x
Učitavanje

1.4 Pravokutni koordinatni sustav s racionalnim koordinatama

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pogledajte animaciju i razmislite zašto su koordinate važne.

Očitavanje koordinata točaka

Primjer 1.

Očitavanje točaka koordinatnog sustava u ravnini

Pogledajmo sliku i očitajmo koordinate točaka smještenih u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini.

Uočimo na slici da su koordinate točaka smještene između cijelih brojeva. Možemo zaključiti da su koordinate točaka racionalni brojevi. Koordinate točaka na slici su redom

A 1 3 , 1 2 , B 1 5 6 , - 2 3 , C - 1 2 , 2 1 6 , D - 1 1 3 , 0 .


Zadatak 1.

Pokušajte sada sami očitati koordinate točaka na slici. Ako ispravno upišete koordinate, zasvijetlit će ukras na boru. Pripazite! Koordinatna mreža podijeljena je na četvrtine, tako da su neke koordinate decimalni brojevi s dvije decimale.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 2.

Očitajte koordinate točaka sa slike. Ako vam zatreba pomoć, kliknite na rješenje.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Koordinate točaka su: A - 2 1 2 , 1 3 4 , B 0 , 3 3 8 , C 3 1 4 , 3 3 8 , D 1 , 0 .


Zadatak 3.

Očitajte koordinate točaka sa slike.

Točke u pravokutnim koordinatnom sustavu

Upišite koordinate točaka.
A  ( , )
B  ( , )
C  (  , )
D ( , )

Pomoć:

Koordinate točaka koje nisu cjelobrojne upišite u obliku decimalnog broja na predviđena mjesta.

 

Zadatak 4.

Očitajte koordinate točaka sa slike.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Dovucite koordinate točaka na ispravna mjesta.
A (

 
,
 
)
B (
 
,
 
)
C  (
 
,
 
)
D (​
 
,
 
)

5 6
- 7 5
- 2 1 2
3 4 5
- 3 2 5
0
21 5
2 2 3

Pomoć:

Pažljvo pogledajte sliku.

 

Zadatak 5.

Brodu Marica koji se nalazi na mjestu s koordinatama A - 2.9 , 1.4 pokvario se motor pa je poslao poziv upomoć. U njegovoj su blizini četiri broda: Slavica na koordinatama B 1 4.2 , 3.4 , Katica B 2 7.4 , - 1 , Milica B 3 1.2 , 0 i Vikica B 4 - 8.1 , 3 . Najbliži od njih krenuo je pomoći brodu Marica. Koji je to brod?

Upotrijebite interaktivni predložak kako biste smjestili brodove na pravo mjesto i lakše riješili zadatak.

Povećaj ili smanji interakciju
Rješenje zadatka s brodovima

Upomoć je krenuo brod Milica B 3 1.2 , 0 .


Zadatak 6.

Graf koji pokazuje ovisnost duljine prijeđenog puta o vremenu

U koordinatnom sustavu prikazan je put koji Josip prolazi hodajući. Sa slike očitajte koliki će put prijeći Josip za četiri sata.

Josip će za četiri sata prijeći kilometara.

Pomoć:

Brojčano rješenje upišite na predviđeno mjesto.

null

Ucrtavanje točaka

Primjer 2.

Ucrtajmo točke A 2 1 4 , 1 3 4 , B - 2 , 1 1 2 , C 11 4 , - 1 2 , D 0 , - 5 4  u pravokutni koordinatni sustav u ravnini i napišimo kojem kvadrantu ili kojoj koordinatnoj osi pripadaju.

Kada su koordinate točaka racionalni brojevi u razlomačkom obliku, za duljinu jedinične dužine pogodno je odabrati zajednički višekratnik svih nazivnika (ne nužno najmanji) ili razlomački oblik pretvoriti u decimalni, a za duljinu jedinične dužine izabrati 1 cm . Pritom trebamo dobro pogledati sve koordinate i procijeniti koliko će mjesta trebati za njihovo ucrtavanje.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Točka A pripada I. kvadrantu, točka B pripada II. kvadrantu, točka C pripada IV. kvadrantu i točka D pripada osi y .


Zadatak 7.

Točke A - 1 1 6 , 1 2 , B 1 6 , 1 3 , C 0 , - 2 3 , D - 1 , - 5 6 ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri. ​

Povećaj ili smanji interakciju
Točke s racionalnim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 8.

Ucrtajte točke A 1 , - 3 4 , B - 1 1 2 , 0 , C 1 4 , 5 4 , D - 1 2 , 1 2 u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Točke sa racionalnim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 9.

Točke A - 7 3 , 3 2 5 ,   B 17 6 , 0 , C - 2 3 , - 2.4 i D 0 , 1 2 što točnije ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav.​

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 10.

Točke A 4 , - 5 3 , B - 3 2 , 1 2 , C 7 2 , 11 3  i D - 3 4 , 4 1 2   što točnije ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu


Zadatak 11.

Kvadrat A B C D zadan je koordinatama triju svojih vrhova: A - 2 3 4 , - 2 1 4 , B 3 1 2 , - 2 1 4 , C 3 1 2 , 4 . Procijenite koordinate četvrtog vrha, D , zadanog kvadrata i ucrtajte taj kvadrat u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Točke kao vrhovi kvadrata u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Četvrti je vrh kvadrata D - 2 3 4 , 4 .


Primjene koordinatnog sustava

Povezani sadržaji

Već smo vidjeli neke primjene koordinatnog sustava u ravnini u fizici. Osim u fizici, koordinatni sustav koristi se i u geografiji za geografske koordinate te za grafičko prikazivanje različitih statističkih podataka i veza među njima.

Zanimljivost

GPS shema

GPS (Global Positioning System) je mreža satelita koji kontinuirano šalju kodirane informacije s pomoću kojih možemo precizno odrediti nečiji položaj na Zemlji. Takav sustav određivanja koordinata omogućuje navigaciju, ali i geodetska mjerenja, praćenje kretanja u različitim sportovima i slično. Međutim, postoje okolnosti u kojima GPS ne radi dobro. Istražite koja su ograničenja GPS-a. Dodatne informacije o GPS-u možete pronaći u priručniku GPS za početnike.

GPS Pokemon

Geografske koordinate su veličine koje određuju položaj točke na Zemljinoj površini. Geografske koordinate su geografska širina i geografska dužina, a izražavaju se u stupnjevima, minutama i sekundama. Postoji nekoliko načina zapisivanja geografskih koordinata:

Primjer 3.

Zanima nas koja se mjesta skrivaju iza ovih koordinata:

  • 48.858398 , 2.294492
  • 40.452150 , - 3.690396 .

Otvorite Googleove karte (ili neku drugu online kartu) pa u okvir za pretraživanje pri vrhu karte unesite koordinate. Na mjestu određenom tim koordinatama prikazat će se posebna oznaka.

Na ( 48.858398 , 2.294492 ) nalazi se Eiffelov toranj u Parizu, a na ( 40.452150 , - 3.690396 ) stadion Santiago Bernabeu u Madridu.


Zanimljivost

Indeks potrošačkih cijena odražava promjene u razini cijena dobara i usluga koje se prate tijekom određenog vremena s određenom skupinom korisnika. Dakle, prati se rast ili pad potrošnje privatnih kućanstava.

Izračunava se na temelju reprezentativne košarice koju čini oko 910 proizvoda. Svakog mjeseca Državni zavod za statistiku (DZS) prikuplja oko 38 000 cijena na unaprijed definiranom uzorku prodajnih mjesta na devet geografskih lokacija.  (Izvor: DZS, 2017.)

Za određivanje koordinata nekog mjesta na Zemlji, za pronalaženje mjesta zadanog geografskim koordinatama ili određivanje udaljenosti i površina možete upotrijebiti i stranicu MapsZoom.

U sljedećoj tablici možete vidjeti geografske koordinate krajnjih točaka Republike Hrvatske.(Izvor: Državni zavod za statistiku, Statistički ljetopis 2016.)  

Geografske koordinate krajnjih točaka
Naselje Sjeverna goegrafska širina
Istočna goegrafska dužina
Sjever Sveti Martin na Muri
46 ° 33 ' 18 " 16 ° 22 ' 08 "
Jug Palagruža (Komiža)
42 ° 22 ' 40 " 16 ° 20 ' 19 "
Istok Ilok 45 ° 11 ' 45 " 19 ° 26 ' 50 "
Zapad Bašanija (Umag)
45 ° 29 ' 13 " 13 ° 29 ' 30 "

Zadatak 12.

Povežite imena mjesta s njihovim geografskim koordinatama.

Split
Sydney
 Dublin
 Grenada
 Tokio

Pomoć:

 Pogledajte geografsku kartu.

null

Zadatak 13.

U koordinatnom su sustavu ucrtani podatci o indeksu potrošačkih cijena u Republici Hrvatskoj za 2016. godinu. (Izvor: DZS, 2017.)  

Indeks potrošačkih cijena prikazan grafikonom


Pročitaj sa slike:

  1. U kojem je mjesecu indeks potrošnje bio najveći?
  2. U kojem je mjesecu indeks potrošnje bio najmanji?
  3. Koliki je bio indeks potrošnje u studenome 2016. godine?
  1. U rujnu.
  2. U siječnju i srpnju.
  3. 100 .

Razmislite o mogućim uzrocima povećanja i smanjenja indeksa potrošnje. Istražite promjene indeksa potrošnje za 2015. i 2014. godinu na stranicama Državnog zavoda za statistiku (DZS).

Zadatak 14.

Grafiički prikaz - kosi hitac
U koordinatni sustav ucrtani su podatci bacanja lopte pod kutom od 45 ° (kosi hitac). Pročitajte sa slike potrebne podatke i dopunite tekst. Koordinate najviše točke koju je lopta dosegnula su (  ,  ). Koordinate točke u kojoj je lopta pala na tlo su (  , ).
Lopta je i drugi put dosegnula visinu od 15 m na udaljenosti   m od mjesta bacanja.

Pomoć:

Brojčana rješenja napišite na predviđena mjesta.

null

Uvježbajmo

Zadatak 15.

Na papiru ucrtajte točke A - 2.5 , 1.4 , B 0 , - 4.3 , C - 3.2 , 0 i D - 3.6 , 2.8 u pravokutni koordinatni sustav.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 16.

Prikladno odaberite jediničnu dužinu i na papiru ucrtajte točke A 3 5 , 1 4 5 , B 3 2 , - 3 4 5 , C - 5 3 10 , - 27 5 , D - 28 5 , 2 1 2 u pravokutni koordinatni sustav u ravnini.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini

Zadatak 17.

Na papiru ucrtajte točke A 1 3 5 , 0 , B - 7 2 , 16 5 , C 3.5 , 3 2 i D - 2 1 2 , - 14 10 u pravokutni koordinatni sustav te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Pridružite svakoj točki njezin položaj u pravokutnome koordinatnom sustavu u ravnini.

A  
B  
C  
D  

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku.

null

Zadatak 18.

Očitajte koordinate točaka na slici te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.  

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini


Točka A (

 
,
 
) nalazi se u
 
.
Točka B  (
 
,
 
) nalazi se u
 
.
Točka C (
 
,
 
) nalazi se na
 
.
Točka D  (
 
,
 
) nalazi se u
 
.

7 9
1 1 3
II. kvadrantu
- 8 9
I. kvadrantu
2
IV. kvadrantu
4 9
- 2 2 3
- 2 5 9
0
osi apscisa

Pomoć:

Pažljivo pogledajte sliku

 

Zadatak 19.

Majini roditelji planiraju u vrtu urediti novi povrtnjak. Budući da njihova parcela nije pravokutnog oblika, moraju odabrati drukčiji oblik povrtnjaka od uobičajenog. Skicirali su povrtnjak u koordinatnom sustavu i zabilježili koordinate vrhova A - 1 1 2 , 0 , B 6.2 , 0 , C 4 1 2 , 3 i D 2 , 3 .

  1. Koji lik dobivate ako redom spojite točke A i B , B i C , C i D te D i A ?
  2. Procijenite, a zatim izračunajte koliko bi kvadratnih jedinica bila površina njihova povrtnjaka. Pri računanju uzmite da je jedinična duljina jednaka 1 m .

Naziv lika upišite slovima, a površinu u obliku prirodnog broja.

Vrhovi trapeza u pravokutnom koordinatnom sustavu

  1. Upišite točan odgovor u prazno polje. Lik je  .
  2. Njegova je površina metara kvadratnih.

    Pomoć:

    P = a + c 2 · v  

    Za pomoć pogledajte ponuđeno rješenje​.

    Rezultat zapišite u brojčanom obliku na za to predviđeno mjesto.

    Postupak:

    c = C D = 2.5 m

    v = 3 m je okomica povučena iz točke C ili D na stranicu A B ¯

Zadatak 20.

Pravokutnik A B C D zadan je koordinatama triju svojih vrhova: A - 1.5 , - 1 1 2 , B 4.5 , - 1 1 2 , D - 1.5 , 2 . Procijenite koordinate četvrtog vrha, C , zadanog pravokutnika i ucrtajte ga u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini kao vrhovi pravokutnika

Četvrti je vrh pravokutnika C 4.5 , 2 .


Kutak za znatiželjne

Zadatak 21.

Koliko kvadratnih jedinica ima površina trokuta u pravokutnome koordinatnom sustavu kojemu su koordinate A 2 5 6 , 0 , B 0 , 3 2 3 i C 0 , 0 . Nacrtajte taj trokut u pravokutnome koordinatnom sustavu. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu kao vrhovi pravokutnog trokuta

Površina trokuta je P = 5 7 36 kvadratnih jedinica.


Zadatak 22.

U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte trokut A B C s koordinatama A - 2.4 , 3 , B - 1.3 , - 1.5 i C 0 , 1 . Nacrtajte na papiru njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os ordinata. Ispišite koordinate novog trokuta.

Osnosimetrična slika vrhova trokuta obzirom na os ordinata
Koordinate vrhova osnosimetrične slike trokuta A B C   su A ' 2.4 , 3 , B ' 1.3 , - 1.5 i C ' 0 , 1 .

Zadatak 23.

U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtajte trokut A B C s koordinatama A - 2.2 , 2 2 5 , B 0 , - 3 i C 4 1 2 , 1.3 . Nacrtajte na papiru njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os apscisa. Ispišite koordinate novog trokuta.

Osna simetrija trokuta obzirom na os apscisu
Koordinate vrhova osnosimetrične slike trokuta ABC su A ' - 2.2 , - 2 2 5 ,   B 0 , 3 i C ' 4 1 2 , - 1.3 .

...i na kraju

Za prikazivanje točaka čije su koordinate racionalni brojevi zapisani u razlomačkom obliku prikladno je za jediničnu duljinu odabrati zajednički višekratnik svih nazivnika.

Koordinatni sustav primjenjuje se u različitim područjima, primjerice za grafičko prikazivanje gibanja, za geografske koordinate ili za grafičko prikazivanje različitih statističkih podataka i veza među njima.

Projekt

Potražite geografske koordinate nekog mjesta koje vam je posebno zanimljivo. Odredite geografske koordinate četiriju mjesta koja čine vrhove kvadrata. Usporedite svoj tako dobiveni kvadrat s kvadratima ostalih učenika. Istražite na kojim se još područjima primjenjuje koordinatni sustav.

Provjerite znate li riješiti ove zadatke. Zadatke najprije samostalno riješite, a zatim svoje rješenje usporedite s ponuđenim.

Zadatak 24.

Očitajte koordinate točaka sa slike.  

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu


Koordinate točaka su A 2.3 , - 3.4 , B - 1.3 , 0 , C 0 , - 5 i D - 3.3 , - 4.9 .


Zadatak 25.

Približno ucrtajte na papiru točke A 2 3 , 2 4 5 , B 4 5 , - 2 4 15 , C 0 , 2 i D 16 5 , - 3 15 u pravokutni koordinatni sustav i napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu sa nazivima kvadranata u kojima se nalaze

A – I. kvadrant, B – IV. kvadrant, C os ordinata, D IV. kvadrant.