x
Učitavanje

1.3 Pravokutni koordinatni sustav s cjelobrojnim koordinatama

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pojam koordinata susreli ste već u geografiji. Naučili ste, na primjer, da svaki grad ima svoje geografske koordinate. Pridružite svakom gradu na slici njegove geografske koordinate.

Karta Europe

(42N, 11E)

(43N, 18E)

(51N, 0)

(39N, 10W)

(37N, 42E)

null
null

Rješenja: (Rim ( 42 N , 11 E ) , Dubrovnik ( 43 N , 18 E ) , London ( 51 N , 0 ) , Lisabon ( 39 N , 10 W ) , Atena ( 37 N , 42 E ) .


Otkrivamo koordinatni sustav

Zanimljivost

Francuski matematičar Rene Descartes

U matematici koordinate omogućuju povezivanje aritmetike i geometrije. Ta dva područja povezao je francuski matematičar Renè Descartes u 17. stoljeću uvođenjem koordinatnog sustava u ravnini. Legenda kaže da mu je ideja sinula kad je bolestan ležao u krevetu i dugo gledao muhu kako šeta po podu popločenom pločicama u obliku kvadrata. Dio matematike koji povezuje aritmetiku i geometriju naziva se analitička geometrija.

Pročitajte više o Renèu Descartesu.

Povezani sadržaji

Starinski pomorac  gleda pomorsku kartu, šestarom nešto mjeri

Pri izradi geografskih i pomorskih karata stari su se kartografi još od davnih vremena za označavanje objekata koristili koordinatama. Pomorcima koji su te karte poslije upotrebljavali na trgovačkim putovanjima i otkrivanju novih svjetova, koordinate su služile za lakše snalaženje i čitanje karte. Samo su najbolji među njima znali čitati karte i bili su vrlo cijenjeni. Danas se koordinatama koristimo u mnogim životnim područjima, primjerice u geografiji, pomorstvu, zrakoplovstvu, navigaciji, fizici i matematici.

Pogledajte video o pravokutnom koordinatnom sustavu u ravnini.

Koordinatni sustav u ravnini

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita brojevna pravca. Ta dva pravca nazivamo koordinatne osi. Sjecište tih pravaca je ishodište koordinatnog sustava. Točkama pravokutnoga koordinatnog sustava u ravnini pridružujemo uređene parove.

Ishodište O ( 0 , 0 ) koordinatnog sustava je točka u kojoj se sijeku koordinatne osi. Horizontalnu koordinatnu os nazivamo os apscisa ili os x .
Vertikalnu koordinatnu os nazivamo os ordinata ili os y .

Točki T u pravokutnom koordinatnom sustavu pridružen je uređeni par brojeva ( x , y ) . Prvi član uređenog para naziva se prva koordinata ili apscisa točke T , a drugi član druga koordinata ili ordinata točke T . Pišemo: T ( x , y ) .

Točka T ( x , y ) nalazi se na sjecištu pravaca usporednih s koordinatnim osima.

Primjer 1.

Na papiru ucrtajmo u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama A 2 , 3 , B - 3 , 4 , C - 2 , - 1 , D 4 , - 2

Ucrtavanje točaka u koordinatni sustav u ravnini

Kako bismo nacrtali točku A najprije potražimo broj 2 na osi x , a drugi član, broj 3 na osi y. Iz koordinate 2 na osi x povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate 3 na osi y povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka A .

Za točku B najprije potražimo broj - 3 na osi x , a drugi član, broj 4 na osi y . Iz koordinate - 3 na osi x povučemo crtkano okomicu gore, a iz koordinate 4 na osi y povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka B .

Crtanje točke C počinjemo tako da najprije potražimo broj - 2 na osi x , a drugi član, broj - 1 na osi y . Iz koordinate - 2 na osi x   povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate - 1 na osi y povučemo crtkano okomicu lijevo. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka C .

Za točku D najprije potražimo broj 4 na osi x , a drugi član, broj - 2 na osi y . Iz koordinate 4 na osi x povučemo crtkano okomicu dolje, a iz koordinate - 2 na osi y povučemo crtkano okomicu desno. Točka u kojoj se sijeku te okomice je točka D .


Zadatak 1.

Ucrtajte točke A ( - 3 , - 2 ) , B ( 0 , 4 ) , C ( 2 , - 5 ) , D ( - 4 , 1 ) u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Točke u koordinatnom sustavu u ravnini

Točku T x , y  ucrtavamo u pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da na osi x nađemo prvu koordinatu točke T i iz nje povučemo okomicu na os x , zatim na osi y nađemo drugu koordinatu točke T i iz nje povučemo okomicu na os y . U sjecištu tih okomica nalazi se točka T .

Zadatak 2.

Ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke s koordinatama K ( - 2 , 5 ) , L ( 3 , 1 ) , M ( - 3 , - 3 ) , N ( 4 , 2 ) . Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Ucrtavanje točaka u pravokutni koordinatni sustav

Zadatak 3.

Smjestite točke A ( - 3 , 1 ) , B ( 5 , - 2 ) , C ( 3 , 6 ) , D ( - 1 , - 4 ) na odgovarajuće mjesto u pravokutnome koordinatnom sustavu.

Povećaj ili smanji interakciju
Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Kvadranti

Koordinatne osi dijele ravninu na četiri jednaka dijela koje nazivamo kvadranti. Kvadrante označavamo rimskim brojevima I., II., III. i IV. u smjeru suprotnom od smjera kazaljki sata.

Kvadranti

Pogledajte sliku i uočite kakve predznake imaju koordinate točaka ovisno o kvadrantu u kojem se nalaze.

U prvom su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate pozitivni brojevi. U drugom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa negativni, a ordinata pozitivni broj. U trećem su kvadrantu smještene točke kojima su obje koordinate negativni brojevi. U četvrtom su kvadrantu smještene točke kojima je apscisa pozitivan, a ordinata negativan broj.

Slika pravokutnog koordinatnog sustava podijeljena na 4 kvadranta i na njoj označeni predznaci koordinata točaka u pojedinom kvadrantu

Zadatak 4.

 Označite točne odgovore.

  1. Točka ( - 3 , 2 ) pripada I. kvadrantu.

    null
    null
  2. Točka ( - 3 , - 4 ) pripada III. kvadrantu.

    null
    null
  3. Točka ( 2 , 6 ) pripada I. kvadrantu.

    null
    null
  4. Točka ( 11 , - 7 ) pripada III. kvadrantu.

    null
    null

Primjer 2.

Ucrtajmo točke O ( 0 ,   0 ) , A ( 5 ,   0 ) , B ( 0 , - 3 ) u pravokutni koordinatni sustav.

Točka A

Sjetimo se da se točka O ( 0 , 0 ) , koja se nalazi na sjecištu koordinatnih osi, naziva ishodište koordinatnog sustava. Točku A ucrtamo 5 jediničnih duljina desno od O  na osi x jer joj je druga koordinata nula, a točku B 3 jedinične duljine dolje od O na osi y jer joj je prva koordinata nula. Točka A nalazi se na osi x , a točka B na osi y .


Kako prepoznajemo točke koje se nalaze na osi x ? A kako točke koje su na osi y ?

Točke koje se nalaze na osi x imaju ordinatu 0 , a točke koje su na osi y imaju apscisu 0 .

Zadatak 5.

Na papir ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke A 3 , 0 , B ( - 3 , 1 ) , C ( 0 , 5 ) , D ( 4 , - 2 ) pa napišite u kojem su kvadrantu ili na kojoj osi smještene.

Točke u pravokutnom koordinatnom sustavu

Zadatak 6.

Svrstajte točke u odgovarajući kvadrant ili na koordinatnu os.

2 , 19
13 , - 7
0 , 1
- 45 , - 1   ​
- 3 , 0
- 4 , 15

Pomoć:

Nacrtajte na papir koordinatni sustav, kako biste lakše pronašli rješenje.

null

Očitavanje koordinata

Primjer 3.

Točka A je 3 jedinične duljine lijevo i 2 jedinične duljine gore od ishodišta, točka B je 4 jedinične duljine desno i 1 jediničnu duljinu dolje od ishodišta, točka C je 3 jedinične duljine lijevo i 2 jedinične duljine dolje, točka D je 4 jedinične duljine desno na osi x a točka E je 3 jedinične duljine dolje na osi y.

Očitajmo koordinate točaka na slici.

Točka A je 3 jedinične duljine lijevo i 2 jedinične duljine gore od ishodišta, točka B je 4 jedinične duljine desno i 1 jediničnu duljinu dolje od ishodišta, točka C je 3 jedinične duljine lijevo i 2 jedinične duljine dolje, točka D je 4 jedinične duljine gore na osi y , a točka E je 3 jedinične duljine dolje na osi y .

A ( - 3 , 2 ) ,   B ( 4 , - 1 ) , C ( - 3 , - 2 ) ,   D ( 0 , 4 ) ,   E ( 0 , - 3 )


Prvu koordinatu točke čitamo na horizontalnoj osi (osi apscisa), a drugu koordinatu na vertikalnoj osi (osi ordinata).

Zadatak 7.

Očitajte koordinate točaka sa slike.  

Točke sa cjelobrojnim koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu


Upišite koordinate točaka sa slike.

A (  , )

B (  , )

C (  , )

D (  , ) .

Pomoć:

Koordinate upišite brojčano na predviđena mjesta.

 

Zadatak 8.

Očitajte koordinate točaka na slici.  

Točke u koordinatnom sustavu


A ( 2 , - 6 ) , B - 1 , - 2 , C ( 0 , 2 ) , D ( 2 , - 1 )  


Zadatak 9.

Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.

  1. Sa slike očitajte u kojem je mjesecu potrošnja građana u trgovačkom centru bila najmanja?
  2. Kolika je bila potrošnja u tome mjesecu?
  3. U kojem je mjesecu potrošnja bila najveća?
  4. Kolika je bila potrošnja u tome mjesecu?
  5. Očitajte u kojim su mjesecima građani potrošili jednako mnogo novaca?

Rješenja upišite u obliku prirodnih brojeva, mjesece možete upisati kao redne brojeve ili slovima.

  1. Potrošnja građana u godini
    Najmanja potrošnja bila je u  mjesecu.
    null
  2. Iznosila je  kuna.

    Pomoć:

    Pri upisu traženih brojčanih podataka, broj zapišite na predviđeno mjesto.

    null
  3. Najveća potrošnja bila je u  mjesecu.
    null
  4. Iznosila je  kuna.

    Pomoć:

    Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite na predviđeno mjesto.

    null
  5. Jednako mnogo građani su potrošili u  i  mjesecu.
    null

Primjene koordinatnog sustava

Povezani sadržaji

Koordinatni sustav u ravnini često se koristi u Fizici za crtanje grafova koji prikazuju ovisnost dviju veličina. Neki takvi grafovi, na primjer, mogu prikazivati kako duljina prijeđenog puta ili brzina tijela ovise o vremenu. S obzirom na to da su sve spomenute veličine pozitivne, crta se samo prvi kvadrant, a često radi veličine papira ili preglednosti jedinične dužine imaju različite duljine na svakoj od koordinatnih osi.

Zanimljivost

U svakom je kućanstvu važno praćenje troškova stanovanja. Koristeći se internetskim uslugama možete pratiti mnoge troškove, kao što su potrošnja vode, struje, telefona, plina ili internetskog prometa. Primjerice, Zagrepčani mogu pratiti potrošnju vode u kućanstvu na stranici Vodoopskrba i odvodnja. Na taj je način lakše voditi računa o uštedi energenata ili upravljati svojim ukupnim troškovima. Potražite mrežne stranice na kojima možete pratiti troškove stanovanja u vašemu mjestu.

Zadatak 10.

Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.

Na stranicama vodovodnog poduzeća građani mogu pogledati stanje vodomjera (u kubnim metrima) na određeni datum.
Sa slike očitajte stanje vodomjera 31. listopada 2016. godine.
Graf stanja vodomjera po datumima
Stanje vodomjera 31. listopada 2016. bilo je m 3 .

Pomoć:

Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite na predviđeno mjesto.

 

U je potrošnja bila između 800 i 810 m 3 .

Pomoć:

Pažljivo pogledajte grafički prikaz.

Zadatak 11.

Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.

Grafički prikaz prijeđenog puta
Graf prikazuje duljinu puta koji je autobus prešao u određenom vremenu. Očitajte s grafa koliki je put autobus prešao za tri sata vozeći stalnom brzinom. Autobus je za tri sata prešao kilometara.

Pomoć:

Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite u predviđeni okvir.

 

Zadatak 12.

Pogledajte sliku pa odgovorite na pitanja.

Grafički prikaz kretanja kamiona.
Na slici je grafički prikaz kretanja kamiona ispisan s tahografa kojim se koristi vlasnik prijevozničkog poduzeća Kamioni. Sa slike očitajte koliki je put prešao taj kamion za tri sata. Rješenje upišite u obliku prirodnog broja. Kamion je za tri sata prešao kilometara.

Pomoć:

Pri upisu traženih brojčanih podataka broj zapišite u predviđeni okvir.

null

Zanimljivost

Slika tahografa

Tahograf je uređaj koji mjeri brzinu i prijeđeni put vozila. S tahografa se može očitati vrijeme vožnje, vrijeme provedeno u poslu koji nije vožnja ili vrijeme odmora, brzina kretanja vozila, prijeđena udaljenost i slični podatci pa često služi poslodavcima kao potvrda ili nadzorni uređaj o aktivnostima profesionalnih vozača, kormilara, strojovođa, pilota i članova njihove posade.

Više o tahografima možete saznati na stranici Tahograf-Wikipedija. Od 2009. godine u Hrvatskoj se koriste digitalni tahografi. O digitalnim tahografima možete više saznati na stranicama Mala škola tahografa.

Uvježbajmo.

Zadatak 13.

Spojite parove tako da svakoj točki pridružite kvadrant ili koordinatnu os kojoj pripada.

A ( 3 , 0 )
B ( - 3 , 1 )
C ( 0 , 5 )
D ( 4 , - 2 )

Pomoć:

Na papiru nacrtajte koordinatni sustav kako biste lakše riješili zadatak.

null

Zadatak 14.

Ucrtajte točke A ( - 3 , - 2 ) , B ( 0 , 4 ) , C ( 2 , - 5 ) , D ( - 4 , 1 ) u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju
Ucrtavanje točaka

Zadatak 15.

Na papiru ucrtajte točke A 0 , - 1 , B - 2 , - 4 , C 0 , - 2 u pravokutni koordinatni sustav te napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.

Točka A nalazi se na osi ordinata, točka B je u III. kvadrantu, a točka C je na osi ordinata.


Zadatak 16.

Očitajte koordinate točaka sa slike i napišite kojem kvadrantu ili koordinatnoj osi pripadaju.  

Točke u koordinatnom sustavu

Točka A ( 3 , 0 ) nalazi se na osi apscisa, B ( - 2 , - 6 ) u III. kvadrantu, C ( 5 , - 2 ) u IV. kvadrantu i točka D ( - 3 , 0 ) na osi apscisa.


Zadatak 17.

Na papiru ucrtajte u pravokutni koordinatni sustav točke A - 3 , - 2 , B 3 , - 2 , C ( 1 , 2 ) , D ( - 2 , 2 ) . Spojite redom točke A i B , B i C , C i D te A i D . Koji ste lik dobili? Procijenite površinu toga lika u zadanim kvadratnim jedinicama.

Trapez u koordinatnom sustavu

Nacrtan je trapez, a njegova je površina 18 kvadratnih jedinica.


Površinu trapeza računamo prema formuli P = a + c 2 · v , gdje su a i c duljine osnovica trapeza, a v njegova visina. ​

Zadatak 18.

Kvadrat ABCD zadan je koordinatama triju vrhova: A - 2 , 0 , B 0 , - 2 , C 2 , 0 . Procijenite koordinate četvrtog vrha D zadanog kvadrata i ucrtajte taj kvadrat u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Povećaj ili smanji interakciju

Koordinate četvrtog vrha kvadrata su D 0 , 2 .


Zadatak 19.

Paralelogram ABCD zadan je koordinatama triju vrhova: A ( - 1 , - 1 ) , B ( 6 , - 1 ) , C ( 4 , 2 ) . Procijenite koordinate četvrtog vrha D zadanog paralelograma i ucrtajte taj paralelogram u pravokutni koordinatni sustav. Zadatak možete riješiti i koristeći se digitalnim predloškom koordinatnog sustava izrađenim u GeoGebri.

Koordinate četvrtog vrha kvadrata su D ( - 3 , 2 ) .


Kutak za znatiželjne

Primjer 4.

Na papiru ucrtajmo točke A ( 2 , - 3 ) i B - 4 , 1 u pravokutni koordinatni sustav. Odredimo koordinate točke A ' koja je osnosimetrična slika točke A s obzirom na os apscisa, a zatim koordinate točke B ' koja je osnosimetrična slika točke B s obzirom na os ordinata.

Simetrične točke obzirom na koordinatne osi

Prisjetimo se: Osnosimetričnu sliku točke A crtamo tako da najprije nacrtamo okomicu na os simetrije kroz zadanu točku A , a zatim odredimo točku A ' takvu da je sjecište okomice i osi simetrije polovište dužine A A ' ¯ . Točka A ' je osnosimetrična slika točke A .


Zadatak 20.

Označite točan odgovor.

Koja od ponuđenih točaka je osnosimetrična slika točke A ( - 3 , 4 ) s obzirom na os ordinata?

null
null

Zadatak 21.

Označite točan odgovor.

Ucrtajte točku A ( - 3 , 4 ) u pravokutni koordinatni sustav i odredite koordinate točke koja je osnosimetrična slika točke A s obzirom na os apscisa.

null
null

Zadatak 22.

U pravokutnome koordinatnom sustavu nacrtan je trokut ABC kojemu su koordinate vrhova A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , - 1 ) i C ( 1 , 2 ) . Nacrtajte njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os apscisa.

Povećaj ili smanji interakciju
Simetrične slike

Zadatak 23.

Nacrtajte na papiru trokut ABC kojemu su koordinate vrhova A ( 2 , 2 ) , B ( - 1 , 1 ) i C ( 1 , - 2 ) . Nacrtajte njegovu osnosimetričnu sliku s obzirom na os ordinata.

Simetrične slike

...i na kraju

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini čine dva okomita pravca: horizontalni je os apscisa (os x ) i vertikalni os ordinata (os y ) . Točku u kojoj se sijeku nazivamo ishodište koordinatnog sustava i označavamo s O ( 0 , 0 ) . Svakoj točki T pravokutnoga koordinatnog sustava pridružen je uređeni par brojeva ( x , y ) . Pišemo: T ( x , y ) . Prvi član uređenog para točke T ( x , y ) naziva se prva koordinata ili apscisa točke T , a drugi je član druga koordinata ili ordinata točke T .  

Pravokutni koordinatni sustav - uređeni parovi

Kako biste još bolje usavršili svoju vještinu snalaženja u koordinatnom sustavu možete odigrati i neku od ovih igara. Igre su na engleskom jeziku te zahtijevaju Adobe Flash Player: Krtica i Izvanzemaljac.  

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1
Točka O 0 , 0 je pravokutnoga koordinatnog sustava u ravnini. Vodoravna os pravokutnoga koordinatnog sustava naziva se ili . Okomita os pravokutnoga koordinatnog sustava naziva se ili . Dijelovi na koje je ravnina podijeljena koordinatnim osima nazivaju se .
null
2

Točka A ( 4 , - 2 ) pripada I. kvadrantu. 

 

null
3

Točka B ( - 3 , 1 )  pripada II. kvadrantu.​

null
4

Točka C 3 , - 3 pripada III. kvadrantu.

null
5

Točka​ D 5 , - 1 pripada IV. kvadrantu

null
null
6

Točka E 4 , 0 pripada osi apscisa.

null
null
7

Točka F 0 , - 3 pripada osi ordinata.

null
8

Koja od navedenih slika pokazuje pravokutni koordinatni sustav s ispravno ucrtanim točkama A 4 , 5 , B - 3 , - 4 , C - 4 , 0 , D 0 , - 2 ​?

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

Pravokutni koordinatni sustav u ravnini

null
null
9
Na stranicama vodovodnog poduzeća građani mogu pogledati kolika im je bila potrošnja vode (u kubnim metrima) u određenom razdoblju .
Grafički prikaz potrošnje vode po mejsecima
Sa slike očitajte točku kada je potrošnja vode u nekom kućanstvu bila najveća. U kojem je to mjesecu bilo i kolika je bila potrošnja vode? Potrošnja vode u kućanstvu bila je najveća u mjesecu i iznosila je m 3 .
null
10
Očitavanje koordinata točaka

Očitajte koordinate točaka sa slike i dovucite parove na točna područja .

D ( - 4 , - 5 )
os apscisa
  B ( 3 , - 6 )
IV. kvadrant
  C ( 6 , 2 )   ​
III. kvadrant
A ( - 1 , 0 )  
I. kvadrant

Pomoć:

Pažljivo pročitajte zadatak.

null
11

Točka kojoj je pridružen uređeni par s ordinatom 3 i apscisom - 4 je:

null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

1.4 Pravokutni koordinatni sustav s racionalnim koordinatama