x
Učitavanje

1.2 Kvadriranje umnoška i količnika

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika druge faze sierpinskijevog kvadrata. Svaki plavi kvadrat s prethodne slike je na isti način razdijeljen na devet manjih kvadrata od kojih je središnji bijel, a rubni plavi.

Stranica vanjskoga plavog kvadrata tri je puta dulja od stranice maloga bijelog kvadrata. Koliko je puta površina velikoga plavog kvadrata veća od površine maloga bijelog kvadrata?

Druga faza Sierpinskijeva kvadrata

Stranica najmanjega bijelog kvadrata devet je puta manja od stranice vanjskoga plavog kvadrata.

Primjer 1.

Treća faza sierpinskijevog kvadrata
Treća faza sierpinskijevog kvadrata

Koliko je puta površina najmanjega bijelog kvadrata manja od površine vanjskoga plavog kvadrata?

Kvadriranje umnoška – geometrijski pristup

Primjer 2.

Kvadrat stranice duljine 3a podijeljen na 9 manjih sukladnih kvadrata s istaknutim duljinama stranica i površinama.

Na slici je kvadrat sa stranicom duljine 3 a .

Podijeljen je na devet sukladnih kvadrata stranice duljine​ a .

Površina kvadrata čija stranica ima duljinu 3 a iznosi 3 a 2 pri čemu je a Q + .

Površina tog kvadrata također je jednaka, kako se vidi na slici, 9 a 2 .

Zaključujemo: Kvadrat čija stranica ima duljinu 3 a ima devet puta veću površinu od kvadrata čija stranica ima duljinu a .

3 a 2 = 9 a 2 = 3 2 · a 2

3 a 2 = 3 2 · a 2

Kvadriranje umnoška – algebarski pristup

Primjer 3.

Odredimo čemu je jednak izraz 3 a 2 pri čemu je a Q .

Prema definiciji kvadrata racionalnog broja vrijedi:

3 a 2 = 3 a · 3 a = 3 · 3 · a · a = 3 2 · a 2 ,

3 a 2 = 3 2 · a 2 .

Primjer 4.

Odredimo čemu je jednak izraz

( a · b ) 2 pri čemu je a , b Q

a · b 2 = a · b · a · b = a · a · b · b = a 2 · b 2 ,

a · b 2 = a 2 · b 2 .

Kvadrat umnoška dvaju brojeva jednak je umnošku kvadrata tih brojeva.

a · b 2 = a 2 · b 2 pri čemu je a , b Q  

Kvadriranje količnika

Primjer 5.

Odredimo čemu je jednak izraz a 3 2 pri čemu je a Q .

Prema definiciji kvadrata racionalnog broja vrijedi:

a 3 2 = a 3 · a 3 = a · a 3 · 3 = a 2 3 2

( a 3 ) 2 = a 2 3 2

Primjer 6.

Odredimo čemu je jednak izraz a b 2 pri čemu je a , b Q , b 0 .

a b 2 = a b · a b = a · a b · b = a 2 b 2 ,

( a b ) 2 = a 2 b 2  

Kvadrat količnika dvaju brojeva jednak je količniku kvadrata tih brojeva.

a b 2 = a 2 b 2 = a 2 · b 2 pri čemu je a , b Q , b 0  

Ponovimo još jedanput i zapišimo formule za kvadrat umnoška i kvadrat količnika na jednome mjestu. Tim ćemo se formulama koristiti u rješavanju zadataka koji slijede.

a · b 2 = a 2 · b 2 pri čemu je a , b Q  

a b 2 = a 2 b 2 = a 2 : b 2 pri čemu je a , b Q , b 0  

Zadatak 1.

Sierpinskijev sag-treća faza

Koliko je puta površina najmanjega bijelog kvadrata manja od površine najvećeg kvadrata?

Duljina je stranice najmanjeg kvadrata 1 9 duljine stranice najvećeg kvadrata.

1 9 2 = 1 2 9 2 = 1 81

Površina je najmanjeg bijelog kvadrata 81 put manja od površine najvećeg kvadrata


Projekt

Izradimo na papiru sliku koja nastaje iz prethodne slike, a na kojoj je površina najmanjega bijelog kvadrata 27 2 puta manja od površine vanjskoga plavog kvadrata (bez rupa).

Sierpinski 4. korak

Zanimljivost

Sierpinskijev sag
Sierpinskijev sag

Sierpinskijev je tepih fraktal jer nastaje uzastopnim ponavljanjem istih koraka u različitim omjerima.

Više o njemu možete pročitati na poveznici

Kvadriranje na jednostavniji način

Primjer 7.

Primijenimo formulu a · b 2 = a 2 · b 2 ili a b 2 = a 2 b 2 = a 2 : b 2 , a , b Q , b 0  pri rješavanju sljedećih zadataka.

2 · a 2 = 2 2 · a 2 = 4 · a 2

- 0.5 · a 2 = ( - 0.5 ) 2 · a 2 = 0.25 · a 2

( x 5 ) 2 = x 2 5 2 = x 2 25  

( a : 4 ) 2 = a 2 : 4 2 = a 2 : 16  

x · y 8 2 = x 2 · y 2 8 2 = x 2 · y 2 64

- 3 4 k 2 = - 3 4 2 k 2 = 3 2 4 2 k 2 = 9 16 k 2

Izraz a · b 2 = a 2 · b 2 možemo pisati i bez znaka množenja.

( a b ) 2 = a 2 b 2  

Zadatak 2.

Primijenite jednakosti a · b 2 = a 2 · b 2 ili a b 2 = a 2 b 2 , a , b Q , b 0  pri rješavanju sljedećih zadataka.

Dovucite vrijednosti na one koje im odgovaraju.

( 4 5 b ) 2  
25 a 2   ​
( 5 a ) 2  
25 16 a 2 b 2   ​
( 5 · a b ) 2   ​
16 25 b 2   ​
( a · 4 7 ) 2   ​
25 a 2 b 2   
( a b · 5 4 ) 2   ​
16 49 a 2   ​
null
null

Zadatak 3.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite 9 · b 2 . Među ponuđenim odgovorima dva su odgovora točna.

 

null

Zadatak 4.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite ( 0.5 · b ) 2 . Među ponuđenim odgovorima dva su odgovora točna.

null
null

Zadatak 5.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite ( - 13 · x ) 2 . Među ponuđenim odgovorima dva su odgovora točna.

null
null

Zadatak 6.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite ( 5 14 · m · n ) 2 . Među ponuđenim odgovorima dva su odgovora točna.

null
null

Zadatak 7.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite ( - 15 · x ) 2 . Među ponuđenim odgovorima jedan je odgovor točan.

null
null

Zadatak 8.

Kvadrat umnoška prikažite kao umnožak kvadrata.

Pojednostavnite ( 9 11 · a · b ) 2 . Među ponuđenim odgovorima jedan je odgovor točan.

null
null

Primijenite formulu a · b 2 = a 2 · b 2 ili a b 2 = a 2 b 2 , a , b Q pri rješavanju sljedećih zadataka.

Zadatak 9.

Izračunaj.

5 8 2

5 8 2 =

5 2 8 2 =  

25 64


Zadatak 10.

Izračunaj.

  2x 7 2

2 x 7 2 =

2 2 · x 2 7 2 =  

4 x 2 49


Zadatak 11.

Izračunaj.

a · b · c 15 2

a 2 b 2 c 2 225


Zadatak 12.

Izračunaj.

15 · x · y 2 · b 2

15 · x · y 2 · b 2 =  

15 2 x 2 y 2 2 2 b 2 =  

225 x 2 y 2 4 b 2


Zadatak 13.

Izračunaj.

26 · 2 a 13 2

26 · 2 a 13 2 =

26 · 2 2 a 2 13 2 =  

26 · 4 a 2 13 2 =

8 a 2 13


Zadatak 14.

Izračunaj.

3 4 : 9 8 2

3 4 : ( 9 8 ) 2 =

3 4 : 81 64 =

3 4 · 64 81 =

16 27


Zadatak 15.

Izračunaj.

0.25 · 12 5 2 : 12 55

0.25 · 12 5 2 : 12 55 =

1 4 · 12 2 5 2 · 55 12 =

1 4 · 144 25 · 55 12 =

33 5


Zadatak 16.

Izračunaj.

2 · m n 2 : 3 m 2 n

2 · m n 2 : 3 m 2 n =

2 · m 2 n 2 : 3 m 2 n =

2 · m 2 n 2 · 2 n 3 m =

4 m 3 n  


Kvadrat i količnik umnoška za brže računanje

U sljedećem će videu biti prikazano kako primijeniti kvadrat umnoška i njegova prijelaza na umnožak kvadrata za brže računanje.

Primjer 8.

Zadatak 17.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika izračunajte kvadrate zadanih racionalnih brojeva.

36 2

36 2 = 4 · 9 2 = 4 2 · 9 2 = 16 · 81 = 1 296


Zadatak 18.

150 2

150 2 = 15 · 10 2 = 15 2 · 10 2 = 225 · 100 = 22 500


Zadatak 19.

1 500 2  

1 500 2 = 15 · 100 2 = 15 2 · 100 2 = 225 · 10 000 = 2 250 000


Zadatak 20.

0.9 2

0.9 2 = 9 10 2 = 9 2 10 2 = 81 100 = 0.81


Zadatak 21.

1.5 2

1.5 2 = 15 10 2 = 15 2 10 2 = 225 100 = 2.25


Zadatak 22.

0.02 2

0.02 2 = 2 100 2 = 2 2 100 2 = 4 10 000 = 0.0002


Zadatak 23.

1.25 2

1.25 2 = 125 100 2 = 125 2 100 2 = 15 625 10 000 = 1.5625


Zadatak 24.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika riješite zadatak i označite točan odgovor.

Na slici su dva kvadrata. Desni ima duljinu stranice a . Lijevi ima dvostruko kraću stranicu od desnog. Lijevi u odnosu prema desnom ima:

Dva kvadrata jedan manji ima dvostruko kraću stranicu od većeg s istaknutim duljinama stranica.

null
null

Točan je odgovor četiri puta manju površinu.

Za površinu manjeg kvadrata vrijedi: a 2 2 = a 2 4 .

Površina manjeg kvadrata četiri je puta manja od površine većeg kvadrata.


Zadatak 25.

Primjenom pravila kvadriranja umnoška ili količnika riješite zadatak i označite točan odgovor.

Na slici su dva kvadrata. Duljina stranice većeg kvadrata iznosi a . Duljina stranice manjeg kvadrata je 3 5 duljine stranice većeg kvadrata. Površina je manjeg kvadrata:

Dva kvadrata s istaknutim duljinama stranica. Manji ima duljinu tri petine duljine stranice većeg kvadrata.

null
null

Točan je odgovor 9 25 površine većeg kvadrata.

Za površinu manjeg kvadrata vrijedi: 3 5 a 2 = 9 25 a 2 .

Površina manjeg kvadrata iznosi 9 25 površine većeg kvadrata.


Zadatak 26.

Dva kvadrata, stranica manjeg kvadrata je 4/7 stranice većeg kvadrata

Na slici su dva kvadrata. Duljina je stranice lijevog kvadrata a .

Duljina je stranice desnog kvadrata 4 7 duljine stranice lijevog kvadrata.

Površina desnog kvadrata iznosi ____ površine lijevog kvadrata.

Za površinu desnog kvadrata vrijedi: 4 7 a 2 = 16 49 a 2 .

Površina desnog kvadrata iznosi 16 49 površine lijevog kvadrata.


Zadatak 27.

Tlocrt stana u kvadratnoj mreži

Na slici je nacrtana skica tlocrta stana.

Ispitajmo postoji li kvadrat čija je površina jednaka površini prikazanog stana.

Kolika je površina toga stana ako je x = 1.5 m duljina istaknute stranice kvadrata?

Na slici izbrojimo kvadrate sa stranicom duljine a .

Jediničnih je kvadrata 49 .

Površina je stana 49 · n 2 = 7 2 · n 2 = 7 · n 2 .

Budući da smo površinu uspjeli prikazati kao potpuni kvadrat 7 · n 2 , možemo zaključiti da postoji kvadrat čija je površina jednaka površini prikazanog stana. Stranica tog kvadrata ima duljinu 7 · n .

Animacija prikazuje preslagivanje nepravilnog lika površine 49 n 2 u kvadrat. ​

Preslagivanje dospijeva do punog kvadrata.

To pokazuje da je površina 49 n 2 kvadrat sa stranicom 7 · n .


Zadatak 28.

Prikaz površine poda u kvadratnoj mreži.

Na slici je nacrtana skica zemljišta.

Ispitajmo postoji li kvadrat iste površine kao prikazano zemljište?

Kolika je površina tog zemljišta ako je x = 2.9 m duljina istaknute stranice kvadrata?

Odredi približnu duljinu stranice kvadrata (ako je duljina stranice prirodni broj) čija je površina 110.25 m 2 .

Na zadanoj slici prebrojimo kvadrate sa stranicom duljine x .

Malih je kvadrata 67 .

Površina je zemljišta 67 · x 2 .

Ne postoji kvadrat površine jednake površini zadanog zemljište jer 67 nije kvadrat nijednoga racionalnog broja.

x = 2.9 m

67 · x 2 = 67 · 2.9 2 = 67 · 8.41 = 563.47 m 2

Ako duljina istaknute stranice kvadrata iznosi x = 2.9 m, površina je tog zemljišta 563.47 kvadratnih metara.

Broj 81 je kvadrat broja 9 .

Najbliži broj broju 67 , a koji je kvadrat nekog prirodnog broja, je broj 64 .

Broj 64 kvadrat je broja 8 .

Približna je duljina stranice kvadrata

8 · 9 = 72 metra.

Rješenje zadatka vizualno je prikazano animacijom.

Animacija prikazuje preslagivanje nepravilnog lika površine 67 x 2 u kvadrat. ​

Preslagivanje ne dospijeva do punog kvadrata.

To pokazuje da površina 67 x 2  nije potpuni kvadrat.


U idućem videu upoznat ćemo praktičnu primjenu prijelaza s umnoška kvadrata na kvadrat umnoška.

Zadatak 29.

Pojednostavnite primjenom formula za umnožak ili količnik kvadrata.

Spojite odgovarajuće vrijednosti.

0.0036 2 · 100 2 36   ​
0.0036
- 11 25 2 · 75 2
9  
8 2 · - 3 8 2  
1 089
( 9 49 ) 2 : 1 7 : ( - 9 7 ) 2  
1 7   ​
null
null

Zadatak 30.

Izračunaj i rješenje upiši u prazni kvadratić na desnoj strani jednakosti.

Povećaj ili smanji interakciju

Povezani sadržaji

Prikaz igrališta oblika kvadrata

Gradska je uprava odlučila povećati površinu dječjeg igrališta u obliku kvadrata. Duljina je stranice kvadrata 20 metara. Povećat će stranicu 1.2 puta.

  1. Kolika će biti nova površina igrališta?
  2. Koliko se posto povećala duljina stranice kvadrata?
  3. Koliko se posto povećala površina igrališta?Koliko se posto povećala površina igrališta?
Prikaz igrališta oblika kvadrata

Površinu kvadrata sa stranicom duljine a računamo prema formuli P = a 2 .

Izračunajmo kolika će biti površina igrališta s povećanom stranicom.

Duljina uvećane stranice iznosi ​ 20 · 1.2 .

20 · 1.2 2 = 24 2 = 2 2 · 12 2 = 4 · 144 = 576 .

  1. Površina povećanog igrališta je 576 m 2 .

    Izračunajmo postotak povećanja duljine stranice igrališta.

    24 - 20 20 = 4 20 = 0.2 = 20 %

  2. Povećanje duljine stranice kvadrata iznosi 20 % .

    Izračunajmo postotak povećanja površine igrališta.

    576 - 400 400 = 176 400 = 0.44 = 44 %

  3. Povećanje površine dječjeg igrališta iznosi 44 % .


Povezani sadržaji

Pri pranju su se dimenzije stolnjaka kvadratnog oblika smanjile 5 % .

Duljina stranice stolnjaka prije pranja iznosila je 80 cm .

Kolika je površina stolnjaka nakon pranja?

Izrazi novu površinu stolnjaka u kvadratnim metrima.

Izračunajmo površinu stolnjaka nakon pranja.

Ako se stranica smanjila 5 % , znači da je ostalo 95 % duljine.

80 · 0.95 2 = 76 2 = 5 776 cm 2

Površina stolnjaka nakon pranja iznosi 5 776 cm 2 .

5 776 cm 2 = 5 776 · 0.01 m 2 = 5 776 · 0.0001 m 2 = 0.5777 m 2


...i na kraju

Naučili smo primijeniti vezu između kvadrata umnoška i umnoška kvadrata.

a · b 2 = a 2 · b 2

a 2 · b 2 = a · b 2 , a , b Q  

Naučili smo primijeniti vezu između kvadrata količnika i količnika kvadrata.

a b 2 = a 2 b 2  

a 2 b 2 = a b 2 , a , b Q , b 0

Idemo na sljedeću jedinicu

1.3 Zbrajanje i oduzimanje algebarskih izraza