x
Učitavanje

2.3 Geometrijski niz

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Kvadrati u nizu
Prikazan je niz od 4 slike: 1 kvadrat, 5 kvadrata, 25 kvadrata, 125 kvadrata

Koliko je kvadrata na svakoj slici u nizu? Zapišite dobivene brojeve u obliku niza i opišite kako se mijenjaju zapisani brojevi kvadrata.

Istražimo

Ako nastavimo crtati kvadrate na prikazani način, na sljedećoj će slici biti
kvadrata.
Na slici s rednim brojem 8 bit će
kvadrata.
Uočimo da je broj kvadrata potencija broja
.
null
null

Ako znamo broj kvadrata na slici s rednim brojem n - 1 , odnosno ako je poznat član niza  a n - 1 , tada je član  a n jednak

null
null

Formula za opći član niza brojeva kvadrata je

null
null

Primjer 1.

Promotrimo sljedeće nizove.

a. 2 , 6 , 18 , 54 , . . .

b. - 6 , - 3 , - 1.5 , - 0.75 , . . .

c. 1.2 , - 12 , 120 , - 1 200 , . . .

Popunite sljedeću tablicu u bilježnici.

Niz a 1 a 5 a 10 a 11 a n - 1 a n a n a n - 1
a.
b.
c.
Niz a 1 a 5 a 10 a 11 a n - 1 a n a n a n - 1
a. 2 162 2 · 3 9 2 · 3 10 2 · 3 n - 2 2 · 3 n - 1 3
b. -6 -0.375 - 6 · 0.5 9 - 6 · 0.5 10 - 6 · 0.5 n - 2 - 6 · 0.5 n - 1 0.5
c. 1.2 12 000 1.2 · - 10 9 1.2 · - 10 10 1.2 · - 10 n - 2 1.2 · - 10 n - 1 - 10

Postoji li neka zajednička karakteristika nizova pod a., b., c. i niza kvadrata iz uvodnog primjera?

Zadatak 1.

Počevši od drugog člana niza, svaki se član niza dobije

prethodnog
člana uvijek istim brojem različitim od nule. Stoga je, počevši od drugog člana niza,
svakog člana i člana neposredno ispred njega konstantan.
null
null

Zadatak 2.

Dopunite članovima koji nedostaju tako da omjer svakog člana i člana neposredno ispred njega uvijek bude isti broj.

a. 3 , 21 ,
,
1 029 ,
. . .
null
null
b. - 1 ,
,
- 16 , 64 ,
,
1 024 , . . .
null
c. - 5 ,
,
- 64 5 , - 512 25 , . . .

Pomoć:

Vrijedi a 3 a 2 = a 2 a 1 .

null

Geometrijski niz; količnik geometrijskog niza;kvocijent geometrijskog niza

Za niz a n u kojem je svaki član, počevši od drugog, jednak umnošku prethodnog člana i konstante q 0 kažemo da je geometrijski niz. Pišemo

a n = a n - 1 · q , n N , n > 1 .

Kvocijent svakog člana geometrijskog niza i člana neposredno ispred je konstantan i jednak q . Pišemo

q = a 2 a 1 = a 3 a 2 = . . . = a n a n - 1 , n > 1 .

Za konstantu q kažemo da je količnik ili kvocijent geometrijskog niza.

Zadatak 3.

Provjerite jesu li sljedeći nizovi geometrijski.

a. 2 , 4 , 6 , 8,.. .

Pomoć:

Svaki se sljedeći član dobije dodavanjem broja 2 .

null

b. 4 3 , 2 3 , 1 3 , 1 6 , .. .

Pomoć:

Kvocijent susjednih članova je 1 2 .

null

c. 3 , 3 3 , 3 6 , 1,.. .

Pomoć:

Kvocijent niza je 1 3 6 .

null

Zadatak 4.

Zapišite prvih pet članova geometrijskog niza ako je zadan prvi član i kvocijent.

a.  a 1 = 3 , q = 2  
,
,
,
,
.
null
null
b.  a 1 = - 2 , q = - 0.5  
,
,
,
,
.
null
null
c. a 1 = - 0.25 , q = 4
,
,
,
,
.
null
null

Zašto geometrijski?

Primjer 2.

Promotrimo uzastopne članove geometrijskog niza 2 , 6 , 18 , 54 , 162,.. .

Budući da je kvocijent uzastopnih članova konstantan, vrijedi

18 6 = 6 2 6 2 = 2 · 18 , 54 18 = 18 6 18 2 = 6 · 54 , 162 54 = 54 18 54 2 = 18 · 162 . . . .

Ako to zapišemo s pomoću korijena, 6 = 2 · 18 , 18 = 6 · 54 , 54 = 18 · 162 . . . , uočit ćemo da je broj 6 geometrijska sredina brojeva 2 i 18 , da je broj 18  geometrijska sredina brojeva 6 i 54.. .

Općenito, za uzastopne članove geometrijskog niza vrijedi a n + 1 a n = a n a n - 1 a n 2 = a n - 1 · a n + 1 .

Ako imamo niz s pozitivnim članovima, ovo možemo pisati u obliku a n = a n - 1 · a n + 1 .

Kažemo da je svaki član geometrijskog niza, osim prvog, jednak geometrijskoj sredini susjednih članova.

Kutak za znatiželjne

Pokažite da je svaki član geometrijskog niza s pozitivnim članovima jednak geometrijskoj sredini članova koji su jednako udaljeni od njega:

a n = a n - k · a n + k , 1 k n - 1 , n > 1 .

Zadatak 5.

Brojevi 1 2 x , x + 1 , 2 x + 3  bit će tri uzastopna člana geometrijskog niza ako je x =
.
Tada su članovi danog niza brojevi
,
.

Postupak:

Rješenje se dobije rješavanjem jednadžbe x + 1 2 = 1 2 x · 2 x + 3 .

Opći član geometrijskog niza

Kako izgleda formula za opći član geometrijskog niza? Promotrimo prvih nekoliko članova geometrijskog niza.

a 2 = a 1 · q ,

a 3 = a 2 · q = a 1 · q · q = a 1 q 2 , . . .

Dakle, do trećeg člana niza prvi član niza dva puta smo pomnožili s konstantom q .

Zadatak 6.

Poredajte dane članove geometrijskog niza s kvocijentom  q i prvim članom  a 1 , počevši od prvog člana.

  • a 1 q
  • a 1 q 5
  • a 1 q 3  
  • a 1  
  • a 1 q 4  
  • a 1 q 2  
null
null

Očito se svaki član geometrijskog niza može napisati kao umnožak prvog člana tog niza i potencije njegova kvocijenta. Tako dolazimo do formule za opći član.

Opći član geometrijskog niza

Opći član geometrijskog niza ima oblik a n = a 1 · q n - 1 , n 1 .

Zadatak 7.

a. Ako je a 1 = 9 , q = 2 3 , tada je

null
null

b. Ako je a 1 = - 3 , q = - 2 , tada je a 20 =

null
null

Primjer 3.

U geometrijskom nizu četvrti je član jednak 12 , a šesti je član jednak 3 . Odredimo treći član tog niza.

Vrijedi a 4 = 12 a 1 q 3 = 12 i a 6 = 3 a 1 q 5 = 3 .

Dijeljenjem dobivenih jednadžbi slijedi a 1 q 5 a 1 q 3 = 3 12 .

Odatle je q 2 = 1 4 q = ± 1 2 .

Ako je kvocijent q pozitivan, tada je a 1 = 12 q 3 = 12 1 2 3 = 96 .

Analogno se za negativan q dobije a 1 = - 96 .

Treći član danog niza jednak je ± 96 · ± 1 2 2 = ± 24 .


Zadatak 8.

a. Geometrijski je niz zadan formulom za opći član a n = - 4 · 2 5 n - 1 , n > 1 . Uparite sljedeće oznake s brojevima tako da dobijete prva četiri člana tog niza.

a 1  
- 32 125
a 4  
- 4
a 2  
- 16 25  
a 3  
- 8 5
null
null

b. U geometrijskom je nizu  a 3 = 729 , a 6 = 27 . Koliko je a 9 ?

null
null

c. Za članove geometrijskog niza vrijedi a 6 = 3 2 a 5 , a 18 = 1 000 . Koliko je a 19 ?

null
null

d. U geometrijskom nizu s pozitivnim članovima drugi član je za dva manji od prvog člana, a prvi član je za dva manji od trostrukog trećeg člana. Odredite kvocijent tog niza.

null
null

Zbroj prvih n članova geometrijskog niza

Koliko je ukupno kvadrata u nizu na slici iz uvodnog primjera?

Broj kvadrata čini geometrijski niz kojemu je prvi član jednak 1 , a kvocijent 5 . Dakle, imamo niz 1 , 5 , 5 2 , 5 3 , 5 4 , .. .

Zbroj prvih četiriju članova lako ćemo izračunati:  1 + 5 + 5 2 + 5 3 = 156 .

Koliko je ukupno kvadrata ako se niz sastoji od 100 članova, 1 000 članova, n članova?

Za veliki broj članova nema smisla zbrajati jedan po jedan član, već treba pokušati pronaći formulu za računanje zbroja prvih n  članova geometrijskog niza.

Sljedeći video pomoći će nam da dođemo do formule.

Zadatak 9.

Zašto je bitan uvjet q 1 ? U kojem koraku izvoda se taj uvjet koristi?

Na kraju izvoda se dijeli s izrazom q - 1 pa taj izraz ne smije biti jednak 0 .


Zbroj prvih n članova geometrijskog niza

Zbroj prvih n članova geometrijskog niza kojemu je prvi član a 1 i kvocijent q jednak je

S n = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + . . . + a 1 q n - 1 = a 1 q n - 1 q - 1 , q 1 .

Katkad se formula zapisuje u obliku S n = a 1 1 - q n 1 - q .

Primjer 4.

Odredimo zbroj prvih deset članova geometrijskog niza 1 2 , 1 , 2 , 4 , 8,.. .

S 10 = 1 2 · 2 10 - 1 2 - 1 = 511.5 .  


Zadatak 10.

a. U geometrijskom je nizu a 1 = - 8 , q = - 2 . Tada je zbroj prvih osam članova S 8 =
.
null
null
b. Zbroj geometrijskog niza od 6 članova kojemu je prvi član jednak 0.5 , a drugi - 3 iznosi
.
null
null

Zadatak 11.

Odredite zbroj prvih 10 članova geometrijskog niza kojemu nisu svi članovi pozitivni i za koji vrijedi da je a 1 = 1 , a 3 - a 2 = 6 .

a 1 q 2 - a 1 q = 6

q 2 - q - 6 = 0

q 1 = 3 , q 2 = - 2  – jer niz nije s pozitivnim članovima

S 10 = - 2 10 - 1 - 2 - 1 = 1023 - 3 = - 341


Zadatak 12.

U geometrijskom nizu koji ima 20 članova četvrti član jednak je 40 , a sedmi član 320 . Koje su od sljedećih jednakosti točne?

null
null

Zadatak 13.

a. Zbroj brojeva 1 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 + 1 2 5 + . . . + 1 2 15 iznosi
.
null
null
b. Zbroj brojeva 4 4 + 4 5 + 4 6 + 4 7 + 4 8 + 4 9 + 4 10 iznosi
.
null
null

Zadatak 14.

U igri memory geometrijske nizove određene s prvim članom i kvocijentom uparujete ili s prva 4 člana pojedinog niza ili s pripadajućim općim članom.

...i na kraju

Rast drveta
Na slici je razgranato stablo s puno lišća.

Pomoću nekog geometrijskog niza opišite rast drveta kao na fotografiji. Možete opisati porast broja grana i/ili porast broja listova i napraviti vlastite skice.

Povratak na vrh