x
Učitavanje

8.6 Aktivnosti za samostalno učenje

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

S pojmom matematičkog modeliranja već smo se susretali. Što je zapravo modeliranje?

U školi često koristimo modele. Potražimo značenje riječi model.

Pročitajte dio definicije iz Hrvatske enciklopedije:

model (njem. Modell, franc. modèle < tal. modello < pučki lat. *modellus za klas. lat. modulus: mjera; uzorak).

1. Oblik (lik, tip) u koji se netko ugleda, koji uzima za primjer ili ga oponaša (reproducira); obrazac, uzorak, predložak, uzor, primjer.

...

5. U znanosti, skup pretpostavki s pomoću kojih se teorijski opisuje neki sustav. Sastoji se od opće teorije i opisa objekta ili sustava na koji se teorija odnosi.

Definicija sugerira da je modeliranje kognitivna aktivnost u kojoj izrađujemo modele kako bismo opisali ponašanje stvari, ljudi, pojava... čije ponašanje želimo opisati, oponašati, upotrijebiti ili predvidjeti.

Modeli koji se koriste u školi
Modeli koji se koriste u školi

U svrhu matematičkog modeliranja u matematici su razvijeni (i dalje se razvijaju) mnogi modeli. Jedan od najjednostavnijih i najvažnijih je linearni model. Ako je veza među veličinama u modelu linearna tj. dana je kao linearna ovisnost (linearna funkcija) ili ako se aproksimira linearnom funkcijom, govorimo o linearnom modelu.

Modeliranje pomoću pravca i jednadžbe pravca

Korelacija

Amortizacija je postupno umanjivanje vrijednosti imovine poduzeća, a obračunava se godišnje prema zakonom predviđenom postupku. Različiti su načini procjene amortizacije. Najraširenija je linearna amortizacija, prema kojoj je iznos godišnje amortizacije uvijek jednak, a izračunava se tako da se razlika nabavne i otpisne vrijednosti podjeli s brojem godina amortizacije opreme.

Kako se može naslutiti iz imena, riječ je o linearnoj vezi.

Primjer 1.

Tvrtka koja se bavi sklapanjem računala ima vrijednost imovine procijenjenu na 400 000 kuna. Amortizacija iznosi 30 000 kuna po godini.

a) Kolika će biti vrijednost imovine (bez ponovnog ulaganja) nakon 5 godina?

b) Nakon koliko će godina knjižena vrijednost imovine tvrtke biti nula? (Napomena: Prava vrijednost imovine ne može biti nula, ovo je vrijednost koja je zabilježena u financijskoj dokumentaciji tvrtke.)

Proizvodni pogon tvrtke za sklapanje računala
Kolika je vrijednost imovine tvrtke za sklapanje računala nakon 5 godina?

Tražimo model za određivanje vrijednosti imovine f x uz odbitak amortizacije nakon x godina. Obje su veličine promjenjive i vrijednost imovine ovisi o godinama. Trebamo izračunati vrijednost imovine nakon 5 godina i vrijeme potrebno da vrijednost imovine bude jednaka nuli. Zadana je vrijednost imovine 400 000 kuna i amortizacija od 30 000 kuna po godini - konstantna vrijednost. Pretpostavka je da se u imovinu neće dodatno ulagati.

f x = - 30 000 · x + 400 000

Zadanom smo problemu pridružili linearni model. Kažemo da smo modelirali linearnom funkcijom. Pridruženi je model padajuća linearna funkcija jer je koeficijent smjera negativan. 

f 5 = - 30 000 · 5 + 400 000 = 250 000 - uvrstili smo za broj godina 5 .

Uz f x = 0 izračunat ćemo nakon koliko će godina vrijednost imovine biti jednaka nuli, tj. odredit ćemo točku u kojoj pravac siječe os apscisa.

0 = - 30 000 · x + 400 000

30 000 · x = 400 000   / : 30 000

x = 13 . 3 ˙

Vrijednost imovine bit će jednaka nuli nakon 13.3 godine.

Pogledajmo kako to izgleda na grafičkom prikazu.   

Mjerilo u kojem je nacrtan prikaz: 1 : 10 000 .

Grafički prikaz rješenja
grafički prikaz rješenja

Zadatak 1.

Vrijednost imovine tvrtke nakon osnivanja iznosi 50 000  kuna. Nakon četiri godine, vrijednost je 36 000 kuna. Koja od jednadžbi pravca grafički prikazuje ovisnost vrijednosti imovine o godinama?

null
null

Nakon tri godine automobil vrijedi 200 000 kuna, a nakon pet godina 100 000 . Automobil je kupljen za 350 000 kuna.

null
null
Stroj nakon tri godine vrijedi 20 000 kuna, a nakon pet godina 10 000 kuna.
Kolika je amortizacija?
null
null

Zadatak 2.

Ana voli prirodu i životinje, a osobito kukce. U jednoj knjizi pročitala je da cvrčci komuniciraju cvrčanjem i da cvrčanje s porastom temperature brže raste. Pronašla je i formule koje opisuju cvrčanje različitih tipova cvrčaka i njihovu ovisnost o  temperaturi.
Za poljskog cvrčka ovisnost broja glasanja u minuti N o temperaturi T dana je formulom:
T = 50 + N - 40 4  .
Ana je snimila cvrčka i iskušala formulu, ali rezultat je bio čudan. Dobila je temeperaturu od 62 stupnja. Tek nakon toga primjetila je da je to formula u kojoj je temepratura u Farenheitima te je rezultat 62 ° F .
Pronašla je da je ledište vode 32 ° F , a vrelište 212 ° F .

Pomozite Ani da napravi svoj projekt i odgovorite na sljedeća pitanja.

Ako je t temperatura u ° F , f t = a t + b  temperatura je u ° C , tada koeficijent a označava

null
null

Koeficijent smjera funkcije f  iznosi:

null
null

Temperatura koju je Ana dobila u ° C jednaka je 10 ° C .

null
null

Kada temperatura padne ispod određene vrijednosti cvrčci se više ne glasaju. Odredite koja je to temperatura granična.

null
null
Ako je temepratura 42 ° F , broj glasanja cvrčka u minuti jednak je broju
.
null
null

Pravac regresije

Zadatak 3.

Uprava računalne tvrtke zaključila je da bi boljom reklamom povećala broj svojih klijenata. U tu svrhu odlučili su izraditi reklamne letke. Posao pronalaska tvrtke koja će im to napraviti povjeren je Marinku. Marinko je pronašao tvrtku koja se bavi izradom reklamnih letaka i tablicu kojom su prikazali svoju ponudu.

Broj letaka
Ukupna cijena (u kunama)
50   650
100 1 150
150
1 650
200
2 150  

Kakva je veza između broja letaka i cijene?
Na prezentaciji koju će održati upravi Marinko će morati dati odgovore na neka pitanja.
Na primjer, kolika bi bila cijena za 1 000 letaka.

Prikažemo li podatke iz tablice kao skup točaka u koordinatnom sustavu, dobivene točke neće ležati na pravcu.

null
null

Ako se broj letaka poveća za 50 komada, ukupna cijena povećat će se za

 
kuna. Cijenu i broj komada letaka povezuje
 
funkcija. Cijena tiskanja po jednom letku iznosi
 
kuna, a cijena pripreme za tisak iznosi
 
kuna. Cijena pripreme za tisak jest odsječak na osi
 
na grafu pripadajuće linearne funkcije.
500
10
150
linearna
ordinata
null
null

Cijena tiskanja 1 000 letaka bila bi:

null
null

Ukupna cijena tiskanja x letaka bila bi:

null
null
Tvrtka želi dvostrane letke u boji. Priprema je skuplja za 100 kuna, a cijena tiskanja veća za 5 kuna. Cijena za 1 000 komada iznosi
kuna.
null
null

U zadatku smo tražili vezu između dviju veličina u skupu podataka zadanih tablicom. U koordinatnom smo sustavu taj skup točaka povezali s pravcem koji prolazi kroz sve nacrtane točke. Zaključili smo da je veza između dviju veličina linearna. Na to da je njihova veza linearna, upućuju i konstantne razlike susjednih vrijednosti u tablici.

U realnim okolnostima podatci se ne bi tako savršeno poklopili s linearnom funkcijom. Kod narudžbe za veći broj komada cijena se spušta u određenom postotku, pa cijena i broj komada nisu u savršenom linearnom omjeru. Ipak, vezu možemo aproksimirati linearnom funkcijom te približno odrediti podatke koji nas zanimaju.

Primjer 2.

Pogledajmo tablicu koja prikazuje podatke o bruto domaćem proizvodu po stanovniku (BDP, engl. -  gross domestic product, GDP) za Hrvatsku u periodu od 2000. do 2008. godine, izraženo u USD ( američkim dolarima).

Godina
BDP po stanovniku Republike Hrvatke u USD
2000. 4 919
2001. 5 245  
2002. 6 053
2003. 7 805
2004. 9 365
2005. 10 224  
2006. 11 363  
2007. 13 546
2008. 15 893

Izvor podataka: Svjetska banka

Ucrtajmo podatke u koordinatni sustav, tako da godine budu na osi apscisa, a BDP na osi ordinata.
Brutto domaći proizvod po stanovniku (BDP, engl. - gross domestic product, GDP) za Hrvatsku u periodu od 2000. do 2008. godine
Tehnički crtež brutto domaćeg proizvoda po stanovniku za Hrvatsku u periodu od 2000. do 2008. godine

Nacrtali smo dijagram rasipanja. BDP po stanovniku od 2000. do 2008. godine raste. Je li taj rast linearan? Postoji li pravac, odnosno graf linearne funkcije koji će povezati nacrtane podatke?

Pravac možemo odrediti pomoću tehnologije.

Pravac regresije
Pravac regresije

Kažemo da smo upotrebljavali linearnu regresiju, a dobiveni pravac zovemo pravac regresije.

Pravac regresije

Pravac regresije jest pravac koji najbolje povezuje (aproksimira) zadane točke grafa.

Više je različitih metoda pomoću kojih se može odrediti pravac regresije. Jedna od najčešćih jest metoda najmanjih kvadrata, pomoću koje možemo odrediti koeficijente pravca regresije.

Formule kojima se računaju koeficijenti nešto su složenije, kako za izvođenje tako i za korištenje. Stoga ćemo mi za određivanju pravca regresije koristiti gotove računalne programe.  

Projekt

Na stranicama Državnog zavoda za statistiku u Bazama podataka pronađite podatke koji bi mogli biti linerano povezani.

Prikažite ih grafički, te uz pomoć tehnologije pronađite pravac regresije.

Linearne nejednadžbe s dvije nepozanice

Zanimljivost

Zbog ograničenih sredstva i vremena, oba resursa želimo maksimalno iskoristiti. Kako zamotati što veći broj poklona pomoću ukrasnog papira? Kako najbolje iskoristiti karton koji imamo za izradu kartonske kutije najvećeg volumena? Kako da dobit bude maksimalna? Od produktivnog korištenja vremena do rješavanja problema u lancu opskrbe vaše tvrtke - za sve koristimo optimizaciju.

Linearno programiranje jedan je od najjednostavnijih načina za optimizaciju. Pomaže nam riješiti neke vrlo složene probleme optimizacije. Linearnim programiranjem obrađuju se i analiziraju podatci pomoću numeričke metode za rješavanje problema te se daje odgovarajuća geometrijska interpretacija.

Nešto više o linearnom programiranju pogledajte na linku:

LINEARNO PROGRAMIRANJE

Primjer 3.

Vlasnik tvrtke traži savjetnika za optimizaciju. Na oglas za posao javilo se nekoliko ljudi različitih profila, a među njima ste i vi. Kako bi napravio izbor, zadao vam je problem koji trebate riješiti.

Tvrtka proizvodi hlače i jakne. U izradi koriste dvije vrste materijala: pamuk i viskozu. Pred vama je zadatak sa sljedećim podatcima:

Tvrtka raspolaže sa 750 m 2 pamuka i 1000 m 2 viskoze. Za izradu hlača potrebno je 1 m 2 pamuka i 2 m 2 viskoze, dok se za proizvodnju jakne utroši 1.5 m 2 pamuka  i 1 m 2 viskoze.

Za svake prodane hlače u trgovini tvornica zaradi 50 kuna, a za svaku jaknu 40 kuna.

Koliki je broj hlača i jakni koji se može proizvesti iz materijala sa zaliha, kako bi zarada bila maksimalna?

Najprije trebamo sve podatke zapisati.

Ako broj hlača označimo s x, a broj jakni s y, onda vrijednost zarade možemo prikazati kao funkciju:
f ( x ) =  

x +  
y .
Raspoloživost materijala možemo zapisati u obliku nejednadžbi:
x + 1.5 y
2 x + y  
.
null
null

Moramo također uzeti u obzir da je broj hlača i jakni pozitivan cijeli broj, što zapisujemo ovako: x 0 ,   y 0 .

Prikažimo sada dvije nejednadžbe s dvije nepoznanice grafički u prvom kvadrantu. Zašto?

Grafički prikaz rješenja
 Grafički prikaz rješenja

Sve vrijednosti koje zadovoljavaju ove četiri nejednadžbe s dvije nepoznanice prikazane su u području plavog četverokuta.

Rješenje koje treba ponuditi vlasniku tvrtke jest točka u kojoj se sijeku pravci x + 1.5 y = 750 i 2 x + y = 1000 .

Ta točka ima koordinate 375 , 250  pa je optimalni broj hlača 375 , a jakni 250 .

Prema zadanim podatcima, kombinacija je mogla biti i drugačija. Zarada ne bi bila maksimalna, ali iskorištenost zaliha materijala bila bi u potpunosti zadovoljena.

Uvježbajte rješavanje dviju nejednadžbi s dvjema nepoznanicama u sljedećoj vježbalici.

...i na kraju

Tehniku linearnog programiranja prvi je razvio Leonid Kantorovich 1939. za vrijeme Drugog svjetskog rata. Linearno programiranje korišteno je za optimiziranje troškova i zarade te maksimiziranje štete neprijatelju. U isto vrijeme, neovisno o Kantorivichu, linearnim programiranjem bavio se i američki ekonomist F. L. Hitchcock.

Američki ekonomist G. B. Dantzig 1947. godine predložio je metodu poznatu kao simpleks metoda. To je iterativni postupak za rješavanje bilo kojeg problema linearnog programiranja u ograničenom broju koraka.

Kutak za znatiželjne

Na internetu postoje i simpleks kalkulatori. Jedan se nalazi na linku.

Isprobajte ga na primjeru koji smo riješili.

Povratak na vrh