x
Učitavanje

7.3 Okomitost pravaca i ravnina u prostoru

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

U svijetu oko nas okruženi smo raznim običnim i neobičnim građevinama. One su omeđene većim ili manjim dijelovima ravnih i/ili zakrivljenih ploha, a neke od njih povezane su „dijelovima pravaca“.

Za početak, kratki podsjetnik na dosad naučeno.

Položaj dvaju pravaca u ravnini

Dva pravca u ravnini mogu se podudarati (imati sve zajedničke točke), biti međusobno paralelni (nemati zajedničkih točaka) ili se sjeći (biti ukršteni, imati jednu zajedničku točku). Poseban su slučaj ukrštenih pravaca pravci koji su međusobno okomiti.

Zanimljivost

Na slici je ravnina R i pravci p i r u toj ravnini. Pravac r je paralelan s pravcem p i prolazi točkom T.

Ako se točka T i pravac p nalaze u istoj ravnini, onda se točkom T može nacrtati točno jedan pravac r paralelan s pravcem p . Ta je činjenica temelj tzv. Euklidske geometrije.

Na slikama su mogući položaji dvaju pravaca u ravnini (pravci koji se podudaraju, koji su usporedni, koji se sijeku i koji su međusobno okomiti.

 ​

Položaj dvaju pravaca u prostoru

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno paralelni (usporedni) ako pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Na fotografiji su istaknuti paralelni pravci.

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno ukršteni ili da se sijeku ako pripadaju istoj ravnini i imaju jednu zajedničku točku.

Na fotografiji su istaknuti ukršteni pravci.

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno mimosmjerni ili mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ako ne postoji ravnina koja te pravce sadrži.

Na fotografiji su prikazani mimosmjerni pravci.

Zanimljivost

Promotrite mimoilazne pravce iz različitih perspektiva pomoću sljedeće interakcije.

Na slici je kvadar ABCDEFGH.

U kakvom položaju mogu biti dva pravca u prostoru?

Da bismo odgovorili na ovo pitanje često ćemo se služiti modelom kvadra.

Zadatak 1.

  1. Promotrite slike pa svakom opisu pridružite oznaku (slovo) navedeno uz sliku.

    pravci u prostoru

    Istaknuti se pravci sijeku, ali nisu okomiti.
    c
    Istaknuti su pravci međusobno okomiti.
    d
    Istaknuti su pravci mimosmjerni.
    b
    Istaknuti su pravci međusobno paralelni.
    a

    null
    null
  2. Razvrstajte pravce određene vrhovima kvadra A B C D E F G H prema njihovu položaju u odnosu na pravac D H .

    Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH  s istaknutim pravcem DH.


    B D

    Paralelni s pravcem D H

    Sijeku pravac D H

    Mimosmjerni pravcu D H

     

    null
  3. Na slici je kvadar A B C D E F G H i na kvadru istaknut pravac B D . Spojite parove pravca i njegova položaja s obzirom na istaknuti pravac.

    Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i pravac BD.

    pravac H F
     mimosmjeran s pravcem B D
    pravac G D  
    siječe pravac D B u točki B
    pravac E G
    siječe pravac D B u točki D
    pravac B H
    paralelan s pravcem D B

     

Okomitost pravca na ravninu

Ako pravac i ravnina imaju dvije zajedničke točke, onda taj pravac pripada ravnini.

Fotografija olovke na papiru - model pravca koji pripada ravnini.

Ako pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka, onda je taj pravac paralelan s ravninom.

Fotografija prikazuje rublje na konopu usporednom s cestom.

Zanimljivost

Tipka za rotaciju

Pomoću sljedećeg interakcije istražite uvjet paralelnosti pravca i ravnine. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos pravca i ravnine mogli vidjeti iz različitih perspektiva.

Ako pravac i ravnina imaju jednu zajedničku točku, onda kažemo da taj pravac probada ravninu.

Točku u kojoj pravac probada ravninu nazivamo probodištem.

Fotografija prikazuje olovku i papir, olovka je u kosom položaju prema ravnini papira.

Primjer 1.

Nacrtan je kvadar ABCDEFGH i istaknuta ravnina ABC. Na slici je pravac AE i istaknut je njegov položaj (okomitost) u odnosu na ravninu ABC.
  1. Pravac A E probada ravninu A B C u točki A .
  2. Pravac A E pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) A B F pa je A E okomit na A B .
  3. Pravac A E pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) A D H pa je A E okomit na A D .
  4. Pravac A E pripada ravnini (koju određuje pravokutnik) A C G pa je A E okomit na A C .

Pravci A B , A D i A C pripadaju ravnini A B C , a pravac A E okomit je na svakoga od njih.

Ako pravac probada ravninu i okomit je na sve pravce te ravnine koji prolaze probodištem, onda kažemo da je taj pravac okomit na ravninu.

Na slici je kvadar ABCDEFGH i pravac AE okomit na ravninu ABC(D)

Dakle, pravac A E okomit je na ravninu A B C .

Fotografija prikazuje uličnu svjetiljku.

Zanimljivost

Tipka za rotaciju

Pomoću sljedeće interakcije istražite uvjet okomitosti pravca i ravnine. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos pravca i ravnine mogli vidjeti iz različitih perspektiva.

Svakako pogledajte i videoisječak koji se osvrće na nedovoljan uvjet okomitosti pravca i ravnine te promatranjem iz svih perspektiva proučite zbog čega je nedovoljan.

Pri vizualizaciji položaja pravca i ravnine u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.

Zadatak 2.

  1. Promotrite nacrtane slike. Koje su od sljedećih tvrdnji istinite?

    Slika prikazuje položaj pravaca u odnosu na ravninu koja sadrži stranu ADHE kvadra ABCDEFGH.

     

    Postupak:

    Pravac A E pripada ravnini A D H .

    Pravac G H probada ravninu A D H u točki H i okomit je na nju.

    Pravac C F paralelan je s ravninom A D H .

  2. Promotrite sliku. Kojim ravninama određenima vrhovima kvadra A B C D E F G H pripada pravac A E ?

    Slika prikazuje pravac AE na kvadru ABCDEFGH.

  3. Pravci određeni vrhovima kvadra A B C D E F G H koji prolaze točkom A i pripadaju strani A B C su

    Na slici je kvadar ABCDEFGH.

Zadatak 3.

Pomoću sljedeće interakcije dodatno istražite položaje dvaju pravaca u prostoru. Za odabir pravca, označite dvije njegove točke.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 4.

Uvježbajte određivanje pravaca okomitih na zadani pomoću sljedeće interakcije.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

  1. Na slici je kvadar A B C D E F G H i na crtežu je istaknuta ravnina C D H . Koji su pravci određeni vrhovima kvadra okomiti na tu ravninu?

    Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i ravninu CDH.

    null

    Postupak:

    Slika prikazuje pravce okomite na ravninu CDH.

     ​

  2. Na koje je ravnine određene vrhovima kvadra okomit pravac C D ?

    Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i pravac CD.

    null

    Postupak:

    Slika prikazuje pravac CD na modelu kvadra i ravnine na koje je okomit.

     ​

Okomitost dviju ravnina

Zadatak 6.

Na slici je kvadar ABCDEFGH.

Koliko zajedničkih točaka mogu imati dvije (različite) ravnine u prostoru? Promotrite model kvadra i riješite sljedeće zadatke.

  1. Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine B C G i A D H ?

    Pomoć:

    paralelene ravnine
     


     

  2. Koliko zajedničkih točaka imaju ravnine A B F i A B G ?

    Pomoć:

    ravnine koje se sijeku

     ​

    Postupak:

    Ravnine imaju beskonačno mnogo zajedničkih točaka jer imaju zajednički pravac.

Ako dvije ravnine nemaju zajedničkih točaka, onda su te ravnine međusobno paralelne.

Primjer 2.

Prikazana su tri para paralelnih ravnina na modelu kvadra.

Parovi ravnina kojima pripadaju nasuprotne strane kvadra (kocke) međusobno su paralelne.

Fotografija stubišta - primjer paralelnih ravnina u svakodnevnom životu.

Ako dvije ravnine imaju dvije zajedničke točke, onda im je zajednički pravac koji je određen tim točkama. Kažemo da se te dvije ravnine sijeku po pravcu.

Taj pravac nazivamo presječnicom ravnina.

Primjer 3.

Na kvadru ABCDEFGH istaknute su ravnine ABF(E) i ABG(H). Te se ravnine sijeku po pravcu AB.

Ravnine A B F i A B G sijeku se po pravcu A B .

Pravac A B je presječnica ravnina A B F i A B G .

Slika prikazuje otvorenu knjigu - listovi knjige prikazuju ravnine koje se sijeku po pravcu.

Primjer 4.

Zadan je kvadar A B C D E F G H . U kakvu su položaju ravnine:

  1. B C H i E F G
  2. A B G i B C G
  3. B C H i A D G
  4. A B F i B C G ?
Slike na modelima kvadra prikazuju parove ravnina koje se sijeku po pravcu.

Promotrimo li nacrtane slike, lako je vidjeti da se parovi zadanih ravnina sijeku. Presječnice su istaknute na slikama.


Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i međusobno okomite ravnine kojima pripadaju susjedne strane kvadra.

Posljednji se zadatak od prethodna tri razlikuje po tome što ravninama A B F i B C G pripadaju dvije susjedne strane kvadra, tj. one su međusobno okomite.

Uočite na slici pravac A B . Taj pravac pripada ravnini A B F i probada ravninu B C G u točki B . Pravac A B okomit je na pravac B F koji pripada ravnini B C G te je okomit na ravninu B C G .

Uočite i pravac B C . Taj pravac pripada ravnini B C G i probada ravninu A B F u točki B . Pravac B C je okomit na pravac B F koji pripada ravnini A B F te je okomit na ravninu A B F .

Ako se dvije ravnine sijeku po pravcu i ako u jednoj ravnini postoji pravac okomit na drugu ravninu, onda kažemo da su te ravnine međusobno okomite.

Primjer 5.

Slike prikazuju međusobno okomite ravnine na modelu kvadra.

Ravnine kojima pripadaju parovi susjednih strana kvadra (kocke) međusobno su okomite.

Zadatak 7.

Pomoću sljedeće interakcije  istražite koje su ravnine određene vrhovima kvadra A B C D E F G H okomite na ravninu A D H .

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 8.

Uvježbajte određivanje ravnina okomitih na zadanu pomoću interakcije.

Povećaj ili smanji interakciju

Zanimljivost

Tipka za rotaciju

Pomoću sljedeće interakcije istražite uvjet okomitosti dviju ravnina. Odabirom prikazane ikone otvara se padajući izbornik iz kojeg je potrebno odabrati opciju Rotiraj 3D grafički prikaz kako biste odnos dviju ravnina mogli vidjeti iz različitih perspektiva.


U boljem razumijevanju položaja dviju ravnina u prostoru pomoći će vam sljedeća animacija.

Položaji dviju ravnina u prostoru na modelu kocke

Zadatak 9.

Na slici je kvadar ABCDEFGH.

Koristeći nacrtani model kvadra A B C D E F G H , riješite zadatke.

  1. Ravnina A C G okomita je na ravninu A B C .

    null

    Postupak:

    Pravac A E pripada ravnini A C G i okomit je na ravniu A B C jer je okomit na sve pravce ravnine A B C koji prolaze probodištem A .

    okomite ravnine

  2. Koja od ravnina nije okomita na ravninu B C G ?

    Pomoć:

    ravnina BCG

     ​

    Postupak:

    ravnina ABG je okomita na BCG

     ​Ravnina A B G je okomita na ravninu B C G .

Pravci i ravnine u prostoru - u realnom svijetu nije sve baš okomito

 ​

...i na kraju

U ovoj ste jedinici naučili odrediti je li pravac i/ili ravnina okomit na zadanu ravninu, nacrtati pravce određene zadanim točkama koji su okomiti na zadanu ravninu te ravnine koje su okomite na zadanu ravninu, ispisati pravce određene zadanim točkama koji su okomiti na zadanu ravninu te ravnine koje su okomite na zadanu ravninu i rješavati problemske zadatke primjenom okomitosti pravca i ravnine u prostoru i/ili okomitosti dviju ravnina.

Usvojena znanja možete provjeriti rješavajući zadatke koji slijede.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Na slici je kvadar A B C D E F G H . Spojite parove međusobno okomitih pravaca određenih vrhovima kvadra pri čemu se pravci sijeku u vrhu kvadra.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

  G E
  D H
D A
G C
  F H
  A B
F B
  E A
null
null
2

Razvrstajte zadane pravce određene vrhovima kvadra A B C D E F G H s obzirom na to na koju su ravninu okomiti.

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH.

  F E

 Pravci okomiti na ravninu A D H

Pravci okomiti na ravninu E F G

null
3

Koliko je pravaca određenih vrhovima kocke A B C D E F G H okomito na ravninu A C G ?

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH.

null

Postupak:

Slika prikazuje kvadar ABCDEFGH i ravninu ACG te pravce BD i FH.

 ​

4

Koji su parovi ravnina određeni vrhovima kocke A B C D E F G H međusobno okomiti?

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH.

null
5

Pravci E B i A F određeni su vrhovima kocke A B C D E F G H . Jesu li ti pravci međusobno okomiti?

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH.

null
null
6

Zadana je kocka A B C D E F G H . Koje su ravnine određene vrhovima te kocke okomite na ravninu A D H ?

Slika prikazuje kocku ABCDEFGH.

null
null
7Promotrite sliku i odredite koje su ravnine okomite na ravninu A B C .
Slika prikazuje piramidu ABCDE.

null
null
8

Promotrite sliku i odredite ravnine koje su okomite na ravninu A B C .

Slika prikazuje piramidu ABCDV.

null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

7.4 Ortogonalna projekcija