x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    U ovoj smo cjelini upoznali iracionalne brojeve te skup racionalnih brojeva proširili na skup realnih brojeva. U ovoj ćete bojalici određivati pripadnost broja odgovarajućem skupu.

    Promotrite brojeve u poljima te polja obojite prema uputama. Za svako polje odaberite odgovarajuću boju i obojite to polje prema sljedećim uputama:

    Ako broj:

    pripada skupu N polje obojite crno

    pripada skupu N 0 , ali ne i N polje obojite žuto

    broj pripada skupu Z - polje obojite smeđe

    broj pripada skupu Q + , ali ne i N – polje obojite crveno

    broj pripada skupu Q - , ali ne i Z – polje obojite svijetloplavo

    broj pripada skupu I – polje obojite tamnoplavo.

    Ako ste uočili da ste neko polje obojili neodgovarajućom bojom, boju možete obrisati izborom polja označeno križićem.

    Slika prikazuje rješenje bojanke, crveni auto s crnim kotačima.

    Zanimljivost

    Na temelju dijeljenja brojnika razlomka njegovim nazivnikom, s obzirom na decimalni zapis koji se tim postupkom dobiva, razlomke je moguće razvrstati u tri skupine.

    U prvoj skupini su brojevi kod kojih se pri dijeljenju brojnika nazivnikom kao rezultat (decimalni zapis) dobiva cijeli broj, a ostatak pri dijeljenju jednak je 0 . Takvi racionalni brojevi su CIJELI BROJEVI.

    U drugoj skupini su brojevi kod kojih se pri dijeljenju brojnika nazivnikom kao rezultat (decimalni zapis) dobiva decimalni broj, a ostatak pri dijeljenju jednak je 0 . Takvi racionalni brojevi su DECIMALNI BROJEVI.

    U trećoj skupini su brojevi kod kojih dijeljenje brojnika nazivnikom nikad ne prestaje, odnosno brojeve kod kojih se pri dijeljenju brojnika nazivnikom određeni ostatci ponavljaju te se nikad ne dolazi do ostatka 0 . Rezultat dijeljenja je beskonačni decimalni zapis, a ostatci pri dijeljenju se ponavljaju. Takvi racionalni brojevi su brojevi s BESKONAČNIM DECIMALNIM ZAPISOM.  

    Podsjetimo se kao određujemo vrstu decimalnog zapisa razlomka.

    Potpuno skraćen razlomak ima konačan decimalni zapis ako se u rastavu nazivnika na proste faktore pojavljuju samo brojevi 2 i/ili 5 .

    Potpuno skraćen razlomak ima beskonačan čisto periodičan decimalni zapis ako se u rastavu nazivnika na proste faktore pojavljuju samo prosti brojevi različiti od 2 i 5 .

    Potpuno skraćen razlomak ima beskonačan mješovito periodičan decimalni zapis ako se u rastavu nazivnika na proste faktore uz broj 2 i/ili 5 pojavljuje još neki prosti broj različit od 2 i 5 .

    Primjer 1.

    Koristeći se navedenim pravilima, bez dijeljenja brojnika nazivnikom odredimo vrstu decimalnog zapisa razlomaka. Točnost rješenja možete provjeriti dijeljenjem i s pomoću džepnih računala.

    1. 5 9
    2. 3 8
    3. 7 6
    4. 2 21
    5. 13 25
    6. 10 33
    7. 8 15
    8. 23 200
    1. Budući da je 9 = 3 · 3 , zadani razlomak ima beskonačan čisto periodičan decimalni zapis.
    2. Budući da je 8 = 2 · 2 · 2 , zadani razlomak ima konačan decimalan zapis.
    3. Budući da je 6 = 2 · 3 , zadani razlomak ima beskonačan mješovito periodičan decimalni zapis.
    4. Budući da je 21 = 3 · 7 , zadani razlomak ima beskonačan čisto periodičan decimalni zapis.
    5. Budući da je 25 = 5 · , zadani razlomak ima konačan decimalni zapis.
    6. Budući da je 33 = 3 · 11 , zadani razlomak ima beskonačan čisto periodičan decimalni zapis.
    7. Budući da je 15 = 5 · 3 , zadani razlomak ima beskonačan mješovito periodičan decimalni zapis.
    8. Budući da je 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 , zadani razlomak ima konačan decimalni zapis.

    Zadatak 1.

    Razvrstajte racionalne brojeve s obzirom na njihov decimalni zapis.

    55 7   ​

    Konačni decimalni zapis

    Mješoviti periodični decimalni zapis

    Čisti periodični decimalni zapis

    null
    null

    Teodor iz Cirene, Pitagorin učenik, i sam se bavio poučavanjem. Jedan je od njegovih najpoznatijih učenika filozof Platon. Upravo iz Platonovih zapisa saznajemo da je Teodor primjenom Pitagorina poučka konstruirao dužine duljine,

    2 , 3 , 5 , 7

    ... Teodor je navodno upravo s pomoću spirale drugog korijena pokazao da su ti brojevi iracionalni.

    Zanimljivost

    Dokaz tvrdnje da je broj 2 iracionalni broj.

    Pretpostavimo suprotno, tj. da je 2 Q . To znači da postoje brojevi m , n N  takvi da je 2 = m n , pri čemu su m i n relativno prosti brojevi ( D ( m , n ) = 1 ).

    Kvadriranjem obiju strana izraza dobivamo da je 2 = m 2 n 2 , tj. 2 n 2 = m 2 .

    Budući da je kvadrat parnog broja paran, broj m također mora biti paran tj. m = 2 k .

    Tada je 2 n 2 = ( 2 k ) 2 i 2 n 2 = 4 k 2 . Dijeljenjem obiju strana izraza dobivamo n 2 = 2 k 2 te zaključujemo da je n 2 parni broj. Ako je n 2 parni broj , tada je i n  paran (budući da je kvadrat parnog broja parni broj, a neparnog neparni broj).

    Ako su m i n parni brojevi, onda su oba broja djeljiva brojem 2 . To znači da m i n nisu relativno prosti brojevi te da je D ( m , n ) 2 .

    Došli smo do proturječnosti pretpostavke da je D ( m , n ) = 1 .

    Dakle, 2 ne može biti racionalni broj nego je iracionalni broj.

    Zadatak 2.

    Odaberite pravo pravilo pridruživanja za grafički prikaz kvadratne funkcije ili funkcije drugog korijena.


    1. Slika prikazuje grafički prikaz kvadratne funkcije s parabolom "pomaknutom" vertikalno gore za 4 jedinice.

      null
      null

    2. Slika prikazuje grafički prikaz kvadratne funkcije s parabolom okrenutom prema dolje te vertikalno pomaknutom prema gore za 1 jedinicu.

      null
      null

    3. Na slici je prikazan grafički prikaz kvadratne funkcije s parabolom "okrenutom" prema dolje.

      null
      null

    4. Slika prikazuje grafički prikaz funkcije drugog korijena pomaknute 2 jedinice udesno.

      null
      null

    5. Slika prikazuje grafički prikaz funkcije drugog korijena "pomaknute" 2 jedinice vertikalno gore.

      null
      null

    6. Slika prikazuje grafički prikaz funkcije drugog korijena s horizontalnim pomakom 4 jedinice udesno.

      null
      null

    7. Slika prikazuje grafički prikaz kvadratne funkcije s vertikalnim pomakom 1 jedinice prema dolje.

      null
      null

    8. Slika prikazuje graf kvadratne funkcije pri čemu je parabola "okrenuta" prema dolje.

      null
      null

    Spirala drugog korijena

    Spirala drugog korijena ili Teodorova spirala je spirala koja se sastoji od niza pravokutnih trokuta čije su duljine hipotenuza drugi korijeni prirodnih brojeva.

    Zanimljivost

    Više o Teodoru iz Cirene možete pročitati na poveznici.

    Zadatak 3.

    Slika prikazuje dio spirale drugog korijena (od korijena iz 2 do korijena iz 9)

    Kolika je duljina dužine A B ¯ 9 ?

    A B 9 = 10   ​


    Praktična vježba

    Slika prikazuje dio spirale drugog korijena (od korijena iz 2 do korijena iz 17)

    Konstruirajte u bilježnicu spiralu drugog korijena do dužine duljine 17 i uklopite je u crtež.

    Postupak:

    1. Konstruirajte jednakokračni pravokutni trokut s katetama duljine 1 jedinice.
    2. Odredite duljinu hipotenuze konstruiranog trokuta i zapišite ju uz hipotenuzu.
    3. Koristeći se hipotenuzom pravokutnog trokuta iz prethodnog koraka kao jednom katetom, konstruirajte pravokutni trokut kojemu je druga kateta duljine jedne jedinice.
    4. Ponavljajte korake 2. i 3. željeni broj puta.

    Ako je potrebno, možete pogledati animaciju koja se nalazi u jedinici 5.2., a koja će vam dodatno objasniti konstrukciju spirale drugog korijena.

    Na slikama su učenički crteži inspirirani spiralom drugog korijena.

    Euklidov poučak konstrukcije drugog korijena

    Koristeći se spiralom drugog korijena, moguće je konstruirati dužinu čija je duljina drugi korijen „bilo kojeg” prirodnog broja. No katkad to jako dugo traje. To ste vidjeli konstruirajući dužinu duljine 17 .

    Umjesto toga moguć je kraći postupak, ali prije toga...

    Zadatak 4.

    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB.

    Promotrite sliku i objasnite tvrdnje:

    1. Pravokutni trokuti A B C i A C D međusobno su slični. ​
    2. Pravokutni trokuti A B C i C B D međusobno su slični.
    3. Pravokutni trokuti A C D i C B D međusobno su slični.
    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB i slični trokuti ABC i ACD

    a. Trokuti A B C i A C D slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju zajednički kut u vrhu A .

    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB  i slični trokuti ABC i CBD

    b. Trokuti A B C i C B D slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju zajednički kut u vrhu B .

    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB i slični trokuti ACD i CBD

    c. Trokuti A C D i C B D slični su prema poučku (K-K) jer su pravokutni i imaju šiljaste kutove veličine α i β  jer su C A B i B C D kutovi s okomitim kracima.


    Zanimljivost

    Iz dokazane sličnosti trokuta A B C i A C D vrijedi  A B : A C = A C : A D , tj. uz oznake kao na slici je b 2 = c q .

    Iz dokazane sličnosti trokuta A B C i C B D vrijedi  A B : C B = B C : B D , tj. uz oznake kao na slici je a 2 = c p .

    Zbrojimo li te dvije jednakosti, dobit ćemo da je a 2 + b 2 = c p + c q = c ( p + q ) = c · c = c 2 . To je dobro poznata simbolima zapisana tvrdnja Pitagorina poučka za pravokutni trokut A B C s pravim kutom u vrhu C .

    Zadatak 5.

    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB.

    Izrazite duljinu dužine C D ¯ ( C D = v ) koristeći se duljinama dužina A D ¯   i B D ¯   ( A D = q , B D = p ) .  

    Iz dokazane sličnosti trokuta A C D i C B D vrijedi  A D : C D = C D : B D , tj. uz oznake kao na slici vrijedi v 2 = p q .


    Na slici je pravokutni trokut ABC s pravim kutom u vrhu C s ucrtanom visinom iz na hipotenuzu AB - slika je vezana uz iskaz Euklidovog  poučka.

    Neka je točka D nožište visine na hipotenuzu C D ¯ pravokutnog trokuta A B C .

    Kvadrat duljine visine C D ¯ na hipotenuzu jednak je umnošku duljina dobivenih dijelova hipotenuze, A D ¯  i D B ¯ . Uz oznake kao na slici vrijedi v 2 = p q , odnosno v = p q .

    Ta je tvrdnja u matematici poznata i kao Euklidov poučak.

    Zadatak 6.

    Na slici je istaknut pravokutni trokut ABC s hipotenuzom AB i visnom CD. Prikazana je primjena Euklidova poučka u konstrukcija korijena iz 6

    Nacrtana je dužina A B ¯ duljine 5 cm i kružnica C kojoj je ta dužina promjer.

    Na dužini A B ¯ označena je točka D tako da je A D = 3 cm . (Kolika je duljina dužine D B ¯ ? ) U točki D konstruirana je okomica na dužinu A B ¯ . Ta okomica siječe kružnicu k u točkama C i E .

    1. Objasnite tvrdnju: trokuti A B C i A B E su pravokutni.
    2. Koristeći se Euklidovim poučkom, izračunajte C D .
    1. Pravokutnost trokuta A B C i A B E slijedi iz Talesova poučka da je svaki obodni kut nad promjerom kružnice pravi kut.
    2. Primijenimo li Euklidov poučak (što smijemo jer je dužina C D ¯  visina pravokutnog trokuta A B C ), dobit ćemo: v = p   ·   q = 2   ·   3 = 6 cm .

    Zadatak 7.

    Na slici je pravokutni trokut s visinom na hipotenuzu kao pomoć pri konstrukciji dužina zadanih duljina primjenom Euklidova poučka

    Neka uz oznake, kao na slici, vrijedi:

    1. p = 6 cm i q = 1 cm
    2. p = 3 cm i q = 2 cm
    3. p = 1 cm i q = 5 cm .

    Izračunajte duljinu dužine C D ¯ . Konstruirajte u bilježnicu odgovarajuću sliku. Kolika je duljina hipotenuze A B ¯ ?

    1. C D = 6 · 1 = 6 cm , A B = 6 + 1 = 7 cm
    2. C D = 3 · 2 = 6 cm , A B = 3 + 2 = 5 cm
    3. C D = 1 · 5 = 5 cm , A B = 1 + 5 = 6 cm

    Konstrukciju broja s pomoću Euklidova poučka pogledajte u sljedećem videozapisu.

    Konstrukcija broja √8 s pomoću Euklidova poučka

    Zadatak 8.

    Primijenite opisani postupak i konstruirajte u bilježnicu dužine čije su duljine:

    1. 8 cm
    2. 10 cm
    3. 17 cm
    4. 20 cm .

    Je li način konstrukcije za svaku od tih dužina jedinstven?

    Zadatak c. moguće je riješiti samo na jedan način ( p = 1 , q = 17 , odnosno p = 17 , q = 1 ).

    Ostale je zadatke moguće riješiti na više načina jer se brojevi 8 , 10 i 20 mogu napisati u obliku umnoška dvaju prirodnih brojeva na više različitih načina.


    Geoploča

    Projekt

    Na slici je geoploča dimenzija 3 x 3 (9 točaka pravilno raspoređenih u 3 retka i 3 stupca)

    Na geoploči ili točkastom papiru dimenzija 3 × 3 nacrtajte što više međusobno nesukladnih četverokuta kojima su vrhovi u točkama mreže. Izračunajte opsege i površine svakog četverokuta ako je udaljenost dviju točaka u retku/stupcu 1 cm .

    A

    Dok radite, obratite pozornost da ne crtate međusobno sukladne četverokute.

    Na slici je prikazan četverokut nacrtan u mreži 3 × 3 kvadratića i svi njemu sukladni četverokuti.

    Svi međusobno sukladni četverokuti imaju jednake opsege i jednaku površinu.

    Pogledajte postupak određivanja opsega i površina prikazanog četverokuta u sljedećoj animaciji.

    Na slici je geoploča dimenzija 3 X 3 sa svim međusobno nesukladnim četverokutima. Uz svaki četverokut zapisan je njegov opseg i njegova površina.
    Na slici su opsezi i površine svih četverokuta u kvadratnoj mreži dimenzija 3 × 3 .  

    Pitagorino stablo

    Kutak za znatiželjne

    Na slici je Pitagorino stablo nastalo uzastopnom konstrukcijom kvadrata nad stranicama jednakokračnog pravokutnog trokuta.

    Pitagorino stablo je fraktal. To znači da ima svojstvo samosličnosti, tj. svaki njegov dio sliči samome sebi bez obzira na to koji dio promatrali i koliko ga puta uvećavali. Pitagorino stablo temelji se na konstrukcijama kvadrata nad stranicama pravokutnih trokuta.

    Prema Pitagorinu poučku, zbroj površina kvadrata nad katetama pravokutnog trokuta jednak je površini kvadrata nad njegovom hipotenuzom.

    Više o fraktalima i Pitagorinu stablu pogledajte u časopisu math.e.

    Na slici je Pitagorino stablo nastalo uzastopnom konstrukcijom kvadrata nad stranicama jednakokračnog pravokutnog trokuta. To je simetrično Pitagorino stablo.

    Konstrukcija simetrična Pitagorina stabla.

    1. Konstruirajte u bilježnici kvadrat.​
    2. Nad jednom stranicom kvadrata konstruirajte jednakokračni pravokutni trokut pri čemu je stranica kvadrata hipotenuza tog trokuta.
    3. Nad katetama pravokutnog trokuta konstruirajte kvadrate.
    4. Nad svakim kvadratom konstruirajte jednakokračne pravokutne trokute pri čemu su stranice kvadrata hipotenuze tih trokuta.
    5. Ponavljajte korake c. i d. što više puta.
    Na slici je Pitagorino stablo nastalo uzastopnom konstrukcijom kvadrata nad stranicama raznostraničnog pravokutnog trokuta. To je asimetrično Pitagorino stablo

    Konstrukcija asimetrična Pitagorina stabla.

    Koraci konstrukcije asimetrična Pitagorina stabla identični su konstrukciji simetrična Pitagorina stabla, osim što se nad stranicom kvadrata ne konstruira jednakokračni pravokutni trokut nego neki drugi pravokutni trokut, primjerice trokut s kutovima veličine 30 ° , 60 ° , 90 ° .

    Zadatak 9.

    Konstruirajte u bilježnicu i obojite Pitagorino stablo.

    ...i na kraju

    Za kraj, pogledajte animaciju nastajanja Pitagorina stabla.