x
Učitavanje

5.4 Graf funkcije drugog korijena

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Keramičar Filip izrađuje mozaike upotrebljavajući kvadratne oblike različitih površina. Površina tih oblika obično iznosi 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 i/ili 100 cm 2 , no moguće je dogovoriti i druge dimenzije prema želji naručitelja. Napišite na papiru formulu funkcije f koja površini kvadrata pridružuje duljinu njezine stranice? Prikažite tablicom pridruženih vrijednosti i grafički.

Što zamjećujete?

Slika prikazuje mozaik izrašen od malih keramičkih dijelova kvadratnih oblika.
Slika prikazuje graf funkcije drugog korijena.

Pravilo pridruživanja funkcije f  koja površini kvadrata pridružuje duljinu njezine stranice dano je formulom f ( x ) = x , pri čemu je  x > 0 .

  • ​Sve nacrtane točke pripadaju krivulji koja je nalik na polovicu parabole te se nalazi s gornje strane osi  x .
  • Funkcija je ograničena samo na nenegativne vrijednosti argumenta, tj. definirana je na skupu nenegativnih racionalnih brojeva.
  • Sve su vrijednosti funkcije nenegativne.
  • Što je površina veća, to je duljina stranice kvadrata veća.
  • Iz grafa je lako uočiti da je funkcija f ( x ) = x  rastuća jer se povećanjem vrijednosti argumenta  x  povećava i vrijednost funkcije f .
x 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

Podsjetimo se. Izračunati (drugi) korijen pozitivnog realnog broja x znači odrediti nenegativni realni broj y koji kvadriran daje zadani broj. Dakle, ako je y nenegativni realni broj takav da je y 2 = x , onda broj y nazivamo drugi ili kvadratni korijen broja x i pišemo y = x .

Funkcija f ( x ) = x , x 0 i njezin graf

Funkcija drugog korijena je funkcija koja svakom nenegativnom racionalnom broju pridružuje njegov drugi korijen. Zapisujemo je formulom f ( x ) = x , pri čemu je x 0 .

Broj x nazivamo argument funkcije, dok je f ( x ) vrijednost funkcije za argument x .

Graf je funkcije drugog korijena skup svih točaka ravnine pridruženih uređenim parovima oblika ( x , x ), pri čemu je x 0 .

Slika prikazuje tablicu pridruženih vrijednosti i grafički prikaz funkcije drugog korijena od x.

Primjer 1.

Slika prikazuje osnosimetričnost grafova funkcija drugi korijen od x i desne strane grafa funkcije x na kvadrat preko pravca s jednadžbom y = x.

Promotrite grafičke prikaze funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x i funkcije g zadane pravilom pridruživanja g ( x ) = x 2 . Što zamjećujete?

Graf funkcije drugog korijena osnosimetričan je desnom dijelu parabole (grafa kvadratne funkcije). Os je simetrije simetrala prvog i trećeg kvadranta, a jednadžba je tog pravca y = x .

Te tvrdnje možete dodatno istražiti u sljedećoj animaciji.


Tvrdnje iz rješenja prethodnog primjera možete dodatno istražiti u sljedećoj animaciji.

Primjer 2.

Izračunajmo vrijednost funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x za dane vrijednosti argumenta x ako je:

  1. x = 1
  2. x = 144
  3. x = 441
  4. x = 2 1 4 .
  1. f ( 1 ) = 1
  2. f ( 144 ) = 12
  3. f ( 441 ) = 21
  4. f ( 2 1 4 ) = 3 2 = 1 1 2

Zadatak 1.

Izračunajte vrijednost funkcije f zadane pravilom pridruživanjam f ( x ) = x za dane vrijednosti argumenta x ako je:

  1. x = 0.0196
  2. x = 3 600
  3. x = 1.7956
  4. x = 49 289 .
  1. f ( 0.0196 ) = 0.14
  2. f ( 3 600 ) = 60
  3. f ( 1.7956 ) = 1.34
  4. f ( 49 289 ) = 7 17

Zadatak 2.

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = x . Odredite f ( 324 )

f ( 324 ) = 18


Zadatak 3.

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = x .

  1. Nacrtajte na papiru i dopunite tablicu pridruženih vrijednosti.

    x
    0 1 4 9
    f ( x ) = x
  2. Nacrtajte njezin grafički prikaz te iz njega odredite je li funkcija rastuća ili padajuća?

  3. Iz grafičkog prikaza očitajte ordinatu točke koja pripada grafu zadane funkcije, a apscisa joj je 9 .

  4. Pripada li točka T ( 1.5625 , 1.35 ) grafu zadane funkcije?

a.

x 0 1 4 9
f ( x ) = x 0 1 2 3

b. Iz grafičkog prikaza na 1. slici možemo vidjeti da je zadana funkcija rastuća.

c. Na 2. slici možemo vidjeti da ordinata točke čija je apscisa 9 iznosi 3 .

d. Točka T ne pripada grafu zadane funkcije jer je 1.5625 = 1.25 .


Zadatak 4.

Pripadaju li točke A ( 3 , 3 )  i B 9 5 , 4 5  grafu funkcije f ( x ) = x ?

Slika prikazuje graf funkcije drugog korijena s točkama s apscisama 3 i 1.8.

Točka A   ( 3 , 3 ) pripada, a točka B 9 5 , 4 5 ne pripada grafu funkcije f ( x ) = x .


Funkcija f ( x ) = a x , x 0 , a > 0

Primjer 3.

U istome pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo grafove funkcija f , g i h zadanih pravilima pridruživanja f ( x ) = x , g ( x ) = 2 x i h x = 1 2 x . Što zamjećujemo?

Napravimo prvo tablice pridruženih vrijednosti za proizvoljno odabrane nenegativne vrijednosti argumenta. ​(1. slika)

Graf funkcije h zadane pravilom pridruživanja h x = 1 2 x nalazi se „ispod” grafa „osnovne ” funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x . (2. slika)

Graf funkcije g zadane pravilom pridruživanja g ( x ) = 2 x nalazi se „iznad” grafa „osnovne” funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x . (2. slika)


O čemu ovisi hoće li se graf funkcije f 1 , zadane pravilom pridruživanja f 1 ( x ) = a x , a > 0 , nalaziti „ispod” ili „iznad” grafa funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x ?

Kako se mijenja graf funkcije f 1 , zadane pravilom pridruživanja f 1 ( x ) = a x , a > 0 , promjenom vrijednosti parametra a ?

Istražimo koristeći se sljedećom interakcijom.

Povećaj ili smanji interakciju

Kada je parametar a  funkcije f 1 zadane pravilom pridruživanja f 1 ( x ) = a x veći od 1 , tada se njezin graf nalazi „iznad” grafa funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x .

Kada je parametar a  funkcije f 1 zadane pravilom pridruživanja f 1 ( x ) = a x veći od 0 , a manji od 1 , tada se njezin graf nalazi „ispod” grafa funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x .

Što je parametar a  funkcije f 1 zadane formulom f 1 ( x ) = a x , a > 0 veći, to je njezin graf „udaljeniji” od osi x .

Što je parametar a u pravilu pridruživanja funkcije f ( x ) = a x , a > 0 veći, to funkcija brže raste.

Zadatak 5.

Izračunajte vrijednosti funkcije f zadane formulom f x = 2 x za zadane vrijednosti argumenta x .

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 8
  5. 25 2  
  1. f ( 0 ) = 2 · 0 = 0  
  2. f ( 1 ) = 2 · 1 = 2
  3. f ( 2 ) = 2 · 2 = 4 = 2
  4. f ( 2 ) = 2 · 8 = 16 = 4
  5. f ( 25 2 ) = 2 · 25 2 = 25 = 5

Zadatak 6.

Zadana pravila pridruživanja funkcija pridružite odgovarajućim grafičkim prikazima.

Funkcije f , g , h  zadane su formulama f x = x , g x = 3 x i h x = 1 3 x   te su dani njihovi grafički prikazi.

Slika prikazuje tri funkcije drugog korijena oblika f(x)=drugi korijen od ax

g ( x ) = 3 x   ​

h ( x ) = 1 3 x   ​

f ( x ) = x   ​

 

 

Kutak za znatiželjne

Što mislite, za kakve je vrijednosti argumenta x definirana funkcija f zadana pravilom pridruživanja f ( x ) = - x ? Kakve vrijednosti poprima ta funkcija? Nacrtajte graf te funkcije. Pri pronalaženju odgovora na to pitanje može vam pomoći priložena interakcija.

Povećaj ili smanji interakciju

Ta je funkcija definirana na skupu negativnih racionalnih brojeva, tj. argumenti te funkcije moraju biti elementi skupa negativnih racionalnih brojeva uključujući nulu x R , x 0 . Vrijednosti su te funkcije pozitivne.

Sastavljamo tablicu pridruženih vrijednosti za prema želji odabrane negativne vrijednosti argumenta. (1. slika)

Uočite da povećanje vrijednosti (negativnog) argumenta x   uzrokuje smanjenje vrijednosti funkcije f ( x ) = - x  pa zaključujemo da je ta funkcija padajuća. (2. slika)


Zanimljivost

Slika prikazuje simetriju preko osi y u grafovima funkcija korijena od x i korijena od minus x.

Zamijetite, graf funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = - x x R , x 0 osnosimetričan je grafu funkcije g zadane pravilom pridruživanja g ( x ) = x  s obzirom na os ordinata.

Također, možemo zaključiti da što je veća apsolutna vrijednost parametra a u formuli funkcije f ( x ) = a x , a 0 , to se vrijednosti funkcije na području definicije brže mijenjaju (ako je x 0 i ​ a > 0 , brže rastu, a ako je x 0  i a < 0 , brže padaju).

Funkcija oblika f ( x ) = b x , x 0

Primjer 4.

Slika prikazuje graf funkcije dva puta drugi korijen od x.

Nacrtan je graf funkcije drugog korijena zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x , x 0 . Očitajmo vrijednost te funkcije za vrijednost argumenta x = 25 .

Kolika je vrijednost parametra b ?

Slika prikazuje funkcije dva puta drugi korijen od x.

Iz grafičkog prikaza možemo vidjeti da je argumentu 25 pridružena vrijednost funkcije 10.  

f ( 25 ) = 10  

Tražimo vrijednost parametra b tako da vrijedi b 25 = 10 . Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je b = 10 25 = 10 5 = 2 .


Zadatak 7.

Nacrtan je graf funkcije drugog korijena zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x , x 0 . Iz grafičkog prikaza očitajte x   koordinatu točke T ( x , - 2 ) koja pripada grafu te funkcije.

Kolika je vrijednost parametra b ?

Slika prikazuje graf funkcije drugog korijena čiju vrijednost parametra p treba odrediti.
Slika prikazuje postupak očitavanja koordinate točke s grafičkog prikaza.

Iz grafičkog prikaza možemo očitati x  koordinatu točke koja pripada nacrtanom grafu drugog korijena i čija je ordinata - 2 .

T ( 2 , - 2 )  

Tražimo vrijednost parametra b tako da vrijedi b 2 = - 2 . Rješavanjem te jednadžbe dobivamo da je b = - 2 2 = - 2 2 2 = - 2 .


Primjer 5.

U istome pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini nacrtajmo grafove funkcija f , g i h zadanih pravilima pridruživanja f ( x ) = x , g ( x ) = 2 x i h x = 1 2 x . Što zamjećujemo?

Slika prikazuje tablice pridruženih vrijednosti i grafove funkcija 2 korijena od x, korijen od x i jedna polovina korijena od x.

Napravimo prvo tablice pridruženih vrijednosti za proizvoljno odabrane nenegativne vrijednosti argumenta. ​

Graf funkcije h zadane pravilom pridruživanja h x = 1 2 x nalazi se „ispod” grafa funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x .

Graf funkcije g zadane pravilom pridruživanja g ( x ) = 2 x nalazi se „iznad” grafa funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = x .

Općenito, iz navedenih grafičkih prikaza možemo naslutiti da što je veći parametar b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x , b > 0 , to funkcija brže raste.


Zadatak 8.

U prethodnom primjeru naslutili smo da što je parametar b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x , b   > 0 veći, to funkcija brže raste.

U interakciji mijenjajte vrijednost parametra b i istražite valjanost te tvrdnje na većem broju primjera. Promotrite što se događa s grafom funkcije f za negativne vrijednosti parametra b .

Povećaj ili smanji interakciju

Ako je parametar b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x veći od nule, što je parametar b veći, to funkcija brže raste.

Ako je parametar b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x manji od nule, što je parametar b manji, to funkcija brže pada.

Možemo reći da što je apsolutna vrijednost parametra b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x veća, to se vrijednost funkcije brže mijenja (ako je b > 0 , funkcija brže raste, a ako je b < 0 , funkcija brže pada).


Što je apsolutna vrijednost parametra b funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = b x veća, to funkcija brže raste/pada.

Povezani sadržaji

Zadatak 9.

Pri slobodnom padu, uz zanemarivanje otpora zraka, tijelo prijeđe put s (u metrima) u vremenu t (u sekundama) pri čemu je s = 5 t 2 . Za koje će vrijeme na tlo pasti tijelo ispušteno s visine od 20 metara?

5 t 2 = 20 t 2 = 4 t 1,2 = ± 2   ​

Tijelu ispuštenom s visine od 20 metara trebat će 2 sekunde da padne na tlo.

Rješenje - 2 nije rješenje u ovome slučaju.


...i na kraju

U ovoj ste cjelini naučili:

Ako želite, možete procijeniti svoje znanje.

Ako želite dalje istraživati ovu temu, možete s pomoću sljedeće interakcije istražiti različite transformacije grafa funkcije drugog korijena.

Povećaj ili smanji interakciju
PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Funkcija je zadana pravilom pridruživanja: broj pomnoži brojem 3 , pa izračunaj drugi korijen iz umnoška. Prema tom pravilu, broju 27 pridružen je broj 9 .

null

Postupak:

f ( x ) = 3 x pa je f ( 27 ) = 3 · 27 = 81 = 9

2

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = 5 x , x 0 . Koje točke pripadaju grafu te funkcije?

null
3

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = 1 2 x , x 0 . Vrijednosti argumenta pridruži pripadnu vrijednost funkcije f .

1
0.8
4.84
1.1
6.25
0.25
0.25
1.25
2.56
0.5
null
4

Na slici je graf funkcije f zadane pravilom pridruživanja f ( x ) = a x , x 0 ​. Uređenom paru pridružite odgovarajuću točku grafa.

Na slici je prikazan graf funkcije drugog korijena oblika f(x)=a korijena od x.

( 1 , 3 )
( 2.25 , 4.5 )
( 4 , 6 )
( 16 , 12 )
null
5

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f ( x ) = - 2 x , x 0 . Koja točka ne pripada grafu te funkcije?

null
ZAVRŠITE PROCJENU