8.5 Primjena jednadžbe pravca

Što ću naučiti?

primijeniti jednadžbu pravca u modeliranju problema
upotrebljavati digitalne alate za rješavanje problema s pravcima

Samostalno učenje

Procjena znanja

Sadržaj jedinice

Na početku...
Linearna ovisnost u fizici
Određivanje jednadžbe pravca iz grafa
Modeliranje pravcem
...i na kraju
Procjena znanja

Na početku...

Prisjetimo se zakona Charlesa Gay-Lucassa o idealnom plinu: pri stalnom tlaku, volumen određene količine plina zagrijavanjem se pri svakom $° C$ povećava za $\frac{1}{273.15}$ dio volumena koji je plin imao pri $0 ° C .$ Na slici možemo vidjeti kako volumen plina linearno raste kada raste temperatura izražena u $° C .$

Promjena volumena plina u ovisnosti o promjeni temperature u °C

Ako s $T$ označimo temperaturu u Kelvinima ( $K$ ), veza sa $° C$ jest sljedeća: $T = t / ° C + 273.15 .$ Ovisnost volumena plina i temperature u Kelvinima možemo prikazati sljedećim dijagramom.

Promjena volumena plina u ovisnosti o promjeni temperature u K

Zanimljivost

Osim Celzijusa i Kelvina, postoji i Fahrenheitova termodinamička temperaturna ljestvica. Prema toj ljestvici, točka ledišta iznosi $32 ° F,$ a točka vrelišta vode iznosi $212 ° F .$ Usporedimo li razlike između točke vrelišta i ledišta na Fahrenheitovoj ( $180 ° F$ ) i Celzijusijevoj ( $100 ° C$ ) ljestvici, dobijemo da je temperaturna razlika od $1 ° F$ jednaka temperaturnoj razlici od $0.5556 ° C .$

Pogledajte animaciju na wikipediji koja nam prikazuje kako se plin širi zagrijavanjem.
Vrijeme i volumen proporcionalne su veličine. Takve su veličine zapravo linearno ovisne veličine te se grafički prikazuju pravcem.

Istražimo

Pronađite još neke linearno ovisne pojave u prirodi i grafički ih prikažite pravcem.

Linearna ovisnost u fizici

Korelacija

Prisjetimo se jednolikog i jednoliko ubrzanog gibanja po pravcu.

Graf jednolikog gibanja na s, t dijagramu.

Jednoliko gibanje

$s (t) = v \cdot t$

Graf jednolikog gibanja na v, t dijagramu.

Jednoliko gibanje

$v (t) = konst.$

Graf jednolikog gibanja na a, t dijagramu

Jednoliko gibanje

$a = 0$

Graf jednolikog ubrzanog gibanja na a, t dijagramu

Jednoliko ubrzano gibanje

$a (t) = konst.$

Graf jednolikog ubrzanog gibanja na v, t dijagramu

Jednoliko ubrzano gibanje

$v (t) = a t$

Riješite sljedeći linearni problem iz fizike.

Kolekcija zadataka #1

Ana ide u školu pješice. Škola je od kuće udaljena $800 m .$ Krenula je $10$ minuta prije $8$ sati, kada joj počinje nastava. Hoće li Ana zakasniti u školu ako se kreće brzinom od $4 km/h ?$ Rješenje prikažite analitički i grafički (s, t dijagram).

$t = \frac{s}{v} = \frac{0.8}{4} = 0.2 h = 12 \min$

Ana će u školu zakasniti 2 minute.

Kada je Ana trebala krenuti u školu kako bi stigla

3

minute ranije?
Ana je trebala krenuti

Ana hoda

12

min pa od

57 \min

oduzmemo njezino vrijeme hoda.

min

prije

8

sati.

null

Ana obično nakon škole voli prošetati s prijateljicama. Ako šeta istom brzinom kao kada ide u školu, koliko kilometara prijeđe nakon pola sata šetnje?

\frac{8}{5} km= 1.6 km

2 km

\frac{12}{5} km = 2.4 km

3 km

\frac{16}{5} km= 3.2 km

null

Koliko joj minuta treba do prijateljice koja je od nje udaljen $2.5 km ?$

null

Određivanje jednadžbe pravca iz grafa

Primjer 1.

Postotak popunjenosti kapaciteta baterije mobitela prilikom punjenja dan je grafički.

Koliko se dugo puni mobitel ako je stavljen na punjenje s $20 %$ popunjenosti kapaciteta baterije? Prikažite ovisnost postotka popunjenosti o vremenu prilikom punjenja.

Prije samoga rješenja odgovorite na sljedeća pitanja.

Grafički prikaz postotka popunjenosti kapaciteta baterije

U trenutku kada se mobitel počeo puniti kapacitet baterije iznosio je

null

Za koliko je % povećan kapacitet baterije nakon 15 minuta punjenja?

20 %

30 %

40 %

50 %

null

Nakon pola sata punjenja kapacitet baterije iznosi

null

Baterija će biti puna nakon

minuta

punjenja.

null

Koliko se posto baterija napuni za 8 minuta?

16 %

20 %

36 %

24 %

4 %

null

Pogledajte u sljedećem videu kako iz grafa modelirati funkciju te kako riješiti zadatak.

Grafički prikaz prosječne količine prenesenih podataka. — Grafički prikaz prosječne količine prenesenih podataka

Zadatak 1.

Mijenjate računalo i sve svoje podatke s tvrdog diska trebate prebaciti na vanjski tvrdi disk. Imate jedan kod kuće, kapaciteta $100 GB,$ ali je već dijelom punjen. Grafički prikaz pokazuje prosječnu količinu prenesenih podataka s računala na ovaj disk u ovisnosti o vremenu.

Koliko je podataka bilo na disku u trenutku početka prijenosa podataka s računala?
Koja je brzina prijenosa (GB/s)?
Koja je količina podataka prenesena nakon pola minute?
Koliko je vremena potrebno da se napuni disk?
Koliko ste podataka s računala mogli pohraniti na ovom vanjskom disku?
Koja jednadžba pravca predstavlja ovaj graf?

$35 GB$
$10 GB$ u $20 s$ (točke $(10,40) i (30,50)$ ), što znači da se u jednoj sekundi prosječno prenese $0.5 GB$ podataka.
$15 GB$
$130 s$
$65 GB$
$y = \frac{1}{2} x + 35$

Modeliranje pravcem

Primjer 2.

Dvije profesorice na satu dijele jagode za svaki dolazak pred ploču. Kod profesorice Anite svaki učenik dobije $4$ jagode za dolazak pred ploču. Ako je na početku sata imala $100$ jagoda, a na kraju joj je ostalo $20,$ koliko je učenika bilo pred pločom? Jednadžba $y = 80 - 3 x$ prikazuje koliko je jagoda ostalo profesorici Margariti za $x$ dolazaka pred ploču. Koliko jagoda dobije njezin učenik za svaki dolazak pred ploču?

Odgovorite na sljedeća pitanja.

U razredu

Profesorica Anita podijelila je

100 - 20

jagoda.

S obzirom na to da je svaki učenik dobio

4

jagode, pred pločom je bilo

80 : 4

učenika.

null

Odredite linearnu jednadžbu kojom možemo prikazati broj jagoda koje su ostale profesorici Aniti ako je bilo $x$ dolazaka pred ploču.

y = 4 x + 100

y = - 20 x + 100

y = - 4 x + 100

y = 100 + 4 x

null

Kod profesorice Margarite, učenik za svaki dolazak pred ploču dobije

broj kojim množimo

x

jagode.

Na početku sata, profesorica je imala

jagoda.

null

Ako je kod obje profesorice bio isti broj dolazaka pred ploču, koliko je profesorici Margariti ostalo jagoda na kraju sata?

Nijedna

10

20

40

null

Za koliko dolazaka pred ploču profesorice imaju jagoda?

Profesorica Anita ima dovoljno jagoda za

dolazaka

pred ploču, a profesorica Margarita za

dolazaka.

Pomoć:

Rješenja su nultočke, odnosno prvi prirodni broj manji ili jednak nultočki.

Uz pomoć sljedeće interakcije pomicanjem točaka pozicionirajte pravce tako da pravac $a$ predstavlja model dijeljenja jagoda profesorice Anite, a pravac $m$ zadani model profesorice Margarite.

Sljedeće zadatke riješite uz pomoć prethodne interakcije. Oznake pravaca (slova $a i m$ ) početna su slova imena u zadatcima. Točno određeni pravac (pravac određujemo pomicanjem dviju točaka kojima je zadan) mijenja boju i pojavljuje se jednadžba pravca koji je rješenje.

Kolekcija zadataka #2

Marta i Antonija odlučile su praviti ukrasna jaja i prodavati ih. Marta ima $80 kn$ troškova za materijal i svako jaje prodaje po $4 kn .$ Antonijina jednadžba dobiti iznosi: $y = 5 x - 100 .$

Što je varijabla $x,$ a što varijabla $y$ u Antonijnoj jednadžbi: $y = 5 x - 100 ?$
Modelirajte jednadžbu dobiti za Martu.
Koliko jaja moraju prodati jedna i druga da bi pokrile svoje troškove?
Koliko je svaka zaradila ako je prodala $30$ jaja?

$x$ je broj prodanih jaja, a $y$ iznos u kunama koji je Antonija zaradila.
$y = 4 x - 80$
Svaka mora prodati $20$ jaja.
Marta je zaradila $40 kn,$ a Antonija $50 kn .$

Planirate s prijateljima kratku vožnju brodom. Albatros nudi početnu cijenu od $50 kn$ i svaki gost dodatno plaća $10 kn .$ Mornar nema početnu cijenu, već za svakog gosta uzima $20 kn .$

Koliko će vas koštati vožnja kod svakog od brodara ako idete samo s jednim prijateljem? Tko je povoljniji?
Koliko vas treba ići na izlet da cijena bude jednaka kod oba brodara?
Koliko minimalno ljudi treba ići na izlet da bi Albatros bio povoljniji?
Napišite jednadžbe pravaca troška vožnje brodom za $x$ osoba kod oba brodara.

Kod Albatrosa je cijena $35 kn$ po osobi, a kod Mornara $20 kn,$ što je povoljnije.
Za $5$ osoba cijena je jednaka kod oba brodara i iznosi $20 kn$ po osobi.
Ako je više od $5$ osoba, plaćaju manje od $20 kn,$ što je povoljnije nego kod Mornara.
Albatros ... $y = 10 x + 50$ i Mornar ... $y = 20 x$

Ana i Marija spremaju se tijekom ljetnih praznika na moru zaraditi za ekskurziju. Dogovaraju cijenu koju će ponuditi za čišćenje apartmana. Ana predlaže u startu $70 kn$ i za svaki sat po $50 kn .$ Marija kaže da po satu ispod $80 kn$ ne bi htjela raditi. Ako se u prosjeku apartmani čiste $2.5$ sata, čiji je prijedlog isplativiji? Nacrtajte pravce koji modeliraju oba prijedloga.

Marijin je prijedlog za $2.5$ sata rada isplativiji.

Grafički prikaz oba modela pravaca s istaknutim presjekom. — Grafički prikaz oba modela

...i na kraju

Znadete li nacrtati pravac zadan nagibom i jednom točkom?

Prisjetimo li se formule za nagib pomoću dvije točke, $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}},$ vidimo da je u brojniku razlika između ordinata zadanih točaka pravca, a u nazivniku razlika između apscisa tih točaka. Iskoristimo tu činjenicu tako da nam jedna točka bude odsječak na osi $y, (0, l)$ . Pogledajte animaciju kako nacrtati pravac iz eksplicitno zadane jednadžbe pravca.

Obrnut postupak možemo koristiti za određivanje jednadžbe pravca iz grafa.

8.5 Primjena jednadžbe pravca

Na početku...

Zanimljivost

Istražimo

Linearna ovisnost u fizici

Korelacija

Kolekcija zadataka #1

Određivanje jednadžbe pravca iz grafa

Primjer 1.

Zadatak 1.

Modeliranje pravcem

Primjer 2.

Kolekcija zadataka #2

...i na kraju

Procijenite svoje znanje

MOJE ZNANJE

Uspješno ste usvojili sve odgojno-obrazovne ishode:

Potrudite se još malo kako biste bolje usvojili sljedeće odgojno-obrazovne ishode:

Trebali biste ponovno proći sljedeće jedinice: