x
Učitavanje

7.2 Međusobni položaji pravaca i ravnina u prostoru

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje  grafiku Slap. Autor je Maurits Cornelis Escher
Escher izvor: „Water fall - MC Escher“, autor: Andréia Bohner, https://www.flickr.com/photos/deia/11146120 CC BY 2.0. Slika je uvećana (CC BY 2.0).
Promotrite sliku. Ona prikazuje jednu konstrukciju u prostoru. Na prvi pogled, to je obična slika, no, pri pomnijem gledanju, uočit ćemo neke neobične dijelove. Možete li opisati što je neobično i gdje je neobično?

Zanimljivost

Više ovakvih neobičnih slika pronaći ćete na poveznici.

Pravci u ravnini

Neka je ravnina u kojoj promatramo pravce crtaća ravnina.

Pravci u ravnini mogu biti:

  1. Paralelni (usporedni) pravci, na slici, p q

    • paralelni pravci nemaju zajedničkih točaka
  2. Pravci koji se podudaraju, na slici u = v

    • pravci koji se podudaraju imaju sve točke zajedničke, oni su isti
  3. Pravci koji se sijeku, na slici pravci m i n , čiji je presjek točka P

    • pravci koji se sijeku imaju jednu zajedničku točku
  4. Poseban položaj pravaca koji se sijeku su Okomiti pravci, na slici, q t .

Otkrijmo kakve međusobne položaje mogu imati tri ravnine.

Kako želimo proučavati međusobne položaje pravaca u prostoru, a ne samo u ravnini, poslužit ćemo se modelom prostora na kvadru.

Pravce ćemo imenovati vrhovima kvadra koji pripadaju zadanom pravcu.

Primjer 1.

Slika prikazuje kvadar s istaknuta tri brida koji se ijeku pod pravim kutem, a spajaju se u jednoj točki

U vrhovima kvadra bridovi se, po dva, spajaju pod pravim kutom.

Naveden je primjer za vrh B :

A B B C , F B B C i A B B F

Primjer 2.

Slika prikazuje istaknuta tri para nasuprotnih paralelnih strana kvadra

Nasuprotne strane su paralelni i sukladni pravokutnici, 3 para sukladnih pravokutnika.

Primjer 3.

Slika prikazuje kako su nasuprotni bridovi kvadra sukladni i usporedni

Svi nasuprotni bridovi su sukladni i paralelni.

Slika prikazuje metalnu konstrukciju građevine
Metalna konstrukcija građevine

Pravci u prostoru koji sadrže bridove kvadra

Primjer 4.

Na slici je prikazan model prostora s istaknutim pravcem AB

Na modelu prostora zadan je pravac A B . Odredimo pravce određene vrhovima kvadra koji su paralelni s pravcem A B .

Na slici su prikazani pravci usporedni s pravcem AB, CD, EF i GHpravci i prostor

Odredimo odnose među istaknutim pravcima.

S pravcem A B paralelni su pravci C D , E F i G H .

Zapisujemo: A B D C , A B E F i A B G H .


Zadatak 1.

U sljedećoj interakciji odredi usporedne (paralelne) pravce određene vrhovima kvadra. Točnost provjerite odabirom gumba Provjerite.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Promotrite sliku i odgovorite.

  1. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

    Na slici su istaknuti paralelni pravci FB i HD

    null
    null
  2. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

    Na slici su istaknuti paralelni pravci EH i BC.

    null
    null
  3. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

    Na slici su istaknuti paralelni pravci BF i GC.

    null
    null
  4. Na slici su istaknuti paralelni pravci.

    Na slici su istaknuti paralelni pravci HD i FG.

    null
    null

Primjer 5.

Na slici su na modelu prostora, kvadru, istaknuti pravac AB i njemu okomiti pravci AE i BF

Na modelu prostora zadan je pravac A B .

Odredimo pravce određene vrhovima kvadra koji su okomiti na pravac A B .

Tražimo pravce koji sijeku pravac A B i okomiti su na njega.

To su dva pravca, A E i B F .

Zadatak 3.

Promotrite sliku i odgovorite.

  1. Jesu li istaknuti su pravci na slici okomiti?

    Na slici su  istaknuti su pravci  HG i GC okomiti.


    null
    null
  2. Jesu li istaknuti su pravci na slici okomiti?

    Na slici su  istaknuti su pravci EH i HD  okomiti.


    null
    null
  3. Jesu li istaknuti su pravci na slici okomiti?

    Na slici su  istaknuti pravci HD i EF koji nisu  okomiti.


    null
    null
  4. Jesu li istaknuti su pravci na slici okomiti?

    Slika prikazuje pravce BF i HG koji nisu okomiti


    null
    null

Pravci u prostoru koji ne sadrže bridove kvadra

Kada su pravci određeni susjednim vrhovima kvadra, relativno je lako odrediti usporednost ili okomitost.

Promatrat ćemo odnose među pravcima kada nisu oba zadana susjednim vrhovima kvadra.

Primjer 6.

Slika prikazuje usporedne pravce AC i EG na modelu prostora

Promotrimo pravce A C i E G . Ti pravci su primjer para pravaca određenih nesusjednim (nasuprotnim) vrhovima kvadra. Prema slici, pravci A C i E G su paralelni; A C E G .

Primjer 7.

Slika prikazuje okomite pravce AE i EG  na modelu prostora

Promotrimo par pravaca A E i E G . Prema slici pravci A E i E G su okomiti; A E E G .

Zadatak 4.

U sljedećoj interakciji odredite okomite pravce. Ispravnost provjeri odabirom gumba Provjerite.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 5.

Riješite kviz o paralelnosti i okomitosti pravaca.

  1. Ispišite sve pravce određene vrhovima kvadra paralelne s istaknutim pravcem G B .
    Na slici je u kvadru istaknut pravac BG
     
    null
    null
  2. Odaberite par pravaca određenih vrhovima kvadra okomite na istaknuti pravac A H .

    Na slici je u kvadru istaknut pravac AH

    null
    null
  3. Pravci određeni vrhovima kvadra okomiti na pravac E D su pravci:

    Na slici je u kvadru istaknut pravac ED

    null
    null
  4. Pravci određeni vrhovima kvadra paralelni s pravcem D G su pravci:

    Na slici je u kvadru istaknut pravac DG

    null
    null

Zadatak 6.

Na slici je prikazana kocka s istaknutim pravcem FC

Na modelu kocke odredite sve pravce određene vrhovima te kocke okomite na istaknuti pravac F C .

Na slici su prikazani pravci određeni vrhovima kvadra okomiti na pravac FC

Prema slici, pravci okomiti na pravac F C su pravci E F i D C .


Zadatak 7.

Na slici je prikazana kocka s pravcima na prostornim dijagonalama DF i HB

Jesu li pravci F D i H B na modelu kocke međusobno okomiti? Obrazložite.

Na slici je prikazan dijagonalni presjek DBF kocke s pravcima FD i BH.

Otkrijmo kakve međusobne položaje mogu imati tri ravnine.

Prema slici, istaknuti lik je pravokutnik jer su F B ¯ B D ¯ i H D ¯ B D ¯ te su F B ¯ H D ¯ .

Dužine H F ¯ i D B ¯ su dijagonale kvadrata i nikako ne mogu biti jednake duljine kao F B ¯ i H D ¯ koje su stranice kvadrata.

Pravci F D i H B sadrže dijagonale tog pravokutnika, a dijagonale pravokutnika nisu međusobno okomite. ​


Međusobni položaji pravca i ravnine u prostoru

Promotrimo međusobne položaje istaknutih pravaca s ravninom A B C na modelu prostora.

Pravac i ravnina mogu biti:

  1. Pravac pripada ravnini, na slici A C , A B , A D A B C

    • zajedničke točke pravca i ravnine kojoj pravac pripada su sve točke tog pravca​
  2. Pravac i ravnina se sijeku, na slici ravnina i pravac A B C i A G , čiji je presjek točka A

    • poseban položaj ravnine i pravca koji se sijeku, okomitost ravnine i pravca na slici, A B C ​ i A E
    • pravac i ravnina koji se sijeku imaju jednu zajedničku točku ​
  3. Pravac i ravnina su paralelni, na slici, A B C E G , A B C E F , A B C E H

    • paralelni pravac i ravnina nemaju zajedničkih točaka.
Ravnine se zidova, istaknute žuto, sijeku.

Paralelnost (usporednost) pravca i ravnine

Primjer 8.

Na slici je prikazana ravnina ABC na modelu prostora

Odredimo na modelu prostora sve pravce određene vrhovima kvadra paralelne s ravninom A B C .

Slika prikazuje koji su Pravci određeni vrhovima kvadra usporedni s ravninom ABC:  FB, BC, CG, GF, FC i GB.

Pravci određeni vrhovima kvadra paralelni s ravninom A B C su:

E F , F G , G H , H E , E G i F H .


Pravac i ravnina su paralelni ako nemaju zajedničkih točaka.

Zadatak 8.

U sljedećem kvizu uvježbajte uočavati pravce paralelne sa zadanom ravninom.

  1. Na modelu prostora istaknuta je ravnina A B C . Pravci paralelni s ravninom A B C su:

    Na modelu prostora istaknuta je ravnina ABC


    null
    null
  2. Na modelu prostora istaknuti su pravci. Odaberite ravninu određenu vrhovima kvadra s kojom su oni svi paralelni.

    Na modelu prostora istaknuti su pravci AB, BC, CD, DA, AD i BD


    Na slici je istaknuta ravnina BCG

    Na slici je istaknuta ravnina DBF

    Na slici je istaknuta ravnina EFG

    null
    null
  3. Na modelu prostora istaknuta je ravnina A B G . Pravci paralelni s ravninom A B G su:

    Na modelu prostora istaknuta je ravnina ABG

    null
    null
  4. Na modelu prostora istaknuta je ravnina B C H . Pravci paralelni s B C H ravninom su:

    Na modelu prostora istaknuta je ravnina BCH


    null
    null

Presjek pravca i ravnine

Na fotografiji je prikazana meta
Slika prikazuje kako je točka A je probodište pravca AG u ravnini ABC

Promotrimo na modelu prostora pravac A G i ravninu A B C .

Pravac A G i ravnina A B C imaju jednu zajedničku točku, točku A .

Zajednička točka pravca i ravnine je mjesto presjeka pravca i ravnine.

Tu točku nazivamo probodište.

Točka A je probodište pravca A G i ravnine A B C .

Probodište je točka u kojoj pravac probada ravninu.

Zadatak 9.

U sljedećem zadatku uvježbajte određivanje probodišta pravca i ravnine.

  1. Na slici su istaknuti ravnina i pravac. Spojite sliku i odgovarajuće probodište.

    Na slici su istaknuti ravnina BEH i pravac EF
    Na slici su istaknuti ravnina ADFi pravac AB

     ​
    Na slici su istaknuti ravnina ABG i pravac BF
     
    Na slici su istaknuti ravnina ADG i pravac DH
    null
  2. Koristeći model prostora, odredite probodište ravnine B C G i pravca E F .
    Na slici je model prostora-kvadar.

    Pomoć:

     ​

    Na slici je prikazan presjek ravnine BCG i pravca EF

     

  3. Koristeći model prostora, odredite probodište ravnine D C G i pravca E H .
    Na slici je model prostora-kvadar

    Pomoć:

    Na slici je prikaz ravnineravnine DCG i pravca EH.

     ​

  4. Koristeći model prostora, odredite probodište ravnine G F E i pravca B H .
    Na slici je model prostora-kvadar

    Pomoć:

     ​

    Na slici je prikaz ravnine GFE i pravca BH.

     

Pripadnost pravca ravnini

Slika prikazuje kako ravnini ABC pripada šest pravaca određenih vrhovima kvadra: AB, BC, CD, DA, AC i BD.

Znamo:

Proučimo pravce i ravninu određene vrhovima kvadra koji predstavlja model prostora.

Ravnini A B C pripada šest pravaca određenih vrhovima kvadra: A B , B C , C D , D A , A C i B D .

Svi su oni određeni vrhovima kvadra koji pripadaju ravnini A B C .

Pravac pripada ravnini ako toj ravnini pripadaju njegove bilo koje dvije točke.

Zadatak 10.

Ispitajte odnose pravca i ravnine.

  1. Na slici je pravac AG

    Pravac A G pripada ravnini .

    null
    null
  2. Na slici je prikazan pravac BG

    Pravac B G pripada ravnini , a paralelan je s ravninom  .

    null
    null
  3. Na slici je prikazan pravac DG

    Pravac D G paralelan je s ravninom  , a pripada ravnini  .

    null
    null
  4. Pravac pripada ravnini

    Na slici je prikazan pravac AE


    null
    null
  5. Pravac A E siječe ravninu

    Na slici je prikazan pravac AE


    null
    null

Mimoilazni ili mimosmjerni pravci

Slika prikazuje primjenu mimoilaznosti u regulaciji prometa- cesta i nadvožnjak iznad nje
Primjena mimoilaznosti u regulaciji prometa, cesta i nadvožnjak mimoilazan s njom

Primjer 9.

Na modelima prostora istaknuta su po dva pravca.

Na prvom modelu pravci se sijeku, na drugom se sijeku pod pravim kutom (međusobno su okomiti), a na trećem međusobno paralelni.

Što je zajedničko parovima pravaca?

Oba pravca na svakom modelu, bez obzira na međusobni položaj, pripadaju istoj ravini.

Primjer 10.

Slika prikazuje pravce EF i BC koji su mimoilazni
Mimoilazni pravci

Promotrimo pravce na slici.

Možemo li odrediti takvu ravninu da joj oba istovremeno pripadaju?

Pravac E F pripada ravninama A B F i E F G , na slici obojene žutim nijansama.

Pravac B C pripada ravninama A B C i B C G , na slici obojene zelenim nijansama.

Pravci E F i B C ne pripadaju istoj ravnini.

Oni se:

  • ​ne sijeku
  • nemaju zajedničkih točaka
  • nisu međusobno okomiti
  • nisu međusobno paralelni.

Za pravce E F i B C kažemo da su  su mimoilazni ili mimosmjerni .

Za dva pravca u prostoru kažemo da su međusobno mimosmjerni ili mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ako ne postoji ravnina koja te pravce sadrži.

Zadatak 11.

Odredite mimoilazne pravce.

Povećaj ili smanji interakciju

Međusobni položaji pravaca u prostoru su: paralelni pravci, pravci koji se sijeku i mimoilazni pravci.

Zadatak 12.

Odredite međusobne položaje zadanih pravaca u prostoru na modelu kvadra.

  1. Istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra

    Na slici su istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra BC i CG
     .

    null
    null
  2. Istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra

    Na slici su istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra EF i GC
    .

    null
    null
  3. Istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra

    Na slici su istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra EC i CG
     .

    null
    null
  4. Istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra
    Na slici su istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra AB i BF
     .

    null
    null
  5. Istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra
    Na slici su istaknuti pravci na modelu prostora određeni vrhovima kvadra AE i DH
     .

    null
    null
  6. Odredite položaje pravaca određene vrhovima kvadra s obzirom na istaknuti pravac H D te dovucite zadane elemente na odgovarajuće mjesto.

    Na slici je istaknuti pravac HD


    C G

    Paralelni pravci
     

    Okomiti pravci

    Mimoilazni pravci

    null

    Postupak:

    rješenje

     ​

  7. Odredite položaje pravaca određene vrhovima kvadra s obzirom na istaknuti pravac E F
    te dovucite zadane elemente na odgovarajuće mjesto.

    Na slici je istaknut pravac EF


      B F

    Pravci se sijeku

    Mimoilazni pravci

    Paralelni pravci

    null
  8. Odredite položaje pravaca određene vrhovima kvadra s obzirom na istaknuti pravac A D te dovucite zadane elemente na odgovarajuće mjesto.

    Na slici je istaknut pravac AD


      H D  

    Mimoilazni pravci

    Paralelni pravci

    Okomiti pravci

    null
    null

Međusobni položaji ravnina u prostoru

Kuća s usporednim krovovima

Uočimo međusobne položaje:

Ravnine su krovova, istaknute crveno, paralelne.

Ravnine se zidova, istaknute žuto, sijeku.

Dvije ravnine u prostoru mogu biti:

  1. Paralelne ravnine

    • usporedne ravnine nemaju zajedničkih točaka
  2. Ravnine koje se sijeku

    • posebni položaj ravnina koje se sijeku su međusobno okomite ravnine
  3. Ravnine koje se podudaraju

    • ravnine koje se podudaraju imaju sve točke zajedničke.​

Primjer 11.

Na slici su prikazane paralelne ravnine

Uočimo i zapišimo međusobno paralelne ravnine na modelu prostora.

Ravnine​ A B C i   E F G   paralelne su, A B C E F G .

Ravnine A D H i B C G   paralelne su, A D H B C G .

Ravnine​ A B F i D C G paralelne su, A B F D C G .

Paralelne ravnine: Paralelne ravnine nemaju zajedničkih točaka.

Zadatak 13.

Otkrijte Paralelne (usporedne) ravnine.

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 12.

Na slici su prikazan parove ravnina BCG i EFG koje se sijeku okomito  te ADH i DBF  koje se sijeku

Uočimo parove ravnina B C G i E F G te A D H i D B F na modelima prostora.

Oba se para ravnina sijeku.

Ravnine B C G i E F G   sijeku se pod pravim kutom, B C G E F G ​.

Zadatak 14.

Otkrijte međusobno okomite ravnine.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 15.

Odredite međusobne položaje ravnina u prostoru.

  1. Ravnine B F G i A D H
    Na modelu prostora prikazane su ravnine EAD, FAD i BFG

     
    , a ravnine B F G i A D G  
     
     .

     se sijeku
    su paralelne

    null
    null
  2. Zadana je ravnina E H D . Ravnine određene vrhovima kvadra koje sijeku zadanu ravninu su

    Na modelu prostora istaknuta je ravnina ADH

    null
    null
  3. Ravnina paralelna s ravninom D C G je
    Na slici je prikaz modela prostora-kvadar
     .
    null
    null
  4. Istaknuta ravnina siječe se sa
    Na modelu prostora istaknuta je ravnina DBF
     ravnina određenih vrhovima kvadra.
    null
    null
  5. Ravnina C H E okomita je na

    Na modelu prostora istaknuta je ravnina BCH
    ravnine, siječe se sa ravnina, a paralelna je s ravnina određenih vrhovima kvadra.

    null
    null

Zadatak 16.

Na modelu prostora prikazana je ravnina ABG

Odredite sve ravnine određene vrhovima kvadra koje sijeku ravninu A B G .

Ravnine koje sijeku ravninu A B G su: B C G , B C D , A D H , D C G , E F G i A B F .


Presjek dviju ravnina

Keopsova piramida
Izvor: Keopsova piramida u Gizi u Egiptu stara oko 4 500 godina „The Great Pyramid of Giza (Pyramid of Cheops or Khufu)“, autor Jorge Láscar, https://www.flickr.com/photos/jlascar/14823042753/in/photostream/ CC BY 2.0. Slika je izrezana i dodani su geometrijski elementi (CC BY 2.0).

Primjer 13.

Slika prikazuje kako je presjek ravnina ABF i FBC pravac BF.

Promotrimo istaknute ravnine na modelu prostora.

Ravnine se A B F i F B C na slici sijeku.

Odredimo što je presjek tih dviju ravnina.

Presjek ravnina A B F i F B C je pravac B F .

Presjek je dviju ravnina pravac.

  1. Odredite presjeke zadanih ravnina.

    Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine ABC i EBC
     .
    null

    Postupak:

     ​

    Slika prikazuje model kocke, ravnine ABC i BCE i njihov presjek pravac BC

  2. Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine BCD i DCF

    null
  3. Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac
    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine EAD i EDC
     .
    null

    Postupak:

    Na slici je prikaz modela prostora s isatknutim ravninama EDC i EAD s njihovim presjekom pravcem ED

     ​

  4. Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine HCB i HDC


    null
  5. Na kojoj je slici prikazan presjek ravnina H A B i C G F ?

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine ABC i EBC

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine HGC i EHC

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine ABC i BCG

    Na modelu prostora, kocki istaknute su ravnine EHD i EDC

    null
  6. Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac
    Na slici su prikazane ravnine ADH i BDH koje se sijeku
     .

     

    Postupak:

    Na slici su, namodelu prostora, prikazane ravnine EHD i FHD te njihov presjek pravac DH

     ​

  7. Presjek istaknutih ravnina na slici je pravac

    Na slici je prakaz ravnina EAB i ABC

  8. Pravac određen vrhovima D C je presjek ravnina

    Na slici je prikaz modela prostora-kvadar


    Pomoć:

    Na slici je prikazan pravac određen vrhovima DC  koji je presjek dviju istaknutih ravnina

     ​

    Postupak:

     ​

  9. Koristeći model prostora, spojite ravnine i njihov presjek.

    Na slici je prikaz ravina EFC i FBC
    Na slici je prikaz ravnina ACG i ABC

     ​
    Na slici je prikaz ravnina ADH i BDH

     ​
    Na slici je prikaz ravnina ADG i DCG
  10. Koje ravnine određene vrhovima kvadra za presjek imaju pravac koji nije određen vrhovima kvadra?

    Na slici je model prostora -kvadar


Zanimljivost

Otkrijmo kakve međusobne položaje mogu imati tri ravnine.

Primjena znanja o međusobnim položajima pravaca i ravnina u prostoru

Zadatak 17.

Na slici je prikazan tetraedar.

Na slici je tetraedar. Ima četiri vrha. Ispišite mimoilazne pravce određene njegovim vrhovima.

Na slici je tetraedar čiji su parovi bridova:AB i CD  BC i AD  BD i AC  mimoilazni

Mimoilazni su pravci:

A B i C D

B C i A D

B D i A C .


Zadatak 18.

Na slici je toranj.Na tornju su dva sata. Satovi pripadaju usporednim ravninama zidova.Vrata i prozor pripadaju različitim ravninama zidova okomitim na ravnine gdje su satovi.Odredi ravninu zida gdje su vrata i ravninu zida gdje je drug sat.

Na slici je toranj.

Na tornju su dva sata. Prikazan je jedan.

Satovi pripadaju paralelnim ravninama zidova.

Jedna vrata i jedan prozor pripadaju različitim ravninama zidova okomitim na ravnine gdje su satovi.

Odredite ravninu zida gdje su vrata i ravninu zida gdje je drugi sat.

Ravnina je zida gdje su vrata A D H .

Ravnina je zida gdje je drugi sat D C G .


Zadatak 19.

Na slici su primjeri paralelnosti, okomitosti i mimoilaznosti u okruženjumotiv
Primjeri paralelnosti, okomitosti i mimoilaznosti u okruženju

Opišite što je na slici model:

  • mimoilaznosti
  • paralelnost pravaca
  • okomitosti pravaca
  • okomitosti pravca i ravnine.
  • mimoilaznost pravaca - žice za struju s različitih nizova stupova, tok rijeke i most preko rijeke
  • usporednost pravaca - žice koje povezuju stupove međusobno su usporedne, rubovi ceste
  • okomitost pravaca - žica za struju i stup za struju
  • okomitost pravca i ravnine - stup za struju i tlo

Projekt

nemogući trokut

 Pokušaj nacrtati nemogući trokut.

Zadatak 20.

Presjek ravnina

Odredite presjek istaknutih ravnina na slici.

ec pravac

Presjek je pravac E C .


...i na kraju

Na kraju provjerimo što smo naučili u kvizu.

  1. Presjek dvaju pravca je točka.

    null
  2. Presjek pravca i ravnine je dužina.

    null

    Postupak:

     Presjek pravca i ravnine je točka.

  3. Presjek dvije ravnine je pravac.

  4. Na fotografiji je prikazana primjena svojstva mimoilaznosti pravaca.

    Na slici je prikaz rječice i mosta preko nje

    Pomoć:

     Da, na fotografiji su tok potoka i most primjer primjene mimoilaznosti.

    null
  5. Na slici je primjer primjene paralelnosti ravnina.

    Na slici je prikazan neboder s nizom paralelnih balkona

    Pomoć:

     Da, ravnine terasa su usporedne.

    null
  6. Na fotografiji je primjer primjene presjeka pravaca.

    Na slici je prikaz staza u parku koje se križaju

  7. Odaberi sliku na kojoj su stepenice mimoilazne.

    Na slici je prikaz dvaju stepeništa koja se križaju

    Na slici je prikaz pokretnih stebenica u trgovačkom centru koje nisu paralelne

    null

    Postupak:

    Mimoilazni pravci ne pripadaju istoj ravnini.

  8. Ako nekoga želiš sresti, želiš da se krećete:

    Na slici je drveni most paralelnih strana

    Na slici su dva vijadukta postavljena paralelno

    Na slici su dvije ulice koje se sijeku

    Na slici je prikazana mreža cesta u petlji

Idemo na sljedeću jedinicu

7.3 Okomitost pravaca i ravnina u prostoru