x
Učitavanje

2.2 Aritmetički niz

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Šibice u nizu
Slaganje kvadrata od šibica.

Luka slaže šibice u nizove kvadrata kao na slici. Prvo složi jedan kvadrat, onda dva kvadrata u nizu, tri kvadrata u nizu i tako dalje. Koliko će mu komada šibica trebati da složi 10 kvadrata u jednome nizu? Može li neki niz kvadrata složiti od točno 200 komada šibica?

Možda ste uočili da je jedan kvadrat složen od 4 šibice, dva kvadrata od 7 šibica, tri kvadrata od 10 šibica, a za svaki sljedeći kvadrat treba dodati 3 šibice. Tako smo dobili niz brojeva 4 , 7 , 10 , 13 , . . .

Ako nastavimo dalje, na desetom će mjestu biti broj 31 , odnosno za 10 kvadrata potrebna je 31 šibica.

Hoćemo li nizanjem brojeva na ovaj način doći do broja 200 ?


Definicija aritmetičkoga niza

Aritmetički niz

Niz brojeva a n je aritmetički niz ako postoji realni broj d takav da je a n - a n - 1 = d , za n 2 . Broj d   nazivamo razlika ili diferencija.

Drugim riječima, ako nekome početnom broju stalno dodajemo jedan te isti broj, dobivamo aritmetički niz.

Zadatak 1.

Je li dani niz aritmetički niz? Ako jest, odredite razliku.

a. 2 , 5 , 9 , 14 , 20 ,

null
null

b. 27 , 25 , 23 , 21 , ...

null
null

c. 1 3 , 2 3 , 1 , 4 3 , 5 3 , . . .

null
null

d. - 4 , - 3 , - 1 , 2 , . . .

null
null

e. a n = 2 + 5 n  

null
null

Zadatak 2.

Zapišite prvih 6 članova aritmetičkog niza ako je zadan prvi član niza i razlika.

a. a 1 = 3 , d = 2
,
,
,
,
,
.
null
null
b. a 1 = 6 , d = - 3
,
,
,
,
,
.
null
null
c. a 1 = - 25 , d = 4
,
,
,
,
,
.
null
null
d.  a 1 = 5.2 ,   d = 1.6
,
,
,
,
,
.
null
null

Opći član aritmetičkoga niza

Kako ćemo odrediti trideseti član u aritmetičkom nizu? Nije potrebno ispisivati sve brojeve u nizu već se koristiti formulom za opći član niza.

Pogledajmo.

Opći član aritmetičkog niza ima oblik a n = a 1 + n - 1 d , n 1 .

Primjer 1.

Odredimo dvadeseti član aritmetičkoga niza ako je osmi član jednak  37 i razlika jednaka  - 2 .

Iz a 8 = a 1 + 7 d izrazimo a 1 = a 8 - 7 d = 37 - 7 · - 2 = 51 .

Sada je a 20 = a 1 + 19 d = 51 + 19 · - 2 = 13 .

Jesmo li zadatak mogli riješiti drukčije?

Ne moramo nužno odrediti prvi član, mogli smo samo odbrojiti od osmoga do dvadesetoga člana, odnosno dodati 12 puta razliku.

a 20 = a 8 + 12 d = 37 + 12 · - 2 = 13 .


Zadatak 3.

Riješite zadatke.

a. Koji je dvadeset prvi član aritmetičkoga niza, ako je prvi član jednak 15 , a razlika je 4 ?

null
null

b. Koji je sedamnaesti član aritmetičkoga niza ako mu je prvi član 32 , a razlika je - 7 ?

null
null

c. Koliko iznosi a 30 u aritmetičkom nizu ako je a 1 = 2 5 , a d = 1 2 ?

null
null

d. Koliko je  a 19 u aritmetičkom nizu ako je  a 1 = 2.1 ,   d = - 0.3 ?

null
null

Zadatak 4.

a.  Ako je u aritmetičkom nizu a 12 = 17 i d = 4, tada je a 42 =  
.
b. Ako je u aritmetičkom nizu a 8 = - 5 i d = 6, tada je a 21 =  
.
c.  Ako je u aritmetičkom nizu a 4 = 23 i d = - 5, tada je a 19 =  
.
null
null
d.  Ako je u aritmetičkom nizu a 11 = 13.7 i d = 3.1, tada je a 25 =  
.
null
null

Riješimo sada uvodni primjer.

Zadani niz možemo zapisati pomoću općeg člana: a n = 4 + 3 n - 1 .

Za deset kvadrata Luki će biti potrebno a 10 = 4 + 9 · 3 = 31 šibica.

Za drugo pitanje trebamo provjeriti je li broj 200 član zadanoga aritmetičkog niza, to jest može li se broj 200 zapisati u obliku 4 + 3 n - 1 za neki prirodni broj n .

200 = 4 + 3 n - 1 196 = 3 n - 1

Znamo da broj 196 nije višekratnik broja 3 pa zaključujemo da ne postoji niz kvadrata koji se može složiti od točno 200 šibica.

Zašto aritmetički?

Zašto se ovakav niz naziva aritmetičkim?

Prema definiciji aritmetičkoga niza, razlika između svaka dva susjedna člana stalna je, primjerice a n - 1 i a n te a n i a n + 1 , odnosno vrijedi a n + 1 - a n = a n - a n - 1 .

Izrazite iz ove jednakosti a n . Što zaključujete?

2 a n = a n + 1 + a n - 1 , odnosno

a n = a n + 1 + a n - 1 2

Znači, svaki je član aritmetičkog niza, osim prvoga, jednak aritmetičkoj sredini susjednih članova.


Zadatak 5.

Za koje će vrijednosti realnog broja x niz x , x 2 , x 2 + 6 biti aritmetički niz?

null
null

Kutak za znatiželjne

Pogledajte sljedeću sliku.

Aritmetička sredina
Svaki član aritmetičkog niza je aritmetička sredina onih dvaju članova niza koji su jednako udaljeni.

Čemu je jednako a n + 2 + a n - 2 2 ?

A  a n + k + a n - k 2 ?

Što možete općenito zaključiti?

Svaki je član aritmetičkoga niza jednak aritmetičkoj sredini onih dvaju članova koji su od njega jednako "udaljeni".


Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza

Primjer 2.

Aritmetički niz ima 10 članova, prvi je član niza jednak 3 , a razlika među susjednim članovima jednaka je  4 . Koliki je zbroj svih članova niza?

To je jednostavno izračunati. Ispišemo svih deset članova niza: 3 , 7 , 11 , 15 , 19 , 23 , 27 , 31 , 35 i 39 te ih zbrojimo

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = 210 .

Članove aritmetičkoga niza možemo i brže zbrojiti.

Označimo sa S n zbroj prvih n članova niza a 1 , a 1 + d , a 1 + 2 d , . . . , a 1 + n - 1 d .

Zapišimo S n prvo od a 1 do a n , onda u obrnutom redoslijedu pa ih zbrojimo.

S n = a 1 + a 1 + d + a 1 + 2 d + . . . + a 1 + n - 2 d + a 1 + n - 1 d S n = a 1 + n - 1 d + a 1 + n - 2 d + a 1 + n - 3 d + . . . + a 1 + d + a 1

Slijedi,

S n = n · 2 a 1 + n - 1 d 2 = n 2 2 a 1 + n - 1 d .

Budući da je a n = a 1 + n - 1 d, možemo zapisati S n = n 2 a 1 + a n .

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza jednak je S n = n 2 a 1 + a n ako znamo prvi član i n -ti član, odnosno S n = n 2 2 a 1 + n - 1 d ako znamo prvi član i razliku niza.

Zadatak 6.

Riješite prethodni primjer koristeći se formulom za zbroj prvih n članova aritmetičkoga niza.

S 10 = 10 2 2 · 3 + 9 · 4 = 210 .


Zadatak 7.

Uparite odgovarajuće vrijednosti.

a n = 1 + 5 n - 1 , S 15 =
a n = 3 + 7 n , S 10 =
a n = - 4 + 3.8 n - 1 , S 16 =
a n = 1 3 + 2 3 n - 1 , S 27 =
null
null

Primjer 3.

Zbroj svih članova aritmetičkoga niza iznosi 390 , prvi član jednak je 3 , a razlika je 8 . Koliko je članova u tome nizu?

Budući da su nam poznati prvi član i razlika, uvrstimo ih u formulu S n = n 2 2 a 1 + n - 1 d .

390 = n 2 2 · 3 + 8 n - 1

Sredimo jednadžbu.

780 = 6 n + 8 n n - 1

8 n 2 - 2 n - 780 = 0 / : 2

4 n 2 - n - 390 = 0

Rješenja ove kvadratne jednadžbe su n 1 = 10 , n 2 = - 39 4 .

Broj članova niza prirodni je broj, što znači da je rješenje 10 , odnosno zadani aritmetički niz ima 10 članova.

Zadatak 8.

Spojite parove.

a 1 = - 2 , d = 5  
S 27 = 1161  
a 1 = - 2 , d = 1.2  
S 16 = 112
a 1 = 4 , d = 3
S 20 = 86  
a 1 = 1 2 , d = 2 5  
S 15 = 495   
null
null

...i na kraju

Ponovimo definiciju aritmetičkog niza.

Zadatak 9.

  • aritmetički niz
  • Niz brojeva  a n je
  • a n + 1 - a n = d , za n N .
  • razlika ili diferencija.
  • takav da je
  • Broj d nazivamo
  • ako postoji realni broj  d
null
null
Povratak na vrh