x
Učitavanje

2.1 Pojam niza

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Niz galeba u letu
Na slici galebovi lete jedan za drugim.

Promatramo li galebove na slici slijeva nadesno, za svakog od njih možemo reći koji je po redu u tom nizu.

Niz galeba u letu s brojevima
Možemo reći koji je galeb na slici prvi, drugi, treći i tako dalje.

Zadatak 1.

Koji galeb ima uzdignuta krila?

null
null

Praktična vježba

Pronađite fotografije na kojima su neki objekti u nizu.

Definicija niza

U matematici ćemo promatrati nizove realnih brojeva. Niz realnih brojeva dobit ćemo kada neke brojeve poredamo po određenom redu, nanižemo. Za svaki broj  možemo reći koji je po redu u tom nizu, odnosno koji je njegov redni broj.

Primjer 1.

Promotrite niz brojeva: 2 , 7 , 11 , 34 , 12 , 25 , 15 , 19 , 7 . Koji je broj peti po redu? Koji je po redu broj 11 ? A koji je po redu broj 7 ?

Peti je broj 12 , broj 11 je treći, a 7 drugi i deveti.


Pogledajmo kako ćemo preciznije, matematičkim jezikom, definirati niz.

Primjer 2.

Marko je tijekom školske godine deset puta bio ocijenjen iz matematike. Promotrite animaciju.

U Primjeru 2 promatrali smo niz od deset ocjena. Da bismo opisali koja je po redu neka od tih ocjena, trebao nam je skup 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 . Mi ćemo često promatrati beskonačne nizove realnih brojeva. Da bismo opisali koji je po redu neki broj u beskonačnom nizu, trebat će nam skup prirodnih brojeva.

Niz realnih brojeva

Funkciju a : N R zovemo niz realnih brojeva.

Broj a 1 prvi je član niza. Označavamo ga kraće a 1 .

Broj a 2 drugi je član niza. Označavamo ga kraće a 2 .

Broj a n n -ti je član niza. Označavamo ga kraće a n i zovemo opći član niza.

Niz a označavamo a n , n N .

Zadatak 2.

Promotrite niz a neparnih brojeva 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . pa riješite zadatke.

a. a 3 = 5  

null
null

b. Označite točne odgovore.

null
null

Opisno zadani nizovi

Nizove možemo zadati opisom, na primjer niz svih neparnih prirodnih brojeva od najmanjeg prema većima.

Zadatak 3.

Niz a je niz svih prostih brojeva od manjih prema većima. Odredite koji je član niza: 

a. Peti član niza a je
.
null
null
b. a 7 =
.
null
null

Rekurzivno zadani nizovi

Rekrurzivno zadani niz
Na prvoj je slici jedan kružić, na drugoj slici su desno od tog jednog postavljena dva nova pa ih je ukupno tri. Na trećoj slici su desno od ta tri dodana još tri pa ih je ukupno šest. Na četvrtoj slici su desno od tih šest postavljena još četiri nova pa ih je ukupno deset.

Promotrite kružiće na slikama pa riješite zadatke.

U prethodnom smo primjeru znali broj kružića na prvoj slici, a zatim smo broj kružića na nekoj slici računali pomoću broja kružića na prethodnoj slici. Matematičkim simbolima možemo zapisati: zadan je  a 1 i a n = a n - 1 + n . Jasno je da na ovaj način možemo izračunati broj kružića na bilo kojoj slici. Kažemo da je niz zadan rekurzivno.

Rekurzivno zadani niz

Kažemo da je niz a zadan rekurzivno ako je zadano nekoliko prvih članova i pravilo po kojemu se a n računa pomoću nekoliko prethodnih članova niza.

Zanimljivost

Predočavanje brojeva točkicama potječe od Babilonaca, a često su se tim načinom koristili Pitagorejci. Razlikovali su trokutaste, kvadratne, peterokutne i šesterokutne brojeve, a jednim su ih imenom nazivali figurativni brojevi. Trokutasti su brojevi 1 , 3 , 6 , 10 , ... jer se mogu prikazati točkicama raspoređenim u trokut. Kvadratni su brojevi 1 , 4 , 9 , 16 , ... jer se mogu prikazati točkicama raspoređenim u kvadrate. Tvrdnje vezane uz figurativne brojeve dokazivali su crtežima. Jedna od tvrdnji koje se na taj način mogu pokazati jest: Zbroj dvaju uzastopnih trokutastih brojeva je kvadratni broj. Nacrtajte sliku i provjerite.

Zadatak 4.

Niz je zadan rekurzivno: a 1 = 3 , a n = 2 a n - 1 - 1 . Popunite tablicu u bilježnici.

n   1   2   3   4   5   6   7   8   9  
a n  
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a n 3 5 9 17 33 65 129 257 513

Nizovi zadani formulom za opći član

Promotrimo ponovno primjer s kružićima. Kako biste izračunali koliko je kružića na stotoj slici? A na tisućitoj? Je li to jednostavno izračunati? Pronađimo lakši način.

Niz zadan formulom za opći član
Na prvoj slici su dva kružića, na drugoj slici ih je šest složenih u pravokutnik tri puta dva. Pravokutnik se sastoji od dva trokuta s po tri kuglice svaki. Na trećoj ih je dvanaest složenih u pravokutnik četiri puta tri. Pravokutnik se sastoji od dva trokuta s po šest kružića svaki. Na četvrtoj ih je dvadeset, složenih u pravokutnik pet puta četiri koji se sastoji od dva trokuta s po deset kružića svaki.

Zadatak 5.

Odredite broj kružića na prvoj, drugoj, trećoj i četvrtoj slici.

Na prvoj su dva kružića: b 1 = 2 .

Na drugoj ih je šest: b 2 = 3 · 2 = 6 .

Na trećoj ih je dvanaest: b 3 = 4 · 3 = 12 .

Na četvrtoj ih je dvadeset: b 4 = 5 · 4 = 20 .


Zadatak 6.

Ako bismo nastavili crtati kružiće na isti način, koliko bi ih bilo na petoj slici? A na desetoj? Koliko bi ih bilo na stotoj? A na n -toj? Zapišite odgovore matematičkim simbolima.

Na petoj bi bilo trideset kružića: b 5 = 6 · 5 = 30 .

Na desetoj bi ih bilo: b 10 = 11 · 10 = 110 .

Na stotoj bi ih bilo: b 100 = 101 · 100 = 10 100 .

Na n -toj bi ih bilo: b n = n + 1 · n = n 2 + n .


Rekrurzivno zadani niz
Na prvoj je slici jedan kružić, na drugoj slici su desno od tog jednog postavljena dva nova pa ih je ukupno tri. Na trećoj slici su desno od ta tri postavljena još tri nova pa ih je ukupno šest. Na četvrtoj slici su desno od tih šest postavljena još četiri nova pa ih je ukupno deset.

Zadatak 7.

Usporedite nizove a i b koji predstavljaju broj kružića na slikama. Postoji li među njima neka veza? Izrazite a n pomoću b n i pomoću n .

a n = 1 2 b n = n + 1 n 2


U prethodnim smo zadatcima niz odredili pomoću formule za opći član. Ako je zadana formula za opći član i redni broj člana, možemo lako izračunati traženi član. Ako je niz zadan rekurzivno, treba izračunati sve članove do traženog što za članove s velikim rednim brojem može biti zahtjevno.

Zadatak 8.

Neka je a n = n 2 - 10 n . Izračunajte traženi član.

a 5 =  
.
null
null
a 105 =
.
null
null

...i na kraju

Zadatak 9.

Razvrstajte nizove prema načinu na koji su zadani.

a 1 = a 2 = 1 , a n = a n - 1 + a n - 2

Zadani opisno

Zadani rekurzivno

Zadani formulom za opći član

null
null

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh