x
Učitavanje

5.1 Realni brojevi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pročitajmo tekst.

Mia je studentica. Kao izvrstan student prima stipendiju od 1 500 kuna koju dobiva na tekući račun. S tom stipendijom podmiruje troškove studiranja. Za troškove boravka u studentskom domu i prehranu izdvaja 3 5 iznosa. Ovaj je mjesec morala kupiti stručne knjige za važan ispit. Nakon kupnje, stanje na računu iznosilo je - 350.59 kuna. Dopušteni minus na računu iznosi - 500 kuna. Mia ne voli biti u minusu na računu jer banka na minus obračunava kamate od 12 % .

Brojevi koji se pojavljuju u tekstu:

racionalni su brojevi.

Učili smo još dva skupa brojeva.

Skup prirodnih brojeva i skup cijelih brojeva.

Primjer 1.

Slika prikazuje prikaz skupova N,Z,Q Vennovim dijagramom

Spomenute racionalne brojeve možemo razvrstati kao na slici.

Skup prirodnih brojeva, N = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . .

Skup cijelih brojeva, Z = . . . , - 7 , - 6 , . . . - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

Skup racionalnih brojeva, Q = a b : a , b Z , b 0 (Brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomka.)

  • Skup prirodnih brojeva dio je skupa cijelih brojeva.
  • Skup cijelih brojeva dio je skupa racionalnih brojeva.

Zadatak 1.

Pročitaj tvrdnje i utvrdi jesu li točne ili ne.

  1. Svaki je prirodni broj racionalni broj.

    null
    null
  2. Svaki je racionalni broj prirodni broj.

    null
    null
  3. Svaki je cijeli broj prirodni broj.

    null
    null
  4. Svaki je cijeli broj racionalni broj.

    null
    null
  5. Nula je prirodni broj.

    null
    null

Vrste zapisa racionalnih brojeva

Zadatak 2.

Razvrstajte zadane racionalne brojeve u odgovarajuće zadane skupine.

Zadane elemente odvucite na odgovarajuće mjesto.

3.5 · 10 - 3

 Prirodni brojevi s nulom

 Negativni cijeli brojevi

 Racionalni brojevi bez cijelih brojeva

null
null

Primjer 2.

Ponovimo.

Isti racionalni broj možemo zapisati na različite načine. U obliku razlomka, decimalnog broja, potencije ili postotka.

Ovisi o tome što brojem tumačimo.

Zapis razlomkom
Zapis decimalnim brojem Znanstveni zapis
Zapis postotkom
1 10 0.1 10 - 1 10 %
3 100 0.03 3 · 10 - 2 3 %
21 100 0.21 2.1 · 10 - 1 21 %
15 10 1.5 1.5 · 10 0 150 %
125 100 1.25 1.25 · 10 1 125 %
1 2 0.5
5 · 10 - 1 50 %
7 50 0.14 1.4 · 10 - 1 14 %
11 4 2.75 2.75 · 10 0 275 %
560 1 25 560.04 5.6004 · 10 2 56 004 %
91 7 13 1.3 · 10 1 1 300 %

Zadatak 3.

Smjesti racionalni broj u rečenicu tako da najbolje odgovara kontekstu iz stvarnoga života.

  1. Ivan je čekao
     
    sata kako bi gledao snimku utrke u kojoj je pobjednik stigao na cilj s
     
    sekunde prednosti.

    0.01
    3 4

    null
    null
  2. U pakiranju od

     
    kilograma maka nalazi se
     
    zrnaca maka i zato je svako zrno prosječne mase
     
    grama.

    1 · 10 - 3
    1
    1   000   000

    null
    null
  3. Maja je u banci oročila

     
    kuna na
     
    godina uz godišnju kamatnu stopu od
     
     .

    5
    4.5 %  
    5 000

    null
    null
  4. U Sunčevu sustavu nalazi se

     
    planeta: Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter, Saturn, Uran i Neptun. Najudaljeniji od Sunca je Neptun,
     
    milijardi km ili znanstvenim zapisom napisano
     
    kilometara. Udaljenost Zemlje od Sunca iznosi
     
    udaljenosti Neptuna od Sunca.

    1 30
    8
    45 · 10 9
    4.5

    null
    null

Nas će u nastavku zanimati prijelazi iz decimalnog zapisa racionalnog broja u zapis razlomkom i obrnuto.

Prijelaz iz decimalnog zapisa racionalnog broja u razlomak

Primjer 3.

U videozapisu je prikazano kako racionalne brojeve decimalnog zapisa prikazati razlomkom.

Zadatak 4.

U kvizu provjerite svoje znanje pretvaranja decimalnog zapisa racionalnog broja u razlomak.

  1. 0.4

    null
    null
  2. 1.7

    null
    null
  3. 2.25

    null
    null
  4. 22.007

    null
    null
  5. 2.05

    null
    null
  6. 0.003

    null
    null
  7. 2.8

    null
  8. 1.09

    null
    null
  9. 1.04

     

    null
  10. 0.75

    null

Prijelaz iz zapisa razlomkom u decimalni zapis racionalnog broja

Primjer 4.

U videozapisu je prikazan prijelaz iz zapisa razlomkom u decimalni zapis racionalnog broja.

Zadatak 5.

U kvizu provjerite svoje znanje pretvaranja racionalnog broja zapisanog razlomkom u decimalni zapis.

  1. 2 5   

    null
    null
  2. 111 100   ​

    null
    null
  3. 7 16  

    null
    null
  4. 1 002 1 000  

    null
    null
  5. 13 8  

    null
    null
  6. 25 64

    null
    null
  7. 64 25   ​

    null
    null

Zapis beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja

Primjer 5.

Zapišimo u bilježnicu razlomak 1 3 decimalnim brojem.

1 3 = 1 : 3 = 0.33333.. .

U decimalnom zapisu razlomka znamenka 3 ponavlja se beskonačno mnogo puta.

To je čisto periodični decimalni broj.

Simbolički se to zapisuje točkicom ili crticom iznad znamenke koja se ponavlja.

1 3 = 0 . 3 ˙ ili 1 3 = 0 . 3 ¯  

U zapisu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 0 . 3 ˙   ponavlja se samo jedna znamenka, znamenka 3 .

Kaže se da taj zapis ima period 3 i duljinu perioda jedan.


Beskonačni periodični decimalni broj ima beskonačno mnogo decimala koje se ponavljaju. Može se ponavljati jedna znamenka ili skupina znamenaka.

Primjer 6.

Zapišimo u bilježnicu razlomak​ 4 15 decimalnim brojem.

4 15 = 4 : 15 = 0.2666.. .

U decimalnom zapisu razlomka znamenka na mjestu desetinki je 2 , a znamenka 6 ponavlja se beskonačno mnogo puta.

Decimalni zapis razlomka ima 2 desetinke i beskonačno mnogo decimala 6 .

Simbolički se to zapisuje točkicom ili crticom iznad znamenke koja se ponavlja.

To je beskonačni mješovito periodični decimalni broj jer mu se prije perioda pojavljuje znamenka koja se poslije u periodu ne pojavljuje.

Te znamenke čine predperiod.

4 15 = 4 : 15 = 0.2 6 ˙ ili 4 15 = 0.2 6 ¯

U zapisu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0.2 6 ˙ ponavlja se samo jedna znamenka, znamenka 6 .

Kaže se da taj zapis ima period 6 , a duljinu perioda jedan.


Primjer 7.

Zapišimo u bilježnicu razlomak 9 22 decimalnim brojem.

9 22 = 9 : 22 = 0.4090909.. .

9 22 = 0.4 0 ˙ 9 ˙

U zapisu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0.4 0 ˙ 9 ˙ ponavljaju se dvije znamenke, 0 i 9  .

Kaže se da taj zapis ima period 09 , a duljina perioda je dva.


Primjer 8.

 Zapišimo u bilježnicu razlomak 10 7 decimalnim brojem.  

10 7 = 10 : 7 = 1.428571428571.. .

10 7 = 1 . 428571 ¯  

U zapisu beskonačnoga decimalnog broja 1 . 428571 ¯ ponavlja se šest znamenki, 4 , 2 , 8 , 5 , 7 i 1 .

Kaže se da taj zapis ima period 428571 , a duljinu perioda  šest.


Skupinu znamenaka ili znamenku koja se ponavlja nazivamo period.

Duljina perioda je broj znamenki u periodu.

Predperiod je decimala ili skupina decimala ispred perioda koje nisu dio perioda beskonačno mješovito periodičnoga decimalnog broja.

Beskonačno periodični decimalni broj zapisujemo simbolički. Ako se ponavlja jedna znamenka, iznad nje stavimo točkicu ili crticu. Ako se ponavlja više znamenki, stavljamo točkicu iznad prve i iznad posljednje znamenke u periodu ili crticu preko cijelog perioda.

Kako bez dijeljenja brojnika s nazivnikom odrediti kakav ćemo oblik decimalnog broja dobiti.

Konačni decimalni broj ili beskonačni periodični decimalni broj.

Također, kakav će taj beskonačno periodični decimalni broj biti: beskonačni čisti periodični decimalni broj ili beskonačni mješoviti periodični decimalni broj.

  1. Do kraja skraćeni razlomak, čiji je nazivnik djeljiv s 2 i 5 , ima oblik konačnoga decimalnog broja. Na primjer:

    10 8 = 1.25 2 25 = 0.08 13 40 = 0.325

  2. Do kraja skraćeni razlomak, čiji nazivnik nije djeljiv ni s 2 ni s 5 , ima oblik beskonačnoga čistoga periodičnog decimalnog broja. Na primjer:

    1 3 = 0 . 3 ˙ 3 7 = 0 . 428571 ¯ 9 11 = 0 . 8 ˙ 1 ˙ .

  3. Do kraja skraćeni razlomak, čiji je nazivnik djeljiv s 2 ili s 5 (ne oboje) i još nekim prostim brojem, ima oblik beskonačnoga mješovitoga periodičnoga decimalnog broja. Na primjer:

    1 6 = 0.1 6 ˙ 7 15 = 0.4 6 ˙ 9 14 = 0.6 428571. ¯

Zadatak 6.

Prepoznajte vrste decimalnog zapisa.

 Razvrstajte decimalne zapise zadanih razlomaka.

- 10 36   

 Konačni decimalni broj

 Beskonačni čisti periodični decimalni broj

Beskonačni mješoviti periodični decimalni brojevi

null
null

Zadatak 7.

Zadani su razlomci i zapis beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja. Izračunajte i povežite odgovarajuće.

 Spojite parove.

2 3  
0 . 6 ˙   ​
7 30   ​
0.58 3 ˙   ​
7 12
0 . 4 ˙ 5 ˙   
5 11   ​
0.2 3 ˙   ​
5 9   ​
0.8 6 ˙ 3 ˙  
25 33   ​
0 . 7 ˙ 5 ˙  
19 22   ​
0 . 5 ˙   ​
null
null

Znamenke u beskonačnome periodičnome decimalnom broju

Primjer 9.

Slika prikazuje niz naizmjenično plavih i crvenih kvadratića

Promotrimo niz koji se ovakvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na 500 . mjestu.

Slika prikazuje plavi i crven kvadratić

Period čine plavi i crveni kvadratić. Ponavljaju se dva elementa, period je duljine 2 .

Plavi se kvadratić pojavljuje na: 1 . , 3 . , 5 . , 7 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 2 , ostatak je 1 .

Crveni se kvadratić pojavljuje na: 2 . , 4 . , 6 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 2 , ostatak je 0 .

500 : 2 = 250  i ostatak 0

Na 500 . mjestu bit će crveni kvadratić.


Primjer 10.

Slika prikazuje niz naizmjenično plavih, crvenih i zelenih kvadratića

Promotrimo niz koji se takvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na 505 . mjestu.

Slika prikazuje plavi, crveni i zeleni kvadratić

Period čine plavi, crveni i zeleni kvadratić. Ponavljaju se tri elementa, period je duljine 3 .

Plavi se kvadratić pojavljuje na: 1 . , 4 . , 7 . , 10 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 3 , ostatak je 1 .

Crveni se kvadratić pojavljuje na: 2 . , 5 . , 8 . , 11 . , 14 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 3 , ostatak je 2 .

Zeleni se kvadratić pojavljuje na: 3 . , 6 . , 9 . , 12 . , 15 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 3 , ostatak je 0 .

505 : 3 = 168  i ostatak 1

Na 505 . mjestu bit će plavi kvadratić.


Zadatak 8.

Slika prikazuje niz naizmjenično plavih, crvenih, zelenih i žutih kvadratića

Promotrimo niz koji se takvim uzorkom nastavlja u beskonačnost. Odredimo koje će boje biti kvadratić na 503 . mjestu.

Slika prikazuje plavi, crveni, zeleni i žuti kvadratić

Period čine plavi, crveni, zeleni i žuti kvadratić. Ponavljaju se četiri elementa, period je duljine 4 .

Ponavljaju se četiri elementa. Period im je ponavljanja četiri.

Plavi se kvadratić pojavljuje na: 1 . , 5 . , 9 . , 13 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 4 , ostatak je 1 .

Crveni se kvadratić pojavljuje na: 2 . , 6 . , 10 . , 14 . , 18 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 4 , ostatak je 2 .

Zeleni se kvadratić pojavljuje na: 3 . , 7 . , 11 . , 15 . , 19 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 4 , ostatak je 3 .

Žuti se kvadratić pojavljuje na: 4 . , 8 . , 12 . , 16 . , 20 . , (...) mjestu.

  • Kada podijelimo mjesto pojave brojem 4 , ostatak je 0 .

503 : 4 = 125 i ostatak 3

Na 503 . mjestu bit će zeleni kvadratić.


Zadatak 9.

Odredi traženi član niza.

  1. Koja je životinja na 60. mjestu ovoga niza?

    Na slici je niz sastavljen od tri lika :Pas, mačka,  miš

    null
    null
  2. Koje je voće na 67. mjestu ovoga niza?

    Na slici je niz sastavljen od voća:šljiva, jabuka, trešnja, kruška


    Na slici je šljiva

    Na slici je trešnja

    Na slici je jabuka

    Na slici je kruška

    null
    null
  3. Koje će boje biti voće na 55. mjestu ovoga niza?

    Na slici je niz sastavljen od voća:šljiva, jabuka, trešnja, kruška

    null
    null

Primjer 11.

Koja se znamenka nalazi na 505 . decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 1 . 428571 ¯ ?

Umjesto oblika imamo različite znamenke.

Izgled perioda:

428571.

Period je duljine šest.

505 : 6 = 84 i ostatak 1 .

Pogledajmo koja je znamenka u periodu 428571 na prvome mjestu.

To je znamenka 4 .

Na 505 -oj decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 1 . 428571 ¯   bit će znamenka 4 .


Kako određujemo n-tu znamenku u beskonačnome periodičnome decimalnom broju?

Zadatak 10.

Koja se znamenka nalazi na 515 . decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 1 . 428571 ¯ ?

Izgled perioda:

428571 .

Period je duljine šest.

515 : 6 = 85   i ostatak 5 .

Pogledajmo koja je znamenka u periodu 428571 na petome mjestu.

To je znamenka 7 .

Na 515 -oj decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 1 . 428571 ¯ bit će znamenka 7 .


Primjer 12.

Koja se znamenka nalazi na 1 232 . decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 0.023 1 ˙ 4 8 ˙ ?

Kako su prve tri decimale izvan perioda, od 1 232 oduzmemo 3 , 1 232 - 3 = 1 229  i tražimo 1 229 . decimalu u periodu.

Izgled perioda:

148 .

Period je duljine tri.

1 229 : 3 = 409 i ostatak 2 .

Na drugome mjestu u periodu nalazi se znamenka 4 .

Na 1 232 . decimali beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja​ 0.023 1 ˙ 4 8 ˙ nalazit će se znamenka 4 .


Zadatak 11.

Odredite traženu znamenku.

  1. Na 100 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0.4 6 ˙ nalazi se znamenka  .
    null
    null
  2. Na 100 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0 . 0 ˙ 3 ˙   nalazi se znamenka  .
    null
    null
  3. Na 100 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0 . 2 ˙ 1 3 ˙ nalazi se znamenka .
    null
    null
  4. Na 100 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0 . 4 ˙ 32 1 ˙ nalazi se znamenka  .
    null
    null
  5. Na 100 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0 . 0 ˙ 6349 2 ˙ nalazi se znamenka  .
    null
    null
  6. Na 1 005 . mjestu beskonačnoga periodičnoga decimalnog broja 0.023 1 ˙ 4 8 ˙ nalazi se znamenka  .
    null
    null

Zadatak 12.

Otkrijte sliku u sljedećoj interakciji.

U prvom stupcu tablice je zadan periodični broj. U drugom stupcu su koordinate točaka. Prva je koordinata redni broj decimale, a druga koordinata vrijednost znamenke te decimale.

Naprimjer, u broju​ 1.0 5 ˙ 6 ˙ 20 . decimala je znamenka 5 pa točka ima koordinate 20 , 5 .

Povećaj ili smanji interakciju

Zanimljivost

Kako bismo zbrajali ili oduzimali beskonačne periodične decimalne brojeve u simboličkom zapisu?

Zbarajamo i oduzimamo na isti način kao i konačne decimalne brojeve, ali treba predvidjeti što se događa sa znamenkama koje se beskonačno ponavljaju.

  1. Zbrojimo.

    2 . 3 ˙ + 10 = 12 . 3 ˙ 2 . 3 ˙ + 10 = 2.333.. . + 10 = 12.333.. . = 12 . 3 ˙

  2. Zbrojimo brojeve​ 3.0 5 ˙ i 1 . 6. ˙

    3.0 5 ˙ + 1 . 6 ˙ = 4.7 2 ˙ 3.0555.. . + 1.666.. . = 4.7222.. . = 4.7 2 ˙

    Kada bismo zbrojili pribrojnike samo zaokružene na stotinku.

    3.0 6 ˙ 3.07 1 . 6 ˙ 1.67 3.07 + 1.67 = 4.74

    Uočimo razliku između zbroja dobivena zaokruživanjem i zbroja dobivena bez zaokruživanja.

    4.7 2 ˙ < 4.74

    Zaokruživanjem na desetinku dobili bismo isti rezultat.

  3. Oduzmimo od 3.0 5 ˙ ​broj 1.0 6. ˙

    3.0 5 ˙ - 1 . 6 ˙ = 1.3 8 ˙ 3.05555.. . - 1.666.. . = 1.3888.. . = 1.3 8 ˙

    Učinimo isto i pri oduzimanju.

    3.06 - 1.67 = 1.39

    U ovom je slučaju točnost ista i pri zaokruživanju na stotinku.

    1.3 8 ˙ 1.39

Primjena računanja s beskonačnim periodičnim decimalnim brojevima

Kad nam se u računanju pojave beskonačni periodični decimalni brojevi, rijetko s njima računamo u tom obliku. Najčešće zaokružujemo, pogotovo na kraju kada želimo ispisati rezultat. Svi su rezultati onda i približni.

U sljedećih nekoliko primjera pojavljuju se beskonačni periodični decimalni brojevi u izračunima.

Primjer 13.

Duljine su stranica pravokutnika u omjeru​ 1 3 . Duljina dulje stranice iznosi 10 cm .

Kolika je duljina kraće stranice?

Koliki su opseg i površina tog pravokutnika?

Označimo s​ x duljinu kraće stranice. Uvjet zadatka možemo postaviti na dva načina, jednakošću razlomaka ili razmjerom.

  1. Prvi način

    x 10 = 1 3 3 x = 10 x = 10 3 x = 3 . 3 ˙ cm

  2. Drugi način

    x : 10 = 1 3 x : 10 = 1 : 3 3 x = 10 x = 10 3 x = 3 . 3 ˙ cm

    Duljina kraće stranice iznosi 3 . 3 ˙ cm .

    Približni iznos na dvije decimale iznosi 3.33 cm .

    Opseg je jednak zbroju duljina stranica. Oznaka za duljinu kraće stranice je x , a duljine dulje stranice neka bude y .

    o = 2 · ( y + x ) o = 2 10 + 3 . 3 ˙ o = 2 · 13 . 3 ˙ o = 26 . 6 ˙ o 26.7 cm

    p = 10 · 3 . 3 ˙ p = 33 . 3 ˙ cm 2

    Opseg pravokutnika iznosi 26 . 6 ˙ 26.7 cm , a površina 33 . 3 ˙ 33.3 kvadratna centimetra.


Zadatak 13.

Brat je 3 puta stariji od sestre. Koliko će puta biti stariji za 10 godina ako sada ima 6 godina?

Sada brat ima 6 godina, znači sestra ima 2 godine.

Za 10 godina brat će imati 16 godina, a sestra 12 godina.

Podijelimo bratove godine sa sestrinima kako bismo odredili koliko će puta biti stariji od nje.

Bit će stariji​ 1 . 3 ˙   puta.

Približno će biti stariji​ 1.3   puta.

16 : 12 = 1.333 . . . 16 : 12 = 1 . 3 ˙  


Zadatak 14.

Petra je pisala kratku provjeru iz matematike u kojoj je bilo šest zadataka.

Svaki je zadatak vrijedio 1 bod.

Petra nije znala samo jedan zadatak.

Koliki postotak Petra nije znala?

Izračunajmo koliko iznosi

1 6 = 0.1666.. . = 0.1 6 ˙

0.1 6 ˙ = 16 . 6 ˙ 17 % .

Petra nije znala riješiti približno 17 % kratke provjere.


Zadatak 15.

Na slici su slični trokuti.

Koeficijent sličnosti trokuta​ A B C i A D E je​ k = 3 2 .

Odredite opseg trokuta A D E .

Slika prikazuje dva slična trokuta. Istaknute su poznate duljine i one koje treba tek izračunati.

Za opseg su nam potrebne duljine stranica.

Označimo tražene duljine s x , y i z .

Sličnim trokutima stranice su u istom omjeru. Duljine stranica možemo računati na dva načina.

  • Prvi način: koristeći se koeficijentom

    x = 2 3 · 10 = 20 3 = 6 . 6 ˙ cm

    y = 2 3 · 9 = 6 cm
    z = 2 3 · 6 = 4 cm

  • Drugi način: korištenjem razmjera

    x : 10 = 2 : 3 3 x = 20 x = 20 3 = 6 . 6 ˙ cm

    y : 9 = 2 : 3 3 y = 18 y = 18 3 = 6 cm

    z : 6 = 2 : 3 3 z = 12 z = 12 3 = 4 cm

Izračunajmo opseg.

o = x + y + z o = 6 . 6 ˙ + 6 + 4 o = 16 . 6 ˙ cm

Traženi opseg iznosi o = 16 . 6 ˙ 16.7 cm .


Prikaz beskonačnoga periodičnoga decimalnoga racionalnog broja razlomkom

Vidjeli smo u zanimljivosti da relativno lako zbrajamo i oduzimamo beskonačne periodične decimalne brojeve.

Kako bismo ih pomnožili ili podijelili?

Naprimjer, koliko je 0 . 2 ˙ · 0 . 1 ˙ 3 ˙ ili 0 . 2 ˙ : 0 . 1 ˙ 3 ˙ ?

Kako bismo to izračunali, potrebno ih je zapisati u obliku razlomka i pomnožiti ili podijeliti.

Primjer 14.

Prikažimo beskonačni periodični broj 0 . 2 ˙  kao razlomak.

Označimo taj razlomak s​ x .

Tada slijedi:

x = 0 . 2 ˙ .  

Pomnožimo jednadžbu s 10 .

10 · x = 10 · 0 . 2 ˙

Decimalni broj množimo s 10 tako da decimalnu točku pomaknemo za jedno mjesto udesno.

10 · 0 . 2 ˙ = 10 · 0.2222.. . = 2.2222.. .

10 · x = 2 . 2 ˙

Rastavimo 2 . 2 ˙ na zbroj cijelog broja i decimalnog broja.

2 . 2 ˙ = 2.2222.. . = 2 + 0.2222.. . = 2 + 0 . 2 ˙

10 x = 2 + 0 . 2 ˙  

Na početku smo odredili da je x = 0 . 2 ˙  

10 x = 2 + x.

Riješimo jednadžbu.

10 x = 2 + x 10 x - x = 2 9 x = 2 x = 2 : 9 x = 2 9

Rješenje:

0 . 2 ˙ = 2 9 .  


Prikažimo samo postupak.

x = 0 . 2 ˙ / · 10 10 x = 2 . 2 ˙ 10 x = 2 + 0 . 2 ˙ 10 x = 2 + x 10 x - x = 2 9 x = 2 x = 2 9

2 . 2 ˙ = 2 9

Primjer 15.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj 0 . 1 ˙ 3 ˙  kao razlomak.

Označimo taj razlomak s​ x .

Tada slijedi:

x = 0 . 1 ˙ 3 ˙ .  

Pomnožimo jednadžbu brojem 100 .

100 · x = 100 · 0 . 1 ˙ 3 ˙

Decimalni broj množimo sa 100 tako da decimalnu točku pomaknemo za dva mjesta udesno.
100 · 0 . 1 ˙ 3 ˙ = 100 · 0.131313.. . = 13.131313.. .

100 · x = 13 . 1 ˙ 3 ˙

Rastavimo 13 . 1 ˙ 3 ˙ na zbroj cijelog broja i decimalnog broja.

13 . 1 ˙ 3 ˙ = 13.1313.. . = 13 + 0.1313.. . = 13 + 0 . 1 ˙ 3 ˙

100 x = 13 + 0 . 1 ˙ 3 ˙  

Na početku smo odredili da je x = 0 . 1 ˙ 3 ˙  

100 x = 13 + x.

Riješimo jednadžbu.

100 x = 13 + x 100 x - x = 13 99 x = 13 x = 13 : 99 x = 13 99

Rješenje:

0 . 1 ˙ 3 ˙ = 13 99 .  


Pokažimo samo postupak.

x = 0 . 1 ˙ 3 ˙ / · 100 100 x = 13 . 1 ˙ 3 ˙ 100 x = 13 + 0 . 1 ˙ 3 ˙ 100 x = 13 + x 100 x - x = 13 99 x = 13 x = 13 99

0 . 1 ˙ 3 ˙ = 13 99

Upamtimo! Kod prikazivanja periodičnog broja razlomkom zadani periodični broj (prvi stupac) množimo odgovarajućim dekadskim brojem (drugi stupac) kako je navedeno u tablici.

Oblik broja U postupku množenje brojem
0 . a ˙ ¯ 10
0 . a ˙ b ˙ ¯ 100
0 . a ˙ b c ˙ ¯ 1 000
0 . a ˙ b c d ˙ ¯ 10 000
itd.


a , b , c i d su znamenke.

Zadatak 16.

Odredite beskonačnome periodičnom broju njegov pripadni zapis razlomkom.

 Spojite parove.

0 . 9 ˙   ​
2 33   ​
0 . 4 ˙  
1   ​
0 . 6 ˙   ​
2 11   ​
0 . 1 ˙  
1 9   ​
0 . 1 ˙ 8 ˙   ​
2 3   
0 . 0 ˙ 6 ˙   ​
4 9   ​
null
null

Primjer 16.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj 0.0 5 ˙  kao razlomak.

x = 0.0 5 ˙ / · 10 10 x = 0 . 5 ˙ / · 10 100 x = 5 . 5 ˙ 100 x = 5 + 0 . 5 ˙ 10 x = 0 . 5 ˙ 100 x = 5 + 10 x 100 x - 10 x = 5 90 x = 5 x = 5 90 x = 1 18

0.0 5 ˙ = 1 18  


Primjer 17.

Prikažimo u bilježnicu beskonačni periodični broj 3.0 7 ˙ kao razlomak.

Rastavimo 3.0 7 ˙ na zbroj cijelog broja i decimalnog dijela.

3.0 7 ˙ = 3 + 0.0 7 ˙

Odredimo zapis broja 0.0 7 ˙ .

x = 0.0 7 ˙ / · 10 10 x = 0 . 7 ˙ / · 10 100 x = 7 . 7 ˙ 100 x = 7 + 0 . 7 ˙ 100 x = 7 + 10 x 100 x - 10 x = 7 90 x = 7 x = 7 90

3.0 7 ˙ = 3 + 0.0 7 ˙ 3.0 7 ˙ = 3 + 7 90 3.0 7 ˙ = 277 90


Zanimljivost

0 . 2 ˙ · 0 . 1 ˙ 3 ˙ = 2 9 · 13 99 = 26 891 = 0.029180696 0 . 2 ˙ : 0 . 1 ˙ 3 ˙ = 2 9 : 13 99 = 2 9 1 · 99 11 13 = 22 13 = 1.6923 0 ˙ 7692 3 ˙

Jeste li očekivali takav rezultat?

Zadatak 17.

U drugom redu tablice zadani su periodični brojevi raznih vrsta. Svaki od njih prikaži razlomkom. Povuci odgovarajući razlomak u rubriku ispod zadanoga periodičnog broja. Pri točnom pridruživanju otkrit će se slovo. Riješite zadatke i otkrijte skrivene riječi.

Brojevi koje ne možemo zapisati u obliku razlomka

Primjer 18.

Riješimo asocijacije. Iza svake se pločice krije asocijacija. Prvo potražite rješenja asocijacija po redovima. Rješenja redova skrivena su iza pločica označenih slovima R 1 , R 2 i R 3 . Pritiskom na zelenu kvačicu provjerit ćete točnost. Nakon toga će vam se otkriti mogućnost rješavanja asocijacije skrivene u pločicama R 1 , R 2 i R 3 .   Rješenje te asocijacije potražit ćete u novoovorenom prozoru označenom s R  . To je ujedno rješenje cijele igre asocijacija. Točnost također provjeravate odabirom zelene kvačice.

Skup realnih brojeva

S brojevima koji su rješenja stupaca

susreli smo se već prije.

Nismo spominjali kojem skupu brojeva pripadaju.

Krajnje je rješenje igre asocijacija: Iracionalni brojevi.

Brojevi

  • π
  • 2
  • 3

su iracionalni brojevi.

Zanimljivost

Pitagora je vjerovao da se svi odnosi mogu svesti na računske radnje s brojevima, da se sve oko nas i cijeli svemir mogu objasniti brojevima i odnosima među brojevima – razmjerima.

Prema njegovu mišljenju, svaki broj ima i svoje osobine: muški i ženski, savršen ili nepotpun, lijep ili ružan.

Postojao je i najbolji od svih brojeva, broj 10 . Pitagora je osnovao školu koju danas nazivamo Pitagorejska škola, a njegove sljedbenike pitagorejcima. Okupljala je mnoge mislioce i dala velik doprinos matematici. Pitagorejci su obožavali kvadrat. Ispitivanjem njegovih osobina otkrili su da je dijagonala kvadrata nesumjerljiva u odnosu prema stranici kvadrata.Nesumjerljivo znači da ne postoji razlomak koji može prikazati omjer dviju veličina.

To je bio golem problem za Pitagorejsku školu jer je baza njihova poimanja svemira i svega u njemu – razmjer. Tako je kvadratni korijen iz dva, 2 , postao najmračnija i najbolje čuvana tajna Pitagorejske škole.

Sumjerljive dužine imaju za omjer svojih duljina racionalani broj.

O iracionalnim brojevima

Sam naziv za broj, iracionalan, znači da nije racionalan.

Racionalne brojeve uvijek možemo zapisati u obliku razlomka, čak i ako u decimalnom zapisu imaju beskonačno mnogo decimala.

Iracionalne brojeve nikad ne možemo zapisati u obliku razlomka.

Prije spomenute iracionalne brojeve možemo samo djelomično zapisati u obliku decimalnog broja jer su to beskonačni neperiodični decimalni brojevi.

2 = 1.414213562373095 . . . 3 = 1.732050807568877 . . . π = 3,1415926535897932 . . .  

Zato u računanju upotrebljavamo njihove opće poznate približne vrijednosti.

2 1.41 3 1.73 π 3.14  

Skup iracionalnih brojeva označavamo s I.

Iracionalni broj ne možemo zapisati u obliku razlomka.

Na slici je prikaz skupa realnih brojeva

Skup racionalnih Q i skup iracionalnih brojeva I nemaju zajedničkih elemenata. Ne postoji broj koji bi istodobno bio racionalan i iracionalan. Skup racionalnih Q i skup iracionalnih brojeva I realnih brojeva R .

Na slici je Vennov dijagram prikaza odnosa skupova brojeva
Vennov dijagram prikaza odnosa skupova brojeva

Skup racionalnih i iracionalnih brojeva zajedno čine skup realnih brojeva.

Primjer 19.

U tablici je plusom označena pripadnost realnog broja zadanom skupu.

  Broj N   Z   Q   I R  
75   +   + + - +  
3 4 - -
+   -   +  
0.2   -  
-  
+   -   +  
0 . 3 ˙   -  
-  
+   -   +  
5   -   -   -   +   +  
9 = 3 +  
+  
+  
-  
+  
- 8.9   -   -   +   -   +  
- 4 3   -   -   +   -   +  
- 1 . 7 ˙ 2 ˙   -   -   +   -   +  
- 18   -   +   +   -   +  
3 2   -   -   -   +   +  
4 π   -   -   -   +  
+  
 

Primjer 20.

Na slici je prikazan jednakokračni trokut s visinom duljine  5 i krakom duljine 6 centimetara

Na slici je jednakokračni trokut sa zadanom duljinom kraka b = 6 cm  i duljinom visine v a = 5 cm . Izračunajmo opseg i površinu tog trokuta

Opseg je jednak zbroju duljina stranica.

Za izračun opsega još nam treba duljina osnovice, a .

Nju ćemo izračunati primjenom Pitagorina poučka.

a 2 2 + v a 2 = b 2

a 2 2 + 5 2 = 6 2 a 2 2 = 36 - 25 a 2 2 = 11 a 2 = 11 / · 2 a = 2 11 cm

Izračunajmo opseg. Opseg je zbroj duljina stranica.

o = 2 b + a o = 2 · 6 + 2 11 o = 12 + 2 11 cm

Izračunajmo površinu.

p = a · v a 2 p = 2 11 · 5 2 p = 5 11 cm 2

Iznosi su opsega i površine iracionalni brojevi.


Primjer 21.

Na slici je prikazan pravokutni jednakokračni trokut

Trokutu na slici izračunajmo opseg i površinu. Zadane su duljine stranica,  5 i 10 jediničnih dužina.

Opseg je zbroj duljina stranica.

o = 5 + 5 + 10 o = 2 5 + 10 o = 2 5 + 2 5 o = 5 2 + 2

Opseg iznosi  5 2 + 2 jediničnih dužina.

Površina toga pravokutnog trokuta jednaka je polovini umnoška kateta.

p = 5 5 2 p = 5 2 2 p = 5 2  

Površina iznosi 5 2 jediničnih kvadrata.

Iznos opsega iracionalni je broj.

Iznos površine racionalni je broj.


Zbroj iracionalnih brojeva uvijek je iracionalni broj.

Zbroj iracionalnog i racionalnog broja uvijek je iracionalni broj.

Umnožak iracionalnog i racionalnog broja iracionalni je broj.

Umnožak dvaju iracionalnih brojeva ne mora biti iracionalni broj.​

Zadatak 18.

Odredi pripadnost zadanog broja skupu.

  1. 15

     

     

  2. 121

     

  3. 81 3

    null
  4. - 1025  

     

  5. - 8 2

    null
  6. 10 - 6  

    null
    null
  7. 3 - 2 3 + 2  

    null
    null
  8. 3 - 2 2  

    null

Uspoređivanje realnih brojeva

Zadatak 19.

Izgrađena su dva dječja igrališta. Jedno kružno polumjera 20 metara, jedno kvadratno sa stranicom duljine 31.4 metra.

Za koje će igralište biti potrebna dulja ograda?

Na slici je prikaz kružnog i kvadratnog igrališta. Kružnom je istaknut polumjer, a kvadratnom dulina stranice.

Za kružno igralište treba izračunati opeg kruga s polumjerom r = 20 m .

o = 2 r π o = 2 · 20 · π o = 40 π m  

Za kvadratno igralište treba izračunati opseg kvadrata sa stranicom duljine a = 31.4 m .

o = 4 a o = 4 · 31.4 o = 125.6 m  

Treba usprediti podatke​ 40 π   i 125.6 ​.

Opseg kruga iracionalni je broj, a opseg kvadrata je racionalni broj.

Da bismo ih mogli usporediti potrebno je, u ovom slučaju, iracionalni broj prikazati u obliku decimalnoga racionalnog broja jer je drugi broj racionalan.

40 π 40 · 3.14 = 125.6  

Kako smo zaokružili iznos broja π   na 3.14 , ​iznosi su isti 40 π = 125.6 m .

No, da smo uzeli veći niz znamenki broja π , na primjer π = 3.141592 ,

opseg bi bio 125.66368 125.66 m .

Razlika je 6 m .

Možemo zaključiti da će za kružno igralište ipak biti potrebna dulja ograda.


Zadatak 20.

Kvadrat ima stranicu duljine 3 , a krug polumjer 1 jediničnu dužinu.
Koji od njih ima veći opseg?

Opseg kvadrata sa stranicom duljine​ a = 3 jediničnih dužina iznosi

o = 4 a o = 4 3

jedinične dužine.

Opseg kruga polumjera​ r = 1 jediničnih dužina iznosi

o = 2 r π o = 2 · 1 · π o = 2 π

jedinične dužine.

Usporedimo veličine​ 4 3 i 2 π . Oba su broja iracionalna i ništa o njima ne znamo dok ih ne prikažemo decimalnim brojem.

4 3 6.92

2 π 6.28

4 3 > 2 π

Veći opseg ima kvadrat sa stranicom duljine 3 jedinične dužine.


Kako bismo mogli uspoređivati racionalne i iracionalne brojeve, moramo ih prikazati u decimalnu obliku.

Za iracionalne brojeve uzimamo samo približnu vrijednost na određeni broj decimala.

Pritom moramo uzeti u oblik kontekst zadatka i mjerne jedinice.

Zadatak 21.

Zadane realne brojeve nanižite od najmanjega do najvećega.


    • 2   ​
    • 1 . 4 ˙   ​
    • 72 50  
    • 1.4   ​
    null
    null

    • 3   ​
    • 177 100   ​
    • 1.7   ​
    • 1 . 7 ˙   ​
    null
    null

    • 2 . 2 ˙ 3 ˙  
    • 2.2   ​
    • 2.2 3 ˙  
    • 5   ​
    null
    null

Povezani sadržaji

Duljine su stranica pravokutnika u omjeru zlatnog reza ​ φ = 1 + 5 2 .  

Dulja je stranica duljine 5 metara.

Izračunajte opseg i površinu tog pravokutnika.

Označimo s a dulju stranicu, a s b kraću stranicu pravokutnika.

Za opseg i površinu treba izračunati duljinu kraće stranice.

Tada je, prema uvjetu zadatka i jer je 1 + 5 > 2,

a b = 1 + 5 2

5 b = 1 + 5 2 / · 2 b 5 b 1 · 2 b 1 = 1 + 5 2 1 1 · 2 1 b 10 = b 1 + 5 b = 10 1 + 5 · 1 - 5 1 - 5 b = 10 1 - 5 1 2 - 5 2 b = - 10 5 - 1 - 4

b = 5 5 - 1 2 m.

Opseg se pravokutnika, uz dane oznake, računa:

o = 2 · a + b o = 2 · 5 + 5 5 - 1 2 o = 2 · 1 10 + 5 5 - 5 2 2 o = 5 + 5 5 o = 5 1 + 5 m.

Površina je pravokutnika, uz dane oznake:

p = a · b p = 5 · 5 5 - 1 2 p = 25 2 5 - 1 m 2 .


Zadatak 22.

Pridružite iznose opsega likova zadanih duljinom stranice.

Spojite parove.

Na slici je kvadrat stranice duljine korijen iz 13
Na slici je pravilni peterokut sa stranicom duljine 2 korijena iz 2.
Na slici je pravilni  šesterokut stranice korijen iz 5.5.
Na slici je krug polumjera korijen iz 5.
Na slici je jednakostranični trokut stranice 14/3
null
null

Zadatak 23.

Odredite je li tvrdnja točna ili ne.

  1. 10 > 16 5

    null
    null
  2. 4 3 > 2 π  

    null
    null
  3. 5 - 3 5 + 3 > 5 - 3 2  

    null
    null
  4. 3 2 < 0.8 6 ¯  

    null
    null
  5. π 2 < 2  

    null
    null
  6. 1 2 < 2 2  

    null
    null

Zadatak 24.

Procijenite između kojih se dvaju uzastopnih cijelih brojeva nalazi zadani broj.

  1. 3 π
    null
    null
  2. ​​ 3 3 2  
    null
    null
  3. - 2 2  
    null
    null
  4. - π + 4    
    null
    null

Zanimljivost

Značenja riječi racionalan, iracionalan i realan u hrvatskom jeziku.

racionalan (lat.), razuman, uman, razborit, odmjeren, dobro organiziran, znanstveno utvrđen, kojega vodi razum; razuman, razborit (racionalan pristup, racionalna odluka)

iracionalan (lat.), nerazuman, nerazborit, ono što je neovisno o razumu, što se zbiva bez sudjelovanja intelekta ili nije u skladu s razumskim načelima; nerazumno, nerazložno, nerazborito

realan (lat.), koji postoji ili se događa u stvarnosti; stvaran, zbiljski (realan svijet)

Pronađite više na Hrvatska enciklopedija.

Projekt

Napravite projekt za Dan broja​ π koji se obilježava 14. ožujka (3/14 prema anglikanskom zapisivanju datuma).

...i na kraju

Na slici je prikazana Zlatna spirala
Spirala zlatnog reza

Naučili smo:

Idemo na sljedeću jedinicu

5.2 Realni brojevi i brojevni pravac