x
Učitavanje

3.1 Višekratnik i djelitelj

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Tibor je odlučio prestati piti sok uz ručak. Umjesto toga pit će vodu, a 5   kn , koliko je plaćao sok uz ručak, svakog će dana stavljati u kasicu.

a) Koliko će Tibor uštedjeti za 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10  dana?

b) Koliko će Tibor uštedjeti za 58  dana?

c) Koliko će Tibor uštedjeti za n dana ( n N )?

a) Tibor će uštedjeti redom 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50   kn .

b) Za 58  dana Tibor će uštedjeti 58 · 5 = 290   kn .

c) Za n dana Tibor će uštedjeti  5 · n   kn .


Višekratnici

Brojeve iz prethodnog zadatka, 5 , 10 , 15 , 20 , 25 , 30 , 35 , 40 , 45 , 50 ... nazivamo višekratnicima broja 5 .

Višekratnik

Višekratnik nekoga prirodnog broja a   je umnožak toga prirodnog broja s bilo kojim prirodnim brojem n  .

n · a ,   n N  

Zadatak 1.

Poveži broj i njegovih prvih nekoliko višekratnika.

višekratnici broja 4
4 , 8 , 12 , 16 , 20 , 24 , 28 , 32 , 36 , 40 , 44 , 48 ...
višekratnici broja 9
7 , 14 ,   21 , 28 , 35 , 42 , 49 , 56 , 63 , 70 ...
višekratnici broja 7
2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , 20 , 22 , 24 ...
višekratnici broja 2
9 , 18 , 27 , 36 , 45 , 54 , 63 , 72 , 81 , 90 ...
null
null

Zadatak 2.

  1. Prouči prvih deset višekratnika brojeva iz prethodnog zadatka te odgovori na pitanja.

    Najmanji višekratnik svakog broja je sam taj broj.

    null
    null
  2. Svaki broj ima beskonačno mnogo višekratnika.

    null
    null
  3. Nula može biti višekratnik prirodnog broja.

    null

    Postupak:

    Višekratnik broja a   je broj oblika n · a ,   n N . Ne postoji niti jedan prirodan broj koji pomnožen s brojem a daje  0  te zaključujemo da nula ne može biti višekratnik prirodnog broja.

  4. Neka je A= x : x   je   višekratnik   broja   1 . Tada vrijedi A = N .

    null
  5. Neka je B = x : x   je   višekratnik   broja   2 i C = x : x   je   parni   broj . Tada vrijedi B = C .

    null
    null

Zadatak 3.

Zadatak 4.

Lana je na godišnjem odmoru i kupuje magnetiće za svoje prijatelje. Cijena jednog magnetića je 15 kn. Prodavačica joj je htjela naplatiti 107  kn. Lana je odmah znala da je prodavačica pogriješila. Kako?

Broj 107  nije višekratnik broja 15,  zato je Lana znala da se dogodila pogreška.


Kutak za znatiželjne

Djelitelji

Primjer 1.

Učiteljica planira s učenicima koristiti geoploču te razmišlja koliko geoploča treba nabaviti. Svaka skupina koristit će se jednom geopločom. Ako su u razredu 24  učenika, u koliko skupina može podijeliti učenike tako da ih u svakoj skupini bude jednak broj? Koliko će geoploča trebati nabaviti? Koliko će učenika biti u svakoj skupini?

Geoploča
Geoploča

Broj 24  želimo napisati u obliku umnoška na sve načine. 

24 = 1 · 24 = 2 · 12 = 3 · 8 = 4 · 6

Prikažimo moguća rješenja tablično.

Broj skupina = broj geoploča
Broj učenika u skupini
1 24
2 12
3 8
4 6
6 4
8 3
12 2
24 1

Učiteljica može učenike iz razreda podijeliti u 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12  ili 24  skupina s jednakim brojem članova te nabaviti 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12  ili 24 geoploče. Broj učenika u pojedinoj skupini tada je redom 24 , 12 , 8 , 6 , 4 , 3 , 2  ili 1 .


Brojevi 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12  i 24  dijele broj 24  bez ostatka. Ti su brojevi djelitelji broja 24 .

Također, kažemo da je broj 24  djeljiv brojevima 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12  i 24 .

Djelitelj

Djelitelj nekoga prirodnog broja n   je broj koji dijeli broj n   bez ostatka.

Zadatak 5.

Poveži broj i njegove djelitelje.

djelitelji broja 12
1 , 3 , 5 , 15
djelitelji broja 18
1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12
djelitelji broja 15
1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18
djelitelji broja 4
1 , 2 , 4
null
null

Zadatak 6.

  1. Prouči djelitelje brojeva iz prethodnog zadatka te odgovori na pitanja.

    Najmanji djelitelj svakog broja je broj 1 .

    null
    null
  2. Najveći djelitelj svakog broja je sam taj broj.

    null
    null
  3. Broj ima beskonačno mnogo djelitelja.

    null
    null
  4. Ostatak može biti veći od djelitelja. 

    null
  5. Broj 0  djelitelj je svakoga prirodnog broja.

    null

    Postupak:

    Prisjeti se. S nulom se ne dijeli.

  6. Je li broj 17  djelitelj broja 2   244 ?

    null

    Postupak:

    2   244 ÷ 17 = 132

    Broj 17  je djelitelj broja 2   244  jer dijeli taj broj bez ostatka.

Paprenjaci
Pečeni paprenjaci različitih oblika

Zadatak 7.

Katarina je diplomirala i organizira proslavu za svoju obitelj i prijatelje. Za tu je prigodu ispekla paprenjake. Ima ih više od 100 , a manje od 120 . Izračunala je da se broj paprenjaka može podijeliti na sedam stolova tako da ih na svakom stolu bude jednak broj. Koliko je paprenjaka ispekla Katarina?

Broj paprenjaka je višekratnik broja 7 . Podijelimo li broj 100  sa 7,  dobit ćemo količnik 14  i ostatak 2 . Prvi broj veći od 100  koji je djeljiv brojem 7  jednak je 100 - 2 + 7 = 105 . Sljedeći višekratnici broja 7 , manji od 120,  su brojevi 112  i 119 . Dakle, Katarina je ispekla 105 , 112  ili 119  paprenjaka.  


Zadatak 8.

Može li presjek dvaju skupova djelitelja prirodnih brojeva biti prazan skup?

Ne. Broj 1  je djelitelj svakog broja te je nužno član presjeka dvaju skupova djelitelja prirodnih brojeva. Iz toga zaključujemo da presjek ne može biti prazan skup.


...i na kraju

Ako želiš, istraži savršene brojeve i izradi plakat o njima.

Također, određivanje djelitelja i višekratnika možeš dodatno uvježbati s pomoću sljedećeg apleta.

Povratak na vrh