x
Učitavanje

2.4 Primjena aritmetičkog i geometrijskog niza

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Sladoled
Sladoled u slastičarnici.

Edita je prihvatila posao prodavačice sladoleda. Ponuđena joj je plaća od 50 kuna na dan i 60 lipa za svaki prodani sladoled.

a. Koliko će u jednome danu zaraditi ako proda 230  sladoleda?

b. Koliko je sladoleda prodala u jednome danu ako je zaradila 239 kuna?

Ako Edita proda 1 sladoled, zaradit će 50 + 0.60 kuna, a za svaki sljedeći prodani sladoled još 0.60  kuna, pa zaključujemo da se radi o aritmetičkome nizu čiji je početni član 50 . 60,  a razlika 0.60 kuna.

a. Za 230 prodanih sladoleda Edita će zaraditi  a 230 = 50.60 + 0.60 · 230 - 1 = 188 kuna.

b. Zarada 239 kuna znači 239 = 50.60 + 0.60 · n - 1 , pa slijedi

    n = 239 - 50.60 0.60 + 1 = 315 , odnosno da je Edita taj dan prodala 315 sladoleda.


Aritmetički i geometrijski niz

U prethodnim ste jedinicama upoznali aritmetički i geometrijski niz. Kako ih razlikujemo? Kako ćemo iz podataka u zadatku odrediti o kojem se nizu radi? Pogledajmo.

Zadatak 1.

Zadan je niz s općim članom a n = 5 n - 2 . Odgovorite na pitanja.

Prvi član niza je
.

Drugi član niza je
.

Treći član niza je
.
null
null

Izračunajte:

a 2 - a 1 =
a 3 - a 2 =
.
a 2 a 1 =
.
a 3 a 2 =
.
null
null

Na osnovi prethodnih računa zaključujemo da niz nije

.
null
null

Poredajte korake računanja.

  • 5
  • a n - a n - 1 =
  • 5 n - 2 - 5 n + 5 + 2 =
  • 5 n - 2 - 5 n - 1 - 2 =
null
null
Zaključujemo da je niz
,
njegova je
jednaka
,
a prvi član
.
null
null

Primjer 1.

Promotrimo još jednom formulu za opći član niza iz prethodnog zadatka: a n = 5 n - 2 . Uočavamo da je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna. Zaključili smo da je ovaj niz aritmetički jer je a n - a n - 1 = 5 za sve prirodne brojeve n > 1 . Jesu li aritmetički svi nizovi u kojima je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna? Zapišite neke primjere pa provjerite.

Provjerimo i općenito. Neka je a n = d · n + l . Izračunajte razliku a n - a n - 1 . Što zaključujemo?

a n - a n - 1 = d · n + l - d · n - 1 + l = d i zaključujemo da je niz aritmetički s razlikom d .


Niz a n = d · n + l u kojemu je ovisnost općeg člana o rednom broju linearna aritmetički je niz s razlikom d .

Zadatak 2.

Zadan je niz s općim članom a n = 5 · 2 n . Odgovorite na pitanja.

Prvi član niza je
.

Drugi član niza je
.

Treći član niza je
.
null
null

Izračunajte:

a 2 - a 1 =
,
a 3 - a 2 =
,
a 2 a 1 =
,
a 3 a 2 =
.
null
null

Na osnovi prethodnih računa zaključujemo da niz nije

.
null
null

Poredajte korake računanja.

  • 2
  • 5 · 2 n 5 · 2 n - 1 =
  • a n a n - 1 =
  • 2 n - n - 1 =
null
null
Zaključujemo da je niz
,
njegov je
jednak
,
a prvi član
.
null
null

Primjer 2.

Promotrimo još jednom formulu za opći član niza iz prethodnog zadatka: a n = 5 · 2 n .   Ovisnost općeg člana o rednom broju je eksponencijalna. Zaključili smo da je ovaj niz geometrijski jer je a n a n - 1 = 2 za sve prirodne brojeve n > 1 . Jesu li geometrijski svi nizovi u kojima je ovisnost općeg člana o rednom broju eksponencijalna? Zapišite neke primjere pa provjerite.

Provjerimo i općenito. Neka je a n = C · q n . Izračunajte kvocijent a n a n - 1 . Što zaključujemo?

a n a n - 1 = C · q n C q n - 1 = q n - n - 1 = q

Niz je geometrijski s kvocijentom q .


Zadatak 3.

Za svaki od nizova odredite prvi član te je li niz aritmetički ili geometrijski. Za aritmetičke odredite razliku, za geometrijske kvocijent.

a. Niz a n = 3 · 2 n + 1 je
,
je
,
a prvi član
.
null
null
b. Niz a n = 2 3 + 6 n je
,
je
,
a prvi član
.
null
null

Još nekoliko zadataka

Riješite još nekoliko zadataka s aritmetičkim i geometrijskim nizom.

Modeliranje aritmetičkim i geometrijskim nizom

Primjer 3.

Kada govorimo o modeliranju, obično mislimo na situacije iz stvarnoga života. No modelirati možemo i unutar matematike.

Pogledajmo jedan primjer.

...i na kraju

Osnovni format papira nosi oznaku A uz koju se stavljaju brojevi 0 , 1 , 2 , . .  Početni format A 0 ima dimenzije 841 mm × 1189 mm i površina mu iznosi približno 1 m 2 . Sljedeći format A 1 dobije se tako da se dulja stranica formata A 0 prepolovi, format A 2 dobije se tako da se dulja stranica formata A 1 prepolovi i tako dalje s ostalim formatima.

Proučite što se događa s površinama papira te odredite površinu papira formata A 10 .  

P A n = P A 0 · 1 2 n ,

P A 10 976 mm 2 .


Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh