljen od tri sukladna polukruga polumjera duljine x .

Dva kvadrata duljine stranice 2 x .

Tri pravokutnika sa stranicama duljine x i 2 x .

Uz oznake na slici:

Površinu kruga računamo x 2 π gdje je x duljina polumjera.

Površinu kvadrata računamo​ 2 x 2 gdje je 2 x duljina stranice kvadrata.

Površinu pravokutnika računamo x · 2 x gdje su x i 2 x duljine stranica pravokutnika.

P = 1 2 x 2 π + 1 2 x 2 π + 1 2 x 2 π + 3 · 2 x · x + 2 x 2 · 2

P = 3 2 x 2 π + 6 x 2 + 8 x 2

P = 3 2 x 2 π + 14 x 2

Za

x = 12 m

P = 3 2 · 12 2 · 3.14 + 14 · 12 2

P = 678.24 + 2 016

P = 2 694.24

Površina tlocrta iznosi 2 694.24 m 2 .


Povezani sadržaji

Fotografija prostorije s parketom na podu

Za uređenje sobe treba kupiti hrastove parkete kojih je cijena 250 kn/m 2 i ukrasne letvice cijene 55 kn/m . Ukrasne letvice stavljaju se na rubove prostorije. Soba je u obliku pravokutnika, širine 4.25 metara i dužine 5 metara. Kolika je cijena parketa i ukrasnih letvica potrebnih za uređenje poda te sobe?

pravokutnik sa duljinama stranica a i b

Označimo s C cijenu parketa i ukrasnih letvica koju trebamo odrediti.

Površina je poda P = a · b .

Duljina letvica jednaka je opsegu sobe o = 2 · ( a + b ) .

C = 250 · a · b + 55 · o

C = 250 · 4.25 · 5 + 55 · 2 ( 4.25 + 5 )

C = 250 · 21.25 + 55 · 18.5

C = 5 312.5 + 1 017.5

C = 6 330 kn

Cijena parketa i ukrasnih letvica za tu sobu je 6 330 kn .


Projekt

Izračunaj cijenu postavljanja parketa i ukrasnih letvica za svoju sobu prema cijenama u zadatku.

Povezani sadržaji

U pravokutnom je koordinatnom sustavu prikazana shema kretanja tramvaja broj 18 . Opišite algebarskim izrazom duljinu puta koji tramvaj broj  18 prijeđe od prve do zadnje stanice.

Izračunajte duljinu puta te tramvajske linije ako je x = 820 m , a y = 550 m .

Shema tramvajske rute

Algebarski izraz: 17 · x + 38 · y .

Duljina puta: 17 · x + 38 · y = 17 · 820 + 38 · 550 = 13 940 + 20 900 = 34 840 .

Duljina puta je 34 840 m 35 km .


Zadatak 16.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom a 2 + 2 a c .

Kvadrat i četiri sukladna jednakokračna trokuta

 Jedna od mogućnosti je lik na slici.


Zadatak 17.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom 3 a b + 3 a c .

Pravilni šesterokut i šest jednakokračnih trokuta

Jedna od mogućnosti je lik na slici.


Zadatak 18.

Nacrtajte na papir lik čija se površina može opisati algebarskim izrazom 2 a 2 + 4 a b .

Dva kvadrata i četiri pravokutnika

Jedna od mogućnosti je lik na slici.


...i na kraju

Naučili smo:

Zbrajanjem ili oduzimanjem pojednostavniti algebarske izraze.

Na primjer: 2 x - 3 y + 5 x + 7 y = 7 x + 4 y .

Izraz oblika x 2 + 2 x + 1 ne možemo više pojednostavniti. To je najjednostavniji oblik tog izraza.

Primijeniti zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza za rješavanje problemskih situacija vezanih za površine likova.

Problemsku situaciju ispravno modelirati i riješiti s pomoću algebarskog izraza.

Idemo na sljedeću jedinicu

1.4 Množenje algebarskih izraza