x
Učitavanje

8.2 Konstrukcija paralelograma

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

U doba antičke Grčke najstarija grana matematike - geometrija, doživljava svoj procvat. Jedno od pitanja koje je zaokupljalo pažnju ondašnjih matematičara bilo je: može li se ravnalom i šestarom konstruirati kvadrat kojemu je površina dvostruko veća od površine zadanog kvadrata. U ovoj ćeš jedinici i ti naučiti kako s pomoću ravnala i šestara konstruirati paralelograme, pa pripremi potreban pribor. Ne zaboravi geometrijsku bilježnicu jer ćemo sve konstrukcije raditi u nju.

Starogrčki matematičar
Stari Grk crta kvadrat štapom u pijesku.

Zanimljivost

Starogrčki matematičari dugo su se bavili s tri problema: kvadratura kruga, duplikacija kocke i trisekcija kuta. Ako te zanima o čemu govore ti problemi, potraži informacije na internetu ili pitaj nastavnika Matematike.

Konstrukcija paralelograma

Otprije ti je poznato da svaka konstrukcija mora imati analizu, konstrukciju i raspravu. Za svaki zadatak, u bilježnicu nacrtaj prvo skicu, a zatim konstruiraj zadani paralelogram.

Primjer 1.

Konstruiraj paralelogram A B C D kojemu su duljine susjednih stranica a = 5 cm i b = 3 cm , a kut pri vrhu A ima veličinu α = 60 ° .

Skica

Pri crtanju skice primjenjujemo pravila označavanja vrhova, duljina stranica i veličina kutova zadanog paralelograma.

Nacrtaj u bilježnicu skicu paralelograma te na njoj istakni zadane elemente, a zatim provjeri točnost rješenja uz pomoć sljedeće vježbe.

Zanimljivost

S obzirom na to da znaš konstruirati trokut prema konstrukcijama SSS, SKS i KSK, neće ti biti teško konstruirati paralelograme.

Ako bude potrebno, prisjeti se spomenutih konstrukcija trokuta i konstrukcija kutova zadanih veličina.

Zadanim elementima paralelogama pridruži položaj na slici opisan brojem.

Za svaki zadani element paralelograma na crtu upiši odgovarajući broj sa slike.

Paralelogram s označenim vrhom C.
Kut α = 60 ° -
,
a = 5 cm -
i
b = 3 cm -
.

Pomoć:

Nasuprotne stranice jednakih su duljina.

Počevši od vrha A u smjeru suprotnom od smjera kretanja kazaljke sata, nalazi se stranica duljine a .

null

Konstruiraj zadani paralelogram, a zatim crtež usporedi s danim rješenjem.

1. Nacrtaj dužinu A B ¯ duljine 5 cm kao na skici.

2. Konstruiraj kut veličine 60 ° s vrhom u točki A .

3. U šestar uzmi duljinu 3 cm , zabodi ga u točku A i nacrtaj kružni luk koji siječe krak konstruiranog kuta. Dobiveno sjecište je, prema skici, točka D .

Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija kuta od 60° (šiljasti kut paralelograma).

4. Iz točke D nacrtaj kružni luk polumjera 5 cm .

5. Iz točke B nacrtaj kružni luk polumjera 3 cm .

6. Presjek kružnih lukova je točka C .

Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija vrha C paralelograma.

7. Spoji paralelogram A B C D .


Rasprava:

Dijagonala

 
dijeli paralelogram A B C D na dva
 
trokuta. Trokut A B D konstruiran je prema
 
poučku i
 
je određen. Nasuprotne stranice paralelograma su
 
duljina te je jednoznačno određen vrh C .
SKS
sukladna
jednakih
B D -
jednoznačno
null
null

Prema otprije poznatim svojstvima paralelograma dovoljno je znati duljine dviju njegovih stranica i veličinu jednoga unutarnjeg kuta kako bi paralelogram bio jednoznačno određen. Postoji li još koji način?

Zadatak 1.

Konstruiraj paralelogram A B C D ako su zadani elementi: A B = 6 cm , A D = 4 cm i B D = 55 mm .

Na skici označi zadane elemente.

Paralelogram s istaknutom dijagonalom.
6 cm
4 cm
5.5 cm

Pomoć:

Zadane elemente dovuci probližno na sredinu odgovarajuće stranice.

Postupak:

Počevši od vrha A , prati smjer suprotan od smjera kretanja kazaljke sata.

Prema skici konstruiraj zadani paralelogram A B C D . Po potrebi, pomoć potraži u rješenju zadatka.

Prateći sljedeće korake, u bilježnicu konstruiraj zadani paralelogram.

Prema nacrtanoj skici prvo konstruiraj trokut A B D prema konstrukciji SSS.

Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija vrha D paralelograma.

Sada iz vrha B nacrtaj kružni luk polumjera 4 cm , a iz vrha D kružni luk polumjera 6 cm . Presjek nacrtanih kružnih lukova četvrti je vrh paralelograma.

Konstrukcija paralelograma
Nastavak konstrukcije paralelograma, vrh C.

Spoji vrhove paralelograma.


Rasprava:

Konstruirani paralelogram u bilježnici sukladan je paralelogramu u rješenju zadatka.

null
null

Za konstrukciju zadanog paralelograma upotrebljavamo

konstrukciju
trokuta. Taj trokut
konstruirati
jer je duljina njegove najveće stranice
od
zbroja duljina preostalih dviju stranica.
null
Paralelogram, rješenje
Paralelogram kojemu je zadan unutrašnji tupi kut i kut između osnovice i dijagonale.

Zadatak 2.

Konstruiraj paralelogram prema zadanoj skici.

Prema konstrukciji KSK konstruiraj trokut A B D . Ako je potrebno, prisjeti se konstrukcija kutova zadanih veličina. Zatim iz točke D nacrtaj kružni luk polumjera 7 cm . Iz točke B nacrtaj kružni luk polumjera A D . Presjek kružnih lukova je četvrti vrh paralelograma C .

Konstrukcija paralelograma
Konstrukcija paralelograma

Rasprava:

Paralelogram je konstruiran s pomoću
konstrukcije
trokuta. Ta je konstrukcija moguća jer je zbroj
zadanih
kutova manji od
° .

Pomoć:

Da je zbroj veličina kutova koji pripadaju trokutu koji je zadan dvjema susjednim stranicama i dijagonalom paralelograma veći od 180 ° , konstrukcija ne bi bila moguća.

null
Kut B D A ima veličinu
° pa zaključujemo da je trokut A B D
.
Konstruirani je paralelogram zapravo
.

Pomoć:

Ako su trokutu dva kuta jednakih veličina, tada je trokut jednakokračan. A s obzirom na to da su krakovi trokuta A B D ujedno i susjedne stranice paralelograma, zaključujemo da su te stranice sukladne.

Postupak:

Paralelogram kojemu su susjedne stranice jednakih duljina jest romb.

Konstrukcija pravokutnika

Pri konstrukciji pravokutnika primjenjujemo svojstva koja vrijede za taj geometrijski lik. Ponovimo ih.

Povlačenjem elemenata ponovi neka važna svojstva pravokutnika.

Nasuprotne su stranice
jednakih duljina.
Dijagonale su
međusobno okomite.
 Dijagonale se
pravi.
Susjedne su stranice
jednakih duljina i usporedne.
 Svi su kutovi 
međusobno raspolavljaju.
null
null

Primjer 2.

Konstruiraj pravokutnik kojemu susjedne stranice imaju duljine 5 cm i 4 cm , a zatim pravokutniku konstruiraj opisanu kružnicu.

Skica:

Dovuci zadani element u pravilno nacrtanu skicu pravokutnika zadanog u zadatku.

Tri pravokutnika od kojih je jedan točno označen.
TOČNO!

Pomoć:

Skica mora sadržavati naznačeni pravi kut i duljine stranica kako bismo pri konstrukciji pravilno upotrebljavali zadane elemente konstrukcije.

null

Usporedi konstruirani pravokutnik s rješenjem.

S obzirom na to da se radi o konstrukciji, i pravi je kut potrebno konstruirati ravnalom i šestarom.

U bilježnici nacrtaj dužinu A B ¯ duljine 5 cm . Konstruiraj pravi kut s vrhom u točki A . Iz istog vrha nacrtaj kružni luk polumjera 4 cm koji presijeca nacrtani polupravac, odnosno krak pravoga kuta. Dobiveno je sjecište vrh D pravokutnika.

Sada iz vrha D   nacrtaj kružni luk polumjera 5 cm.   Iz vrha B  nacrtaj kružni luk polumjera 4 cm . Sjecište kružnih lukova je točka C , četvrti vrh pravokutnika.

Konstrukcija pravokutnika
Konstrukcija pravog kuta pravokutnika i vrha C

Spoji vrhove pravokutnika.


Odaberi točku koja je središte pravokutniku opisane kružnice.

Pomoć:

Pravokutniku opisana kružnica prolazi svim vrhovima pravokutnika.

null

Konstruiranom pravokutniku opiši kružnicu, a potom provjeri rješenje.

Konstrukcija pravokutnika, rješenje
Pravokutniku opisana kružnica.

Zadatak 3.

Konstruiraj pravokutnik kojemu je duljina dijagonale 63 mm , a kut između dijagonala 60 ° .

Ne zaboravi nacrtati skicu prije same konstrukcije.

Prouči skicu i prati opis konstrukcije.

Konstrukcija simetrale dijagonale pravokutnika
Konstrukcija simetrale dijagonale pravokutnika.

Nacrtaj dužinu D B ¯ duljine 63 mm . Ako ti je lakše, nacrtaj dužinu malo ukoso, kao što je na skici.

Vrh kuta koji zatvaraju dijagonale je sjecište dijagonala, odnosno polovište bilo koje dijagonale. Zato konstruiraj polovište P  nacrtane dužine.

Sada konstruiraj kut veličine 60 ° s vrhom u točki P , a krak produži i preko točke P da dobiješ pravac kojem pripada druga dijagonala.

Konstrukcija pravokutnika
Konstrukcija pravokutnika kojemu su zadane obje dijagonale.

Zabodi šestar u točku P , rastegni ga do točke B ili točke D pa nacrtaj kružnicu, odnosno nacrtaj kružnicu sa središtem u P polumjera P B .

Sjecišta kružnice i pravca, točke  A C , vrhovi su pravokutnika.

Spoji vrhove pravokutnika.


Konstrukcija kvadrata

Dobro poznavanje svojstava kvadrata pomoći će pri konstrukciji kvadrata.

Primjer 3.

Konstruiraj kvadrat A B C D  kojemu je stranica duljine 55 mm .

Nacrtaj skicu i razmisli o koracima konstrukcije.

Prvo nacrtaj skicu na kojoj ćeš označiti vrhove kvadrata i istaknuti zadane elemente.

Konstukciju započni crtanjem dužine A B ¯ zadane duljine. Konstruiraj pravi kut s vrhom u točki A (ili u B , svejedno je). Kako su stranice kvadrata jednakih duljina, na nacrtanom kraku pravog kuta šestarom odmjeri dužinu duljine 5.5 cm te označi točku D . Kao pri konstrukciji svakog paralelograma sada iz D i B  nacrtaj kružne lukove polumjera 5.5 cm-   Njihovo sjecište označi s C .

Spoji vrhove kvadrata.

Konstrukcija kvadrata
Konstrukcija kvadrata s naznačenom duljinom stranice 55 mm.

Konstruiranom kvadratu želimo opisati i upisati kružnicu.

Razmisli o koracima konstrukcije, dopuni prethodnu skicu i svoja razmišljanja usporedi sa sljedećim zadatcima.

Izvrši konstrukciju.

Sjecište dijagonala kvadrata je središte kvadratu i opisane i upisane kružnice.

null
null

Odaberi rečenicu koja opisuje polumjer kvadratu opisane kružnice.

Kvadratu opisana i upisana kružnica.
null
null

Poredaj korake crtanja kvadratu upisane kružnice.

Konstrukcija kvadrata sa zadanim dijagonalama.
  • Nacrtaj dijagonale kvadrata.
  • Neka je točka N sjecište okomice i stranice kvadrata.
  • Nacrtaj okomicu iz točke S do bilo koje stranice kvadrata.
  • Nacrtaj kružnicu sa središtem u točki S polumjera S N .
  • Označi točkom S sjecište dijagonala kvadrata.
  • Konstruiran je kvadrat A B C D .
null
null

Primjer 4.

Konstruiraj kvadrat čija je dijagonala duljine 63 mm .

Prije konstrukcije nacrtaj skicu i razmisli o koracima konstrukcije. Svoja razmišljanja možeš provjeriti u dvama pitanjima koja slijede.

Koje ćeš od navedenih svojstava kvadrata prvo iskoristiti trebaš li konstruirati kvadrat kojemu je zadana duljina dijagonale 63 mm ?

Pomoć:

Sve su tvrdnje točne, ali samo jednu od njih možeš iskoristiti za prvi korak konstrukcije. Još jednom pročitaj zadatak. Koji je podatak poznat o kvadratu?

null

Nacrtaj skicu. Razmisli o koracima konstrukcije i dopuni rečenice.

Prvo crtam

 
A C ¯ zadane duljine. Zatim nacrtanoj dužini konstruiram
 
. Sjecište dužine i njezine simetrale je
 
opisane kružnice. Crtam
 
sa središtem u dobivenom
 
, polumjera S A ¯ . Sjecišta kružnice i simetrale dužine su
 
kvadrata. Označim vrhove B i D . Spajanjem vrhova, prema skici, crtam
 
.
vrhovi
središte
simetralu
dužinu
sjecištu
kvadrat
kružnicu

Pomoć:

Konstrukcija može započeti i crtanjem druge dijagonale.

null

Konstrukcija prikazana na slici izvodi se prema koracima iz prethodnog zadatka. Potrebno je još spojiti točke A , B , C i D . Usporedi sa svojim rješenjem.

Konstrukcija kvadrata, dijagonale
Konstrukcija kvadrata sa zadanim dijagonalama.

Kutak za znatiželjne

Istraži na koji su način stari Grci riješili problem konstrukcije kvadrata iz uvodnog zadatka.

Konstruiraj, prema rezultatima svoga istraživanja, kvadrat koji ima površinu dvostruko veću od površine zadanog kvadrata.

Za sada još nemaš dovoljno znanja dokazati točnost postupka, ali čim naučiš Pitagorin poučak, moći ćeš i to.

Konstrukcija romba

Romb je paralelogram kojemu su stranice jednakih duljina, a paralelograme već znamo konstruirati.

Zadatak 4.

Konstruiraj romb A B C D čije stranice zatvaraju kut veličine α = 45 ° i imaju duljinu 5 cm . Rombu upiši kružnicu.

Nacrtaj skicu i razmisli o koracima konstrukcije.

Konstruiraj kut  α = 45 ° s vrhom u A . Ako je potrebno, prisjeti se konstrukcije kuta. Na krakovima kuta nacrtaj kružne lukove radijusa 5 cm  . Označi, prema skici, vrhove B i D . Iz obje te točke nacrtaj kružne lukove istih radijusa. Njihovo sjecište označi s C .

Spoji vrhove romba.

Sada iz sjecišta dijagonala nacrtaj okomicu do jedne stranice. Duljinu te dužine uzmi u šestar i iz sjecišta dijagonala nacrtaj kružnicu.

Konstrukcija romba uz zadani kut
Konstrukcija romba uz zadani kut.

Izradi vježbu

Pitaj nastavnika Matematike ili na internetu potraži model tangram slagalice ili ga izradi prema uputama. Od dijelova tangrama složi pravokutnik, paralelogram i kvadrat.

Za slaganje svakog lika moraš upotrijebiti svih sedam dijelova, oni se ne smiju međusobno preklapati, ali ih možeš okrenuti na drugu stranu. Sretno!

Tangram - kućica
Oblik kuće složen pomoću tangram slagalice.

...i na kraju

Francuski matematičar, Pierre Varignon (1654. – 1722.), otkrio je jednu zanimljivu činjenicu vezanu uz četverokute i paralelograme. Poigraj se s nacrtanim četverokutom mijenjajući duljine njegovih stranica tako što ćeš povlačiti vrhove. Pokušaj odgonetnuti što je to zapazio ovaj poznati matematičar.

Povratak na vrh