x
Učitavanje

2.7 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Pogledajte animaciju.

Ako je duljina stranice prve kocke 1 cm , kolika je ukupna visina tornja koji se sastoji od triju kocaka? Kad bismo nastavili slagati kocke na isti način, kolika bi bila ukupna visina tornja od deset kocaka? Ako bismo nastavili ovaj postupak, kolika bi bila ukupna visina tornja od 30 kocaka? A kad bi ih bilo beskonačno mnogo? Ima li ovo pitanje smisla?

Postoje li beskonačne sume?

Odgovorit ćemo na pitanja iz uvodnog primjera. Riješite zadatke.

Rješenje uvodnog djela
Pogled odozgo na veliku, srednju i malu kocku koje su složene jedna na drugu.

Pokus

Izrežite kvadrat sa stranicom duljine 1 dm od papira. Prerežite ga po dijagonali. Označite na jednom od dobivenih trokuta njegovu površinu u dm 2 . Prerežite drugi trokut tako da dobijete dva sukladna pravokutna trokuta. Na jednom od njih zapišite njegovu površinu, a drugi ponovno prerežite. Ponavljajte ovaj postupak što duže možete. Složite trokute na koje ste zapisali površinu u kvadrat. Jeste li popunili cijeli kvadrat? Zapišite zbroj površina trokuta. Koji ste broj dobili? Kakav biste broj dobili kad bi broj trokuta bio jako velik? Ako zamislimo da ih je beskonačno mnogo, koliki bi bio zbroj svih površina?

Geometrijski red
Rezanje kvadrata.

Zbroj površina trokuta na slici iznosi: 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 + 1 32 + 1 64 = 63 64 .

Ako je broj trokuta iznimno velik, dio koji nedostaje do kvadrata izrazito je mali pa je zbroj površina približno 1 . Pokažimo da ćemo do istog zaključka doći i ako računamo zbroj površina trokuta.

Zbrajamo članove geometrijskog niza čiji je prvi član a 1 = 1 2 i kvocijent q = 1 2 . Zbroj prvih n članova je S n = a 1 · q n - 1 q - 1 = 1 2 · 1 2 n - 1 1 2 - 1 = 1 - 1 2 n . Kad je n jako velik, broj 1 2 n je blizu 0 pa je S n 1 .

Kad bi trokuta bilo beskonačno mnogo, pokrili bi cijeli kvadrat pa bi zbroj njihovih površina bio 1 .

Želimo li izračunati tu površinu, treba odrediti limes niza S n :

lim n S n = lim n 1 - 1 2 n = 1 - 0 = 1 .

Geometrijski red
Kvadrat razrezan na niz sličnih pravokutnih jednakokračnih trokuta.

Zadatak 1.

Zamislimo da je u uvodnom primjeru beskonačno mnogo kocaka složeno u toranj.

a. Kolika je ukupna visina tornja?

b. Koliki je ukupni obujam kocaka?

a. Neka je a n duljina stranice n -te kocke. Niz je geometrijski, prvi je član a 1 = 1 , a kvocijent je q = 1 2 . Zbroj prvih n članova niza iznosi S n = a 1 q n - 1 q - 1 = 1 2 n - 1 1 2 - 1 = 2 1 - 1 2 n .

Ukupna visina tornja iznosi lim n S n = lim n 2 1 - 1 2 n = 2 1 - 0 = 2 .

b. Neka je V n obujam n -te kocke. Kocke su međusobno slične, a n : a n - 1 = 1 : 2 pa je V n : V n - 1 = 1 : 2 3 = 1 : 8 . Niz je geometrijski, prvi je član V 1 = 1 , a kvocijent je q = 1 8 . Zbroj prvih n članova niza iznosi S n = V 1 q n - 1 q - 1 = 1 8 n - 1 1 8 - 1 = 8 7 1 - 1 8 n .

Ukupni obujam kocaka iznosi lim n S n = lim n 8 7 1 - 1 8 n = 8 7 1 - 0 = 8 7 .


Primjer 1.

Izračunajmo sumu 2 + 2 5 + 2 25 + 2 125 + . . . + 2 5 n + . . .  

Pribrojnici čine geometrijski niz jer svaki sljedeći pribrojnik nastaje tako da prethodni množimo s  1 5 . Prvi je član a 1 = 2 , a kvocijent q = 1 5 . Zbroj prvih n članova niza iznosi:

S n = a 1 q n - 1 q - 1 = 2 · 1 5 n - 1 1 5 - 1 = 5 2 1 - 1 5 n .

Zbroj svih članova niza iznosi:

lim n S n = lim n 5 2 1 - 1 5 n = 5 2 .

Zadatak 2.

Uparite elemente tako da vrijedi znak jednakosti.

5 + 1 + 1 5 + 1 25 + . . . =
4 9  
3 - 2 + 4 3 - 8 9 + 16 27 - . . . =
9 4
2 3 - 1 3 + 1 6 - 1 12 + . . . =
25 4
3 4 + 1 2 + 1 3 + 2 9 + 4 27 + . . . =
9 5
null
null

Ponovimo

U ovoj ste jedinici učili o nizovima. Riješite zadatke vezane uz nizove.

Neprekidno ukamaćivanje

U jedinici 2.6. računali ste kamate složenim kamatnim računom. Prisjetimo se.

U prethodnom se zadatku broj ukamaćivanja povećava pa očekujemo da će iznos nakon pet godina rasti. Mogli bismo očekivati da će iznos biti mnogo veći za veliki broj ukamaćivanja, ali to se nije dogodilo. Vrijednosti su približno 2 266 . Pri tome razlike postoje, ali su male.

Primjer 2.

Zamislimo da je iznos od 1 kn uložen uz stopu od 100  % . Popunite u bilježnici tablicu. Rezultate zapišite na pet decimalnih mjesta.
broj ukamaćivanja k  
iznos C 1  
1
12
365
1 000
10 000
100 000
1 000 000

broj ukamaćivanja k   iznos C 1  
1   2  
12   2.61304  
365   2.71457  
1 000   2.71692  
10 000   2.71815  
100 000   2.71827  
1 000 000   2.71828  

U prethodnom ste primjeru računali vrijednosti izraza 1 + 1 k k za različite prirodne brojeve k . Na osnovi rezultata možemo pretpostaviti da se vrijednosti izraza 1 + 1 k k povećavaju kad se povećava broj k . Također možemo pretpostaviti da ne prelaze neku vrijednost, na primjer, možemo reći da su svi dobiveni brojevi manji od 3. To bi značilo da je niz a k = 1 + 1 k k rastući i omeđen. Obje se tvrdnje mogu dokazati. 

Niz a k = 1 + 1 k k  monoton je i omeđen.

U jedinici 2.5. Limes niza zaključili smo da je konvergentan niz koji je monoton i omeđen, odnosno da omeđen i monoton niz ima limes. Budući da je niz a n = 1 + 1 n n važan u matematici i primjenama, uvodimo oznaku za njegov limes.

Broj e

Limes niza a n = 1 + 1 n n nazivamo e .

lim n = 1 + 1 n n = e

Primjer 3.

Neka je obračun kamata složen s godišnjom kamatnom stopom p i k godišnji broj pripisivanja kamata. Iznos C n  nakon n godina računamo formulom C n = C 0 1 + p k n k . Zamislimo da broj pripisivanja k  postaje jako velik, odnosno da k  teži u beskonačno. Ukamaćivanje pod ovim uvjetima zove se neprekidno ukamaćivanje. Iznos nakon n godina u tom bi slučaju bio lim k C 0 1 + p k n k . Uočite niz čiji je limes koji treba izračunati sličan nizu a k = 1 + 1 k k pa će se u rješenju pojaviti broj e .

Iznos C n nakon n godina uz početni iznos C 0 , godišnju kamatnu stopu p i neprekidno ukamaćivanje računamo formulom C n = C 0 e n p .

Zadatak 3.

Iznos od 2 000 kn uložen je uz kamatnu stopu od 2.5  % . Odredite iznos nakon 5 godina uz neprekidno ukamaćivanje. Usporedite dobiveni iznos s iznosima iz zadatka na početku ovog poglavlja.

C n = C 0 e n p , C 5 = 2 000 · e 5 · 0.025 = 2 000 e 0.125

Računamo džepnim računalom i dobivamo C 5 = 2 266.2969 2 266.30 kn.


Ako je neki niz rastući i ima limes, svi će članovi niza biti manji od limesa ili jednaki njemu. Primijenimo ovaj zaključak na složeno ukamaćivanje uz k godišnjih pripisivanja kamata i neprekidno ukamaćivanje uz istu početnu vrijednost i kamatnu stopu. Možemo zaključiti da će iznosi uz složeno ukamaćivanje uvijek biti manji od iznosa uz neprekidno ukamaćivanje. Tako nam neprekidno ukamaćivanje može poslužiti pri određivanju najvećeg iznosa koji možemo dobiti uz iste početne vrijednosti i kamatnu stopu bez obzira na broj ukamaćivanja. Ovo možemo uočiti na grafovima na slici. Grafovi koji prikazuju jednostavni i složeni kamatni račun nalaze se ispod grafa koji prikazuje neprekidno ukamaćivanje.

Usporedba ukamaćivanja s različitom frekvencijom
Grafovi prikazuju ovisnost iznosa o godinama za jednostavni kamatni račun, složeni kamatni račun s godišnjim i kvartalnim ukamaćivanjem i neprekidno ukamaćivanje.

Kutak za znatiželjne

Koristeći se lim n = 1 + 1 n n = e , dokažite da je lim k C 0 1 + p k n k = C 0 e n p . Kojim ste se svojstvima limesa koristili? Istražite vrijede li ta svojstva.

...i na kraju

Višnja i Marko planiraju podići kredit za školarinu u iznosu od 7 000 eura na rok od 8 godina. Čuli su da banka nudi takve kredite uz godišnju kamatnu stopu od 4.65  % i da se kredit vraća u mjesečnim anuitetima. Zanimalo ih je koliki je iznos anuiteta pa su ga pokušali izračunati.

Višnja je računala ovako:

Posuđujem 7 000 eura na rok od 8 godina. Izračunat ću ukupni iznos otplate i podijeliti ga s brojem mjeseci. Dobit ću iznos koji treba plaćati mjesečno:

C 8 = 7 000 · 1.0465 8 = 10 069.59 eura, 10 069.59 96 = 104.89 eura. Mjesečno ću plaćati 104.89 eura.

Marko je računao ovako:

Posuđujem 7 000 eura na rok od 8 godina. Podijelit ću iznos koji posuđujem s brojem mjeseci. Tom ću iznosu pribrojiti mjesečne kamate i tako dobiti iznos koji treba plaćati mjesečno.

7 000 96 = 72.92 eura, 72.92 · 1 + 0.0465 12 1 = 73.20 .

Budući da su dobili različite vrijednosti, potražili su kreditni kalkulator na internetu i upisali podatke. Kalkulator je izračunao da je mjesečni anuitet 87.46 eura.

Projekt

Istražite kako se računa mjesečni anuitet.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh