x
Učitavanje

2.7 Primjena obrnuto proporcionalnih veličina u svakodnevnom životu

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Promotrite slike. Pokušajte u nekoliko rečenica opisati na koji su način povezane s matematičkim pojmovima koje ste naučili u prethodnim jedinicama.

Već smo vidjeli da u svakodnevnom životu imamo mnogo primjera obrnuto proporcionalnih veličina. Ovdje ćemo još malo uvježbati rješavanje takvih problema. Možete birati način rješavanja koji želite. Pri rješavanju pazite na odnose različitih veličina.

Podsjetnik

Zadatak 1.

Dopunite rečenice.

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto ako vrijedi: koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta druga veličina.  
null
null

Zadatak 2.

Nadopunite rečenicu i odaberite točan odgovor.

  1. Umnožak dviju obrnuto proporcionalnih veličina jest stalan i zove se  obrnute proporcionalnosti.
    null
    null
  2. Koeficijent obrnute proporcionalnosti može značiti :

    null
    null

Zadatak 3.

Kanal će iskopati 6 radnika za 3 dana ili 2 radnika za 9 dana. Koeficijent je obrnute proporcionalnosti 18 .

null
null

Zadatak 4.

Odaberite više odgovora.

Prepoznajte situacije obrnute proporcionalnosti.

null
null

Obrnuta proporcionalnost oko nas

Zadatak 5.

15 učenika pomaže očistiti snijeg oko škole i treba im četiri sata da to obave. Koliko bi dugo 18 učenika čistilo snijeg istim tempom?

null
null

Zadatak 6.

Spojite odgovarajuće parove.

U šumi je 240 posječenih trupaca. Povežite broj kamiona s nosivosti kamiona koji će prevesti te trupce.

5 kamiona
nosivost 80 trupaca
3 kamiona
 nosivost 40 trupaca
4 kamiona
 nosivost 60 trupaca
6 kamiona
 nosivost 48 trupaca

Pomoć:

Nosivost je dopuštena količina tereta koju kamion može prevesti.

Umnožak broja kamiona i njihove nosivosti mora biti 240 .

null

Zadatak 7.

Voćni jogurti pakirani su u kutije po 15 komada. U trgovini su dnevno naručivali po 20 takvih kutija. U međuvremenu u tvornici su promijenili način pakiranja i sada je u jednoj kutiji po 12 voćnih jogurta. Ako u trgovini žele i dalje naručivati isti broj jogurta, koliko će novih kutija naručiti?

Najprije procijenite broj novih kutija, onda riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Naručit će 25 novih kutija voćnog jogurta.


Zadatak 8.

U tvornici namještaja izrađuju police za ormar. Sve daske koje treba rezati za police imaju duljinu 240 cm . Razrežu li daske na duljinu od 60 cm , dobit će 20 polica. Koliko će polica dobiti ako daske razrežu na duljinu od 40 cm ? Koliko će dasaka potrošiti u oba slučaja?

Dobit će 30 polica duljine 40 cm . Potrošit će 5 dasaka.


Zadatak 9.

Izviđači idu na izlet u Nacionalni park Krka.

  1. Kolika je cijena najma autobusa ako od njih 48 svaki plati po 70 kn za prijevoz autobusom?
  2. Šestero ih je odustalo od izleta, ali autobus je već naručen. Koliko će platiti svaki izviđač koji ide na izlet?
  1. Cijena najma autobusa iznosi 3 360 kn .
  2. Svaki izviđač koji ide na izlet platit će 80 kn .

Primjer 1.

Pribor za čišćenje stana

Dvije tvrtke za pospremanje stanova i ureda oglašavaju su u istom oglasnom prostoru. Tvrtka "Čisto" kaže da 4 njihova radnika očiste stan od 50 kvadrata za 5 sati, a tvrtka "Brzo" da 6 njihovih radnika očiste isti takav stan za 4 sata. Ako pretpostavimo da će stan biti jednako čist, koja je tvrtka efikasnija?

Efikasnija je tvrtka "Čisto" jer oni za čišćenje istog stana utroše 20 radnih sati, dok tvrtka "Brzo" utroši 24 radna sata za isti posao.


Zadatak 10.

Poljoprivrednik je kamionom prevezao 3 puta po 4 tone pšenice, a traktorom 5 puta po 3 tone pšenice. Kojim je vozilom prevezao više tereta?

Pomoć:

Kamionom je prevezao 4 · 3 tona, a traktorom 5 · 3 tona pšenice.​

null

Zadatak 11.

Mario vozi autobus brzinom 80 km/h i prijeđe put za 5 sati i 20 minuta. Tomislav vozi automobil brzinom 100 km/h i prijeđe put za 3 sata i 10 minuta. Tko je prešao dulji put?

Pomoć:

5 sati i 20 minuta je 5 1 3 sati, 3 sata i 10 minuta je 3 1 6 sati

null

Zadatak 12.

Za jednim stolom na proslavi tijekom noći, svaki od petorice prijatelja pojeo je po 12 kolačića. Koliko bi svaki prijatelj pojeo kolačića kada bi za istim stolom bila šestorica prijatelja, pri čemu bi svatko od njih pojeo jednak broj kolačića?

Svaki bi prijatelj pojeo deset kolačića.


Površina

Primjer 2.

Terasa s pločicama

Za popločavanje terase treba 80 pločica površine 30 cm 2 ​. Koliko bi trebalo nabaviti pločica površine 25 cm 2 za popločavanje iste terase?

Zadatak možemo riješiti pomoću formule obrnute proporcionalnosti. Koeficijent obrnute proporcionalnosti jest površina terase. Površina terase iznosi 80 · 30 = 2 400 cm 2 . Za istu površinu treba 2 400 : 25 = 96 pločica površine 25 cm 2 .


Zadatak 13.

Spojite parove.

Za popločavanje zida kupaonice treba 100 pločica površine 3 000 cm 2 . Spojite moguće površine pločica s brojem pločica za taj zid.

3 750 cm 2
80 pločica
2 500 cm 2
150 pločica
2 000 cm 2
50 pločica
6 000 cm 2  
120 pločica
null
null

Zadatak 14.

Izračunajte.

Pod terase treba popločiti s 35 pločica kvadratnog oblika duljine 70 cm . Kupe li se pločice manjih dimenzija, za taj će ih pod trebati više. Koeficijent obrnute proporcionalnosti tih dviju veličina jest

Pomoć:

Pažljivo pogledajte odgovore. Uočite kako ima više točnih odgovora ovisno o mjernoj jedinici.

null

Zadatak 15.

Dopunite.

Roditelji kupuju pločice za kuhinju. Uzmu li pločice kvadratnog oblika stranice duljine 50 cm , trebat će im 36 pločica. Mami se više sviđaju manje pločice, također kvadratnog oblika, ali duljine stranice 30 cm .
Takvih će im pločica trebati komada.

Veće pločice koštaju 70 kn po komadu, a manje 30 kn po komadu.
Više će platiti ako kupe pločice.
null
null

Zadatak 16.

Odgovorite.

Pod kupaonice treba popločiti s 50 pločica pravokutnog oblika duljine 20 cm i širine 40 cm . Koliko pločica kvadratnog oblika duljine 25 cm treba za taj pod?

null
null

Zadatak 17.

Pod kupaonice treba popločiti sa 60 pločica kvadratnog oblika duljine stranica 35 cm . Koliko pločica pravokutnog oblika duljine 42 cm i širine 25 cm treba za taj pod?

Najprije procijenite broj novih pločica, onda riješite i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Za taj pod treba 70 pločica pravokutnog oblika duljine 42 cm i širine 25 cm .


Zadatak 18.

Obitelj Ivić ima veliko imanje oko kuće. Iva želi na dijelu imanja pravokutnog oblika površine 4.8 m 2 napraviti mali cvjetnjak. Isprva je zamislila da duljina cvjetnjaka bude 2 m . Kolika bi tada trebala biti širina? Zatim se predomislila i poželjela duljinu 3 m . Što se događa sa širinom ako želi povećati duljinu? Popunite tablicu u kojoj su upisane neke moguće duljine cvjetnjaka u metrima, tako da izračunate pripadnu širinu cvjetnjaka površine 4.8 m 2 . Koliku biste duljinu i širinu cvjetnjaka vi odabrali? Obrazložite svoj odgovor.

Povećaj ili smanji interakciju

Svijet rada

Primjer 3.

Vinograd

20 radnika okopa vinograd radeći 12 dana po 6 sati dnevno. Koliko bi sati na dan radilo tih 20 radnika ako posao treba biti gotov za 9 dana?

20 bi radnika radilo 12 dana po 6 sati dnevno, pitanje je koliko bi sati dnevno radio isti broj radnika. S obzirom na to da je isti broj radnika, taj nam je dio za zadatak nevažan. Ako isti broj radnika radi više sati dnevno, posao će biti gotov za manje dana. Rječ je o obrnutoj proporcionalnosti. Postavimo razmjer:​

12 dana : 9 dana = x sati na dan : 6 sati na dan

12 : 9 = x : 6

9 · x = 12 · 6

9 x = 72

x = 8 .

Tih 20 radnika radilo bi 8 sati dnevno i posao bi bio gotov za  9 dana.


Zadatak 19.

Dopunite rečenicu.

20 radnika, radeći po 7 sati dnevno, postavi rashladne uređaje u novosagrađenu školu za 12 dana. 16 bi radnika taj posao radilo   dana radeći po 7 sati dnevno.

Pomoć:

Olakšajte si rješavanje koristeći se trojnim pravilom:

Trojno pravilo

null

Zadatak 20.

U autolakirerskoj radionici 6 radnika odradi bojenje automobila radeći 3 dana po 4 sata dnevno. Koliko bi sati dnevno radilo 5 radnika ako automobil treba biti gotov za 3 dana?

Pomoć:

4.8 sati = 4 sata i 48 minuta

Postupak:

4.8 = 4 + 0.8
0.8 · 60 = 48 jer 1 sat ima 60 minuta

Zadatak 21.

8 traktora preore njivu radeći 6 dana po 10 sati dnevno. Koliko će traktora koji rade po 10 sati dnevno preorati njivu u 4 dana?

12 traktora koji rade 10 sati dnevno preorat će njivu za 4 dana.


Zadatak 22.

Ivo je na proputovanju Hrvatskom. Vozi li prosječnom brzinom od 80 km/h po 5 sati dnevno, planiranu rutu obići će za 12 dana. Koliko će mu dana trebati ako vozi istom brzinom od 80 km/h , ali 6 sati dnevno?

Najprije procijenite koliko će mu dana trebati ako vozi 6 sati dnevno, zatim riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Vozi li šest sati dnevno, rutu će proći za 10 dana.


Zadatak 23.

Osam radnika obavi posao za 10 dana radeći po 3 sata dnevno. Koliko bi radnika radilo tih deset dana po 4 sata dnevno?

Najprije procijenite broj radnika, zatim riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Po 4 sata dnevno tih bi 10 dana radilo 6 radnika.


Primjer 4.

Jabuke na stablu

Na plantaži jabuka 18 berača pobere jabuke u 24 dana. Nakon 4 dana vlasnik je saznao da će uskoro biti mraz i plantaža treba biti obrana za ukupno 19 dana. Koliko berača treba još zaposliti?

Trojno pravilo

Prva 4 dana na plantaži je 18 berača. Da je 18 berača ostalo do kraja, plantaža bi bila obrana u idućih 20 dana ( 24 dana — 4 dana). Međutim, rok se skratio i plantaža mora biti obrana u idućih 15 dana ( 19 dana — 4 dana). Postavimo sada novi zadatak: 18 bi berača bralo jabuke 20 dana, koliko će berača brati 15 dana? Ovaj ćemo zadatak riješiti pomoću trojnog pravila. Pritom moramo paziti kako ćemo postaviti omjere jer je riječ o obrnutoj proporcionalnosti:

18 berača : x berača = 15 dana : 20 dana

15 · x = 18 · 20

15 x = 360

x = 24 .

Tih 15 dana bit će 24 berača. Prva 4 dana bilo je 18 berača, dakle, treba zaposliti još 6 berača. ​


Zadatak 24.

10 radnica sašije određenu količinu majica za 6 dana. Ako se nakon 2 dana ispostavi da majice treba sašiti za 4 dana, koliko još radnica treba zaposliti?

Pomoć:

10 radnica nakon 2 dana odradilo je dio posla. Ostatak posla 10 radnica napravilo bi za 4 dana. Cijeli posao treba biti gotov za 2 dana (jer su od 4 potrebna dana dva dana već prošla). Dakle, znamo kako bi preostali dio posla 10 radnica napravilo za 4 dana, a zanima nas koliko bi radnica taj isti dio posla obavilo za dva dana. Imajte na umu kako je 10 radnica već zaposleno.

 

Zadatak 25.

Tramvajsku bi prugu popravljalo 15 radnika 7 dana. Nakon 2 dana na popravak pruge došlo je još 10 radnika. Koliko će dana ukupno trajati popravak pruge?

Pomoć:

Nakon 2 dana, 15 radnika popravljalo bi prugu još 5 dana. Budući da je došlo još 10 radnika, prugu popravlja 25 radnika. Zanima nas za koliko bi vremena 25 radnika obavilo isti popravak kao 15 radnika za 5 dana.

null

Zadatak 26.

Vinograd obere 7 berača za 6 dana, ali nakon 2 dana, trojica su se razboljela. Koliko će ukupno dana trajati berba?

Pomoć:

Ostatak berbe nakon 2 dana 7 bi berača obralo za 4 dana. Ostalo je 5 berača. Zanima nas za koliko bi vremena 5 berača obralo isti dio vinograda koji bi 7 berača obralo za 4 dana.

null

Zadatak 27.

18 strojeva može napraviti tonu čokolade za 5 dana, ali nakon 3 dana pokvari se 6 strojeva. Koliko će dana dulje od predviđenog roka trajati proizvodnja te tone čokolade?

Pomoć:

18 strojeva dio čokolade napravilo je za 3 dana. Ostatak čokolade napravili bi također za 3 dana. Zanima nas koliko će dana 12 strojeva raditi istu masu čokolade koju bi 18 strojeva napravilo za 3 dana. Koliko je to dana duže od predviđenih?

null

Zadatak 28.

Predviđeno je da digitalne materijale izrađuje tim od 10 stručnjaka 300 dana. Izdavač je nakon 30 dana zaposlio još 5 stručnjaka. Za koliko će dana materijali biti gotovi ako svi rade s istim učinkom?

Najprije procijenite za koliko će dana materijali biti gotovi, potom riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Materijali će biti gotovi za 210 dana.


Zadatak 29.

Ante bi se trebao voziti automobilom 120 km/h po autocesti 5 sati bez prekida da stigne na vrijeme na seminar u Splitu. Nakon dva sata vožnje, zbog požara pokraj autoceste, stvorila se kolona te je brzinu morao smanjiti na 90 km/h . Koliko će zakasniti na seminar? Koliko je Antino mjesto udaljeno od Splita?

Najprije procijenite koliko će zakasniti, zatim riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Na seminar će zakasniti jedan sat. Antino je mjesto od Splita udaljeno 600 km .


Zadatak 30.

Tim od 8 programera radi program za raspored sati u školama. Trebaju biti gotovi za 50 dana. Koliko će se produžiti posao ako dvoje programera odustane nakon 20 dana?

Posao će se produljiti za 10 dana.


Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Željeznička pruga

Petnaest radnika popravlja željezničku prugu između Lipika i Banove Jaruge radeći 8 dana po 6 sati dnevno. Kad bi na popravku te pruge 10 dana radilo 18 radnika, koliko bi sati dnevno trebali raditi da poprave prugu, pretpostavimo li da je učinkovitost svim radnicima jednaka?

Trojno pravilo

Najprije obračunamo ukupne radne sate u oba slučaja. Tako dobijemo novi zadatak u kojem 15 radnika radi 8 · 6 = 48 sati, a zanima nas koliko bi sati isti posao istom učinkovitosti radilo 18 radnika. Ukupan broj sati u tih 10 dana zapišemo u obliku: 10 · x . Više radnika radit će isti posao manje sati. Riješimo zadatak pomoću trojnog pravila.

15 radnika : 18 radnika = 10 · x radnih sati : 48 radnih sati

15 : 18 = 10 · x : 48

15 : 18 = 10 x : 48

18 · 10 x = 15 · 48

180 x = 720

x = 720 : 180

x = 4 .

18 radnika radilo bi  10 dana po  4 sata dnevno.


Zadatak 31.

18 bi planinara očistilo park prirode radeći 6 dana po 10 sati dnevno. Koliko bi dana čistilo 20 planinara ako rade po 6 sati dnevno?

null
null

Zadatak 32.

Dopunite rečenicu.

Za popločavanje hodnika u školi treba nabaviti 150 ploča meka poda kvadratnog oblika dimenzija 1.2 m × 1.2 m ili 120 ploča tog poda pravokutnog oblika duljine 1.8 m i širine m .
null
null

Zadatak 33.

Pet radnika pročelje hotela izrađuje 6 dana po 4 sata dnevno. Koliko bi dana radila 3 radnika po 8 sati na dan?

3 radnika radila bi 5 dana po 8 sati dnevno.


Zadatak 34.

Za 105 dana, radeći po 8 sati dnevno, 25 znanstvenika može dovršiti jedan projekt. Koliko bi znanstvenika odradilo isti projekt radeći 50 dana po 10 sati dnevno?

Najprije procijenite koliko bi znanstvenika odradilo taj projekt po novim uvjetima rada, zatim riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

42 znanstvenika


...i na kraju

U ovoj jedinici probleme iz svakodnevnog života rješavali ste kao zadatke s obrnuto proporcionalnim veličinama.

Primjerice, naučili ste kako izračunati i usporediti učinkovitost ili zahtjevnost nekog posla, kako popločati neku površinu, kako se snaći u problemima s radnicima, radnim satima, bolovanjima i sličnim situacijama iz svijeta rada i proizvodnje. Vidjeli ste različite zadatke s odnosima brzine, prijeđena puta i utrošena vremena.

Podijelite se u timove, odaberite jednu primjenu obrnuto proporcionalnih veličina u svakodnevnom životu i napravite mali igrokaz na odabranu temu.

Provjerite svoje znanje, a ako niste sigurni kako se rješavaju neki zadaci, ponovo proučite primjere riješene u ovoj jedinici.

Zadatak 35.

Terasu restorana "Mali" treba popločiti s 240 pločica pravokutnog oblika duljine 30 cm i širine 20 cm . Terasu restorana "Veliki" treba popločiti s 200 pločica kvadratnog oblika duljine stranice 25 cm .

  1. Koji restoran ima veću površinu terase?
  2. Vlasnici su platili istu ukupnu cijenu za te pločice. Ako znamo da jedna kvadratna pločica košta 45 kn , koliko košta jedna pravokutna pločica?
  1. Veću površinu terase ima restoran "Mali".
  2. Jedna pravokutna pločica košta 37.50 kn .

Zadatak 36.

Šesnaest pumpi isprazni olimpijski bazen za 2 dana radeći 10 sati dnevno. Koliko bi pumpi trebalo ako se bazen mora isprazniti za dva dana, s tim da pumpe, zbog mogućnosti pregrijavanja, smiju raditi 8 sati dnevno?

20 bi pumpi radilo dva dana po 8 sati dnevno.


Zadatak 37.

Radnici trebaju 50 ploča stiropora kvadratnog oblika duljine stranice 40 cm za fasadu jedne kuće. Na tržištu u tom trenutku nema kvadratnih ploča, pa moraju kupiti pravokutne ploče duljine 50 cm i širine 32 cm . Koliko im takvih ploča treba?

Najprije procijenite broj novih ploča, zatim riješite zadatak i usporedite svoju procjenu s točnim rješenjem.

Pravokutnih ploča tih dimenzija trebaju također 50 .


Zadatak 38.

21 učenik treba raditi na jednom projektu 8 dana. Ali nakon 3 dana šestero je učenika odustalo. Koliko će se dana produljiti rad na projektu da bi se dovršio?

Rad na projektu produljit će se za 2 dana.

Idemo na sljedeću jedinicu

2.8 Primjena proporcionalnih i obrnuto proporcionalnih veličina u svakodnevnom životu