x
Učitavanje

8.3 Opseg i površina paralelograma

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Djevojčica Luna jako voli i njeguje svoje cvijeće pa je mama s oduševljenjem prihvatila prijedlog da Luna poveća gredicu. Luna želi svoj cvjetni vrt ograditi novim ukrasnim letvicama.

Cvjetna gredica
Cvjetna gredica u obliku paralelograma

Lunu zanima koliko će joj sada trebati ukrasnih letvica kako bi ogradila svoje cvijeće. Mamu zanima površina gredice kako bi znala koliko lukovica cvijeća treba kupiti i koliku količinu prihrane pripremiti za zemlju.

Opseg paralelograma

Kako bi Luna saznala koliko metara letvica, kojima će ograditi cvjetnjak, treba kupiti, mora
duljine
svih dužina koje omeđuju vrt. Vrt ima oblik
,
a ukupna duljina svih letvica predstavlja njegov
.

Pomoć:

Zbroj duljina svih letvica čine opseg lika pa Luna mora zbrojiti duljine onih dužina gdje želi postaviti letvice.

null

Opseg paralelograma

Opseg paralelograma je zbroj duljina svih njegovih stranica.

Iznad svakog paralelograma postavi njegovo ime.

Razmisli, kojima od zadanih paralelograma opseg računamo na isti način?

Postavi formule za računanje opsega tako da svaka formula bude djelomično ispod dva ogovarajuća paralelograma.

Kvadrat, romb, pravokutnik i paralelogram.
o = 4 a  
o = 2 a + 2 b  
kvadrat
pravokutnik
paralelogram
romb

Pomoć:

Iznad lika dovuci ime, a ispod lika formulu za opseg.

null

Uz zadatke koji slijede uvježbaj računati opseg zadanog paralelograma.

Savjetujemo ti da ne učiš formulu napamet, nego da uz svaki zadatak nacrtaš skicu, na crtežu označiš zadane elemente i razmisliš o značenju pojma opseg.

U sljedećim zadatcima poznat je opseg zadanog paralelograma, ali ne i duljina svih njegovih stranica.

Površina paralelograma

Površina nekoga geometrijskog lika, pa tako i paralelograma, govori nam koliki je dio ravnine zadani lik prekrio.

Površina se iskazuje kvadratnim mjernim jedinicama.

Površinu kvadrata i pravokutnika znaš izračunati otprije.

Površina kvadrata i pravokutnika
Pravokutnik i kvadrat s istaknutim formulama za površinu.

S pomoću sljedeće animacije istraži način na koji možeš odrediti površinu paralelograma.

Rješavanjem sljedećeg zadatka provjeri svoje zaključke.

Paralelogram kojemu je istaknuta visina.

Dopuni rečenice ponuđenim riječima.
Paralelogram kojemu je istaknuta visina na stranicu a  možemo „prekrojiti“ u

 
tako da „odrežemo“ i „premjestimo“
 
s hipotenuzom duljine b i
 
duljine v a . Površina ovog pravokutnika računa se kao
 
. Da smo paralelogram „prekrajali“ po visini v b , površina bi se računala kao
 
.
b · v b
pravokutnik
katetom
a · v a
pravokutni trokut
null
null

Površina paralelograma

Površinu paralelograma kojemu su a i b duljine susjednih stranica, a v a i v b duljine pripadnih visina računamo p = a · v a ili p = b · v b .

Uvježbajmo.

Kutak za znatiželjne

Poznato je da se dijagonale romba raspolavljaju pod pravim kutom. Iskoristi to svojstvo romba za odgovor na sljedeće pitanje.

Na koji način možemo izračunati površinu romba ako su poznate duljine njegovih dijagonala?

Dijagonale romba
Romb s istaknutim okomitim dijagonalama.

Dijagonale dijele romb na četiri sukladna pravokutna trokuta. Površina jednog trokuta može se izračunati kao

p 1 = e 2 · f 2 : 2 = e · f 4 : 2 = e · f 8 .

Površina danog paralelograma je tada p = 4 · p 1 = 4 · e · f 8 = e · f 2 .


Površina romba

Površina romba kojemu su duljine dijagonala e i f dana je formulom p = e f 2 .

Zanimljivost

Izvedena formula ne vrijedi samo za romb.

Za svaki konveksan četverokut čije su dijagonale duljina e i f okomite vrijedi formula za površinu oblika e f 2 . Još samo treba znati da je konveksan četverokut onaj kojemu je svaki unutarnji kut manji od ispruženog kuta.

Istražimo

Istraži i druge načine na koje možeš izvesti istu formulu za površinu romba.

Primjena

Zadatak 1.

Katja želi postaviti ukrasne svjetiljke oko cijelog prozora u svojoj sobi. Prozor ima visinu 90 cm , a širinu 1.2 m . Utičnica se nalazi pola metra ispod donjeg ruba prozora. Svjetiljke se mogu kupiti u pakiranju od 4 m , 5 m i 6 m . Koje pakiranje svjetiljki najviše odgovara Katji?

Rub prozora predstavlja opseg pravokutnika.

Stranice pravokutnika su a = 1.2 m i a = 90 cm = 0.9 m pa računamo

o = 2 · 1.2 + 2 · 0.9 = 4.2 .

Opseg pravokutnika (prozora) je 4.2 m .

Kako treba dodati i dio do utičnice, traka sa svjetiljkama ukupno treba biti dugačka 4.2 m + 0.5 m = 4.7 m .

Katji najviše odgovara kupiti pakiranje od 5 m .


Dvorište
Staza oblika paralelograma dijeli dvorište oblika pravokutnika na dva dijela.

Zadatak 2.

Baka Mara je pregradila svoje dvorište oblika pravokutnika površine 48 m 2 , kao na slici.

Možeš li reći koliku je površinu baka Mara namijenila svom ljubimcu Gari?

Dvorište ima površinu 48 m 2 . Da bismo saznali koliki je dio namijenjen Gari, moramo od površine dvorišta oduzeti površinu predviđenu za cvijeće (pravokutni trokut) i površinu stazice (paralelogram).

p c = 6 · 3 : 2 p c = 9 m 2

p s = 1 · 6 p s = 6 m 2

p G = 48 m 2 - p c - p s p G = 33 m 2


Četiri kvadrata
Četiri kvadrata različitih duljina stranica

Zadatak 3.

Četverokuti A , B , C i D , prikazani na slici, su kvadrati. Izračunaj površinu kvadrata B ako su poznati opsezi triju kvadrata:  o A = 36 cm , o C = 12 cm i o D = 8 cm .

Uoči da vrijedi (po uspravnoj duljini stranice kvadrata A ) a = d + c + b .

Iz zadanih opsega izračunaj duljine odgovarajućih stranica.

o A = 36 cm a = 9 cm o C = 12 cm c = 3 cm o D = 8 cm d = 2 cm

Sada vijedi

2 + 3 + b = 9   b = 4 pa vrijedi b = 4 cm .

Površina kvadrata B tada iznosi 16 cm 2 .


Zanimljivost

U svakodnevnom se govoru za kvadratni metar vrlo često koristi izraz četvorni metar. Razlog tomu leži u činjenici da je hrvatska riječ za kvadrat – četvorina.

Vratimo se Luni i njezinu cvjetnom vrtu.

...i na kraju

Baka Mara će jedan dio dvorišta ograditi za svog psa Miška. Još nije odlučila kakav oblik i koju veličinu želi. Pomozi joj u odabiru.

Pažljivo biraj jer ako baka kaže da želi vidjeti kako izgleda paralelogram, onda ne želi kvadrat i pravokutnik (iako su i oni paralelogrami). Ako želi pravokutnik, onda ne želi pravokutnik kojemu su stranice jednakih duljina, odnosno kvadrat.

Povratak na vrh