x
Učitavanje

2.6 Obrnuto proporcionalne veličine

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

autobus pun djece koja idu na izlet

U jednoj školi ima ukupno 45 učenika sedmih razreda. Žele ići na izlet i trebaju iznajmiti autobus. Odlučili su se za ponudu u kojoj je dnevni najam autobusa 2 700 kn . Kolika bi bila cijena vožnje po učeniku ako svi idu na izlet? Hoće li se cijena vožnje po učeniku smanjiti ili povećati ako petero djece ne može ići na izlet?

Ako svi učenici idu na izlet, cijenu vožnje izračunat ćemo tako da ukupnu cijenu stavimo u omjer s brojem učenika. Tako ćemo dobiti cijenu vožnje po učeniku, 2 700 : 45 = 60 kn po učeniku. Ako ih petero ne ide, stavljamo u omjer ukupnu cijenu s manjim brojem učenika, 2 700 : 40 = 67.50 . U tom slučaju, cijena će biti 67.50 kn po učeniku. Cijena vožnje povećat će se po učeniku jer se ukupan iznos najma autobusa, koji ostaje isti, dijeli na manji broj učenika.

Obrnuto proporcionalne veličine

Cijena autobusa iznosi 2 700 kn . Ako ide manje učenika, cijena će po učeniku biti veća. Kažemo da su broj učenika i cijena vožnje obrnuto proporcionalne veličine

Primjer 1.

Dobitak na lutriji iznosi 1 000 000 kuna.

  1. Ako postoje dva dobitna listića, koliko će svaki dobitnik dobiti novca?
  2. Kad bi bilo dva puta više dobitnih listića od prvobitna dva listića, kako bi se tada rasporedio dobitak?
  3. A kako bi se rasporedio dobitak da je bilo četverostruko više dobitnih listića od prvobitna dva listića?
  4. Kakve su te veličine? Obrazloži odgovor.
  1. Ako su dva dobitna listića, dobitak će se dijeliti na dva dijela. Svaki će dobiti po 500 000 kn .
  2. Dvostruko više dobitnih listića znači da ih je četiri, tada se dobitak dijeli na četiri jednaka dijela, svaki će dobiti 250 000 kn , znači dvostruko manje. ​
  3. Četverostruko više dobitaka znači četverostruko manji dobitak. Četverostruko više od dva jest osam dobitnih listića, svaki će dobiti po 1 000 000 : 8 = 125 000 kn , što je četverostruko manje od 500 000 kn .
  4. Što je veći broj dobitnih listića, iznos dobitka svakog listića jest manji. Te su veličine obrnuto proporcionalne.

Zadatak 1.

Dovucite riječi na odgovarajuća mjesta.

Manji font slova na jednoj stranici znači

 
teksta na toj stranici.
Ako na gradilište dođe dvostruko više radnika, posao će biti gotov
 
brže.
Vreća hrane za tri puta više pasa u jednom prihvatilištu traje
 
puta kraće .
Pod kupaonice popločan je malim pločicama. Peterostruko većih pločica treba
 
manje.
Deset cijevi napuni olimpijski bazen za tri sata. Ako je otvoreno
 
cijevi, punjenje će trajati duže.

dvostruko
više
peterostruko
manje
tri

null
null

Zadatak 2.

Kakve su veličine u prethodnom zadatku?

Obrazložite odgovor.

Veličine u prethodnom zadatku obrnuto su proporcionalne jer onoliko puta koliko se jedna veličina povećava ili smanjuje druga se veličina toliko puta smanjuje ili povećava.


Zadatak 3.

Ako pet sladoleda platite 30 kuna, koliko ćete platiti 8 sladoleda?

Kakve su ovo veličine?  

Osam sladoleda platit ćemo 48 kn . To su proporcionalne veličine.


Prisjetimo se kada su dvije veličine proporcionalne.  

Za dvije veličine kažemo da su proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta povećati i druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta smanjiti i druga veličina.

Možete li zaključiti kako biste prepoznali dvije veličine koje su obrnuto proporcionalne?

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta smanjiti druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta povećati druga veličina.

Za dvije veličine kažemo da su obrnuto proporcionalne ako vrijedi: Koliko se puta poveća jedna veličina toliko će se puta smanjiti druga veličina, odnosno koliko se puta smanji jedna veličina toliko će se puta povećati druga veličina.

Primjer 2.

Izviđači trebaju donijeti 10 malih cjepanica do svog logora.

  1. Ako ih se više prijavi za taj zadatak, hoće li svaki izviđač nositi više ili manje cjepanica?
  2. Ako ih se manje prijavi za taj zadatak, hoće li svaki izviđač nositi manje ili više cjepanica do logora?
  3. Je li broj izviđača proporcionalan ili obrnuto proporcionalan količini cjepanica koje će nositi?
  1. Ako se više izviđača prijavi, svaki će nositi manji broj cjepanica. Ako broj izviđača nije djelitelj broja cjepanica, pojedini će izviđači nositi manje od ostalih.
  2. Ako se manje izviđača dobrovoljno javi za nošenje cjepanica do logora, svaki će nositi više cjepanica.
  3. Broj izviđača i količina cjepanica koje treba nositi obrnuto su proporcionalne veličine.

Zadatak 4.

Dopunite rečenice tako da odaberete pravu riječ.

Više mlijeka platili bismo kuna.

Više radnika radilo bi isti posao vremena.
Manjom brzinom prešli bismo kilometara u isto vrijeme.
Manjom brzinom trebalo bi nam   vremena za neki put.

null
null

Kada određujemo jesu li neke veličine proporcionalne ili obrnuto proporcionalne, moramo paziti na odnose među tim veličinama.

Zadatak 5.

U nekim rečenicama veličine su proporcionalne, a u nekim su obrnuto proporcionalne.

Razvrstajte proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine.

Broj radnika i plaća ako je predviđena ukupna svota za odrađeni posao.

Proporcionalne veličine

Obrnuto proporcionalne veličine

null
null

Zadatak 6.

Označite koje su veličine obrnuto proporcionalne veličine, a koje nisu.

  1. Broj istovrsnih strojeva u nekoj tvornici i količina proizvoda proizvedenih tim strojevima.

    null
    null
  2. Broj traktora na njivi i vrijeme potrebno da se njiva preore.

    null
    null
  3. Broj radnika koji kopaju jedan kanal i vrijeme potrebno da se kanal iskopa.

    null
    null
  4. Brzina aviona i broj prijeđenih km u određenom vremenu.

    null
    null
  5. Težina nekog čovjeka i broj njegovih cipela.

    null
    null

Zadatak 7.

Jesu li sljedeće izjave točne?

  1. Ako se vozite većom brzinom, trebat će vam manje vremena za isti put.

    null
    null
  2. Što više divljači dođe na hranilište, dulje će trajati zalihe hrane.

    null
    null
  3. Više radnika odradit će isti posao za manje dana.

    null
    null
  4. Više otvorenih cijevi napunit će sporije neki bazen.  

    null
    null

Zanimljivost

Znak ograničenja brzine

Vozimo li većom brzinom, prijeći ćemo isti put u kraćem vremenu, ali pritom treba paziti na ograničenje brzine i prometne propise, te na sigurnost vozača, putnika i ostalih sudionika u prometu. Nije uvijek cilj doći nekamo što prije, najvažnije je voziti sigurno poštujući prometna pravila i tako da se ne ugrozi ničiji život. Više o sigurnosti u prometu možete pogledati na stranicama Hrvatskog autokluba - Sigurnost u prometu.

Koeficijent obrnute proporcionalnosti

Primjer 3.

Tržnica

Na tržnici se prodaje razno voće. Mama je sa sobom povela Karla. Primijetio je da mama na voće namjerava potrošiti 50 kn i da za 50 kn može kupiti manju količinu voća po višoj cijeni ili veću količinu voća po nižoj cijeni za kilogram. Karlo je sjeo na klupu, pogledao cijene i nacrtao tablicu. Što je Karlo primijetio ispunjavajući ovu tablicu?

Svaki je put trebalo pomnožiti cijenu jednog kilograma voća s količinom voća (u kg ), da bi se dobilo uvijek isto rješenje, 50 kn .

Za veću cijenu voća po kg za isti iznos dobijemo manju količinu voća, a za manju cijenu jednog kilograma voća za isti iznos dobijemo veću količinu voća.

Ovdje ne promatramo kvalitetu ili vrstu voća, samo odnos cijene i količine. Te su veličine obrnuto proporcionalne.

Umnožak ovih obrnuto proporcionalnih veličina iznosi 50 . Broj 50 nazivamo koeficijent obrnute proporcionalnosti ovih veličina. Broj 50 u ovom primjeru znači količinu novca koju želimo potrošiti na voće.


Umnožak dviju obrnuto proporcionalnih veličina jest stalan i taj umnožak nazivamo koeficijent obrnute proporcionalnosti.

Ako dvije obrnuto proporcionalne veličine označimo s x i y , tada vrijedi x · y = k , pri čemu je k koeficijent obrnute proporcionalnosti tih veličina.

Zadatak 8.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje ako 5 radnika može odraditi neki posao za 6 dana.

Značenje koeficijenta ukupan je broj dana potrebnih da jedan radnik obavi posao, a koeficijent dobijemo tako da pomnožimo broj radnika s brojem dana, 5 · 6 = 30 .


Zadatak 9.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje ako za prijevoz kamena iz kamenoloma treba 10 kamiona nosivosti 8 tona.

Značenje koeficijenta jest ukupna količina kamena, u tonama, koju treba prevesti, a koeficijent dobijemo tako da pomnožimo broj kamiona s nosivosti kamiona, 10 · 8 = 80 .  


Zanimljivost

Dvije sličice, na svakoj ista hrpa kamenja, na prvoj slici jedan veliki kamion, na drugoj slici tri mala kamiona

Nosivost kamiona dopuštena je količina tereta kojom se kamion može opteretiti.

Primjer 4.

Odredimo koeficijent obrnute proporcionalnosti i njegovo značenje iz tablice ako znamo da su veličine obrnuto proporcionalne.

Veličina
Broj grupa učenika nekog razreda x   2 3 4 6
Broj učenika u grupi y   12 8
6
4
Veličina
Broj grupa učenika nekog razreda x  
2 3 4 6
Broj učenika u grupi y   12 8 6 4
x · y   24 24 24 24

k = 24

Koeficijent dobijemo tako da bilo koji x pomnožimo s pripadnim y ako znamo da su broj grupa i broj učenika obrnuto proporcionalne veličine. Značenje tog koeficijenta jest ukupan broj učenika u razredu.


Zadatak 10.

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti iz tablice.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 11.

Jesu li veličine x i y iz tablice obrnuto proporcionalne?

Povećaj ili smanji interakciju

Veličine nisu obrnuto proporcionalne jer u trećem stupcu umnožak veličina x i y nije 13.5 kao u ostalim stupcima.  


Računanje obrnuto proporcionalnih veličina

Zadatke s obrnuto proporcionalnim veličinama možemo rješavati koristeći se formulom obrnute proporcionalnosti ili pomoću razmjera (proporcije).

Primjer 5.

Vlak vozi brzinom od 140 km/h i prijeđe udaljenost između dvaju gradova za 3 sata. Koliko bi mu vremena trebalo da prijeđe isti put ako smanji brzinu na 105 km/h ?

Detaljno rješenje primjera možete pogledati u videosnimci "Koliko dugo vozi vlak?".

Vlak bi na toj relaciji vozio 4 sata brzinom 105 km/h .


Zadatak 12.

Je li točna izjava?

Zalihe hrane za srne u malom zoološkom vrtu pokraj lovačkog doma dovoljne su za prehranu 10 srna u 24 dana. 16 srna bi se tom zalihom hranilo 15 dana.

Pomoć:

10 · 24 = 240 i 16 · 15 = 240

null

Zadatak 13.

Upišite točno rješenje.

Bazen se napuni za 12 sati ako ga punimo sa 6 cijevi. Koliko bi trajalo punjenje bazena ako je otvoreno 8 cijevi? Punjenje bi trajalo   sati.
null
null

Primjer 6.

Cvjetnjak

Zadatke možemo rješavati i pomoću razmjera.

Za uređenje cvjetnjaka na glavnom trgu jednoga grada 6 radnica treba raditi 15 dana. Cvjetnjak mora biti uređen za 10 dana. Koliko radnica treba raditi da posao bude završen u zadanom roku?

Obrnuto proporcionalne veličine

Rješavamo li zadatak pomoću razmjera, moramo paziti na vrstu i redoslijed veličina koje stavljamo u razmjer. Najprije označimo zadane veličine.

S x označimo nepoznati broj radnica.

Ispišimo zatim zadane podatke i podatak koji želimo izračunati u dva stupca, u prvi zapišimo broj radnica, a u drugi broj dana potrebnih za uređenje cvjetnjaka.

Kod obrnute proporcionalnosti iz smanjenja jedne veličine slijedi povećanje druge veličine, znači želimo li smanjiti broj dana, toliko puta moramo povećati broj radnica.

Da bismo si olakšali, podatke možemo zapisati na način prikazan slikom.

Prateći "obrnuti" redoslijed veličina u omjerima, ili „strelice“, dobijemo proporciju ili razmjer obrnute proporcionalnosti.

Uvrstimo veličine u dobiveni razmjer i riješimo ga.

6 : x = 10 : 15

10 · x = 6 · 15

10 · x = 90

x = 90 : 10

x = 9  

Posao treba raditi 9 radnica.  


Način rješavanja zadataka s obrnuto proporcionalnim veličinama

Zadatke s obrnuto proporcionalnim veličinama možemo rješavati na dva načina, pomoću formule ili pomoću razmjera.

Uvježbajmo

Zadatak 14.

Dopunite i odgovorite.

  1. Umjesto 10 boca od 1.5 litre vode, možemo kupiti boce vode po 5 litara.
    null
    null
  2. Ako 15 radnika tramvajsku prugu popravlja 5 dana, 25 radnika popravljalo bi istu prugu  dana.
    null
    null
  3. Zalihe hrane u ergeli s 28 konja traju 6 dana. Ako su u ergeli 42 konja, te zalihe bi trajale 4 dana.

    null
    null
  4. Dva studenta očiste parkiralište od snijega za 6 sati. Četiri studenta očistili bi ga za 4 sata.

    null
    null

Zadatak 15.

Autobus vozi brzinom 81 km/h i prijeđe predviđeni put za 10 sati. Koliko bi mu sati trebalo da prijeđe taj put ako ubrza na 90 km/h ?

Brzinom od 90 km/h trebalo bi mu 9 sati.


Zadatak 16.

Razred je podijeljen u 4 skupine po 6 učenika. Koliko bi učenika bilo u skupini ako treba biti 8 skupina?

Ako treba biti 8 skupina, u svakoj bi bilo 3 učenika.


Zadatak 17.

18 soboslikara oboji zidove škole za 12 dana, koliko bi dana radila 24 soboslikara?  

24 soboslikara radila bi 9 dana.


Zadatak 18.

Mama je ispekla određen broj kolača za Tinin rođendan. Ako na rođendan dođe petnaestero djece, svako će dijete dobiti po 4 kolača, a ako ih dođe dvanaestero, koliko će komada kolača svako dijete dobiti?

Ako ih dođe dvanaestero, svaki će dobiti po 5 komada kolača.


Zadatak 19.

Za prijevoz posječenih trupaca iz šume za tvornicu namještaja potreban je traktor. Traktor u čiju prikolicu stane 24 trupca treba po trupce doći pet puta. Koliko bi puta po te trupce trebao doći traktor u čiju prikolicu stane 30 trupaca?

Traktor u čiju prikolicu stane 30 trupaca trebao bi po trupce doći 4 puta .


Kutak za znatiželjne

Površina pravokutnika iznosi 6 cm 2 . Izračunajmo moguće duljine stranica tog pravokutnika ako znamo da su duljine tih stranica prirodni brojevi.

Pravokutnici istih površina, a različitih duljina stranica

Formula za površinu pravokutnika jest ​ P = a · b .

U našem slučaju za duljine stranica pravokutnika vrijedi a · b = 6 . Kada povećamo duljinu stranice a , smanjit će se duljina stranice b , kako bi površina ostala ista.

To znači da su veličine a i b obrnuto proporcionalne s koeficijentom 6 . Još znamo i da su a , b N .

Imamo 4 moguća rješenja.

Duljine stranica pravokutnika površine 6 cm 2 mogu biti: a = 1 cm i b = 6 cm , a = 2 cm i b = 3 cm , a = 3 cm i b = 2 cm te a = 6 cm i b = 1 cm .


Preglednije, rješenje možemo prikazati i pomoću tablice.  

U tablici su a i b cjelobrojne duljine stranica pravokutnika površine 6 cm 2 .

Stranice pravokutnika površine P = 6 cm 2
a 1 cm 2 cm 3 cm 6 cm
b 6 cm 3 cm 2 cm 1 cm

Iz tablice se lijepo vidi da su veličine a i b obrnuto proporcionalne s koeficijentom 6 .


Zadatak 20.

Popunite tablicu ako znate da su veličine a i b duljine stranica pravokutnika izražene u cm , a njegova je površina 30 cm 2 .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 21.

Popunite tablicu ako znate da su veličine a i b duljine stranica pravokutnog trokuta izražene u cm , a njegova je površina 18 cm 2 .

Povećaj ili smanji interakciju

...i na kraju

Naučili ste koje su veličine obrnuto proporcionalne i kako ih prepoznati. U svakodnevnom životu njima se koristimo u raznim situacijama, ovdje smo obradili neke od njih, malo jednostavnije, u idućoj će jedinici  još biti riječi o tome. Važno je uvidjeti da možemo rješavati probleme obrnute proporcionalnosti na tri načina: pomoću koeficijenta (formule), pomoću razmjera ili logički, prateći odnose među veličinama. Ako pomnije proučite ove načine, uočit ćete poveznicu među njima, a to je umnožak dviju veličina koji uvijek mora biti isti, za sve odgovarajuće parove veličina jednog zadatka. Taj je umnožak koeficijent obrnute proporcionalnosti. Koeficijent obrnute proporcionalnosti može značiti duljinu puta, ukupnu količinu tereta, ukupan broj radnih sati, površinu, ukupan broj učenika, ukupnu količinu hrane.

Pokušajte sami osmisliti problem iz svakodnevnog života koji bi se riješio kao zadatak s obrnuto proporcionalnim veličinama. Provjerite je li taj problem obrađen u idućoj jedinici.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Odaberite rečenice u kojima su obrnuto proporcionalne veličine.

null
null
2

Dopunite rečenice riječima manje ili više.

Iz iste posude možemo izrezati manjih kolača.
Razred možemo podijeliti na većih grupa. Većih pločica za isti pod treba .
Pizzu možemo razrezati na  manjih komada.

null
null
3
Dopunite rečenicu: Ako na rođendanu bude osmero djece, svako će dijete dobiti po tri kriške pizze. Ukupno ima kriški pizze.
Ako bude šestero djece, svako će dijete dobiti po   kriške.  
null
null
4

Jedna farma krava ima 3 istovrsna stroja, koji prerade dnevnu količinu mlijeka za 10 sati. Ako je dnevna količina mlijeka uvijek ista, s 5 strojeva prerada bi trajala 5 sati.

null
null
5

Odredite koeficijent obrnute proporcionalnosti i provjerite tvrdnju:

Ako biciklist na biciklijadi vozi brzinom 18 km/h , prijeći će zadanu rutu za 4 sata, a ako vozi 20 km/h , istu će rutu prijeći za 3 sata i 36 minuta.

Pomoć:

Najprije treba 3 sata i 36 minuta pretvoriti u 3.6 sati, zatim treba provjeriti tvrdnju pomoću umnoška dviju veličina 18 · 4 = 72 , 20 · 3.6 = 72 .

null
6

Pomoću razmjera riješite i odaberite točan odgovor:

Bazen se napuni za 3.6 sati pomoću 7 pumpi. Koliko bi sati taj bazen punilo 9 pumpi?

null
7

Dopunite rečenice dovlačenjem točnih dijelova na odgovarajuća mjesta:
Biciklist vozi 15 km/h i stigne na odredište za 8 sati.
Koeficijent obrnute proporcionalnosti iznosi

 
i znači
 
.
Na radionici su 3 grupe po 10 učenika.
Koeficijent obrnute proporcionalnosti iznosi
 
i znači
 
.
Dječju sobu oboje 2 soboslikara za 10 sati.
Koeficijent obrnute proporcionalnosti iznosi
 
i znači
 
.

  120
20
 ukupan prijeđeni put
ukupan broj sati bojenja sobe.
30
ukupan broj učenika na radionici.

Pomoć:

Da biste izračunali koeficijent obrnute proporcionalnosti, morate pomnožiti dvije odgovarajuće veličine.

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

2.7 Primjena obrnuto proporcionalnih veličina u svakodnevnom životu