x
Učitavanje

10.3 Jednadžba pravca

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na početku, prisjetimo se primjera koji smo spominjali učeći proporcionalne veličine, a koji prikazuje ovisnost ukupne cijene o količini, uz zadanu jediničnu cijenu proizvoda. Proučite danu interakciju, a potom odgovorite na nekoliko pitanja.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Pridružite odgovarajuće pojmove:

    cijena i količina
    proporcionalne veličine
    graf proporcionalnosti
    linearna funkcija
    funkcija proporcionalnosti
    polupravac iz ishodišta

     

    null
  2. Funkcija proporcionalnosti linearna je funkcija kojoj je vrijednost koeficijenta b :

     

     

  3. Formule funkcija rasporedite na odgovarajuća mjesta. Redoslijed slaganja formula u određeni skup neka ovisi o veličini koeficijenta a  i to od najmanjega prema najvećemu.

    Slika prikazuje Vennov dijagram koji prikazuje odnos linearne funkcije i funkcije proporcionalnosti

    f x = 2 x - 1

    f x = 2 x

    f x = - x

    f x = 1 3 x + 5

    f x = 1 3 x

    f x = - x + 3

    Pomoć:

    Nakon što odredite koje su funkcije funkcije proporcionalnosti, posložite formule od gore prema dolje uspoređujući veličine koeficijenta a .

Crtanje pravca u pravokutnom koordinatnom sustavu

U sljedećem je primjeru zadana linearna funkcija. Možemo li i nju prikazati u pravokutnom koordinatnom sustavu? Pokušajmo.

Primjer 1.

U interakciji koja slijedi zadana je formula linearne funkcije f ( x ) = 2 x - 3 .

Izračunajte vrijednosti funkcije za zadane argumente pa odredite položaj dobivenih točaka u koordinatnom sustavu. 

Uputa: Ukoliko ste točno izračunali traženu vrijednost, lijevo od tablice će se pojaviti točka koju je potrebno alatom Pomicanje postaviti na odgovarajući položaj u koordinatnom sustavu u ravnini.

Alati koje možete koristiti su, redom: Pomicanje, Pravac, Izbriši.

Povećaj ili smanji interakciju

Točke koje ste ucrtali u koordinatni sustav pripadaju jednom pravcu. Nacrtajte ga koristeći se alatom za crtanje pravca.

Slika prikazuje graf linearne funkcije f(x)=2x-3

Usporedite svoje rješenje sa slikom.


Primjer 2.

Nacrtajte skup svih točaka x , y  u pravokutnom koordinatnom sustavu ako za njihove koordinate vrijedi  y = 1 2 x + 1 .  

Uputa: Ako ste točno izračunali traženu vrijednost, pored tablice pojavit će se točka koju je potrebno alatom Pomicanje postaviti na odgovarajući položaj u koordinatnom sustavu u ravnini. 

Povećaj ili smanji interakciju
Slika prikazuje graf funkcije f(x)=0.5x+1

Usporedite svoje rješenje sa slikom.


Umjesto zadanih vrijednosti za x , mogli smo zadati i bilo koje druge racionalne brojeve. Zadajte ponovno nekoliko vrijednosti broja x  i za svaki od njih izračunajte odgovarajuću vrijednost y , a zatim točku x , y  istaknite u istom koordinatnom sustavu. Što primjećujete?

Može se primijetiti da i nove točke pripadaju istom pravcu kao i točke koje su zadane u primjeru. 


S obzirom na to da smo vrijednosti argumenata uzeli proizvoljno, možemo zaključiti da bi bilo koja točka čije koordinate povezuje zadana jednadžba pripadala istom pravcu pa kažemo da smo nacrtali pravac čija je jednadžba y = 1 2 x + 1 .

Želimo li u koordinatnom sustavu u ravnini nacrtati pravac koji je zadan jednadžbom, dovoljno je znati koordinate dviju točaka koje mu pripadaju.

Argument x  

 
, a vrijednost y
 
 .

izračunavamo
 biramo po volji

Svaki je pravac određen s  .

Pomoć:

Dvjema zadanim točkama može se nacrtati točno jedan pravac.

 

Ako je koeficijent smjera razlomak, praktično je kao argument zadati broj koji je:

Pomoć:

Praktično je skratiti argument i nazivnik.

Zadatak 1.

Uvježbajte crtati pravce u koordinatnom sustavu u ravnini koristeći se danim predloškom.

Povećaj ili smanji interakciju
Slika prikazuje graf linearne funkcije f(x)-2x-6

Slijedite dani postupak.

  1. Nacrtajte tablicu (u bilježnicu) ili se koristite zadanim predloškom.
  2. Odaberite po volji nekoliko argumenata (najmanje dva, poželjno više).
  3. Izračunajte vrijednosti y za svaki zadani x prema zadanoj jednadžbi.
  4. Uređeni par x , y određuje točku u koordinatnom sustavu u ravnini.
  5. Dobivene točke x , y istaknite u koordinatnom sustavu.
  6. Nacrtajte pravac koji prolazi istaknutim točkama.
  7. Ako se koristite predloškom, rješenje možete provjeriti gumbom rješenje koje se pojavi nakon što popunite sva tri retka tablice. Ako je vaše rješenje točno, pravci će se preklopiti, kao na slici.

U prethodnim primjerima i zadatcima mogli smo primijetiti da je svaki od pravaca bio zadan jednadžbom oblika y = a x + b . Takav oblik jednadžbe pravca naziva se eksplicitna jednadžba pravca.

Eksplicitna jednadžba pravca je jednadžba oblika y = a x + b , a određena je racionalnim brojevima a i b .

Zadatak 2.

Dovucite dane jednadžbe u odgovarajuća polja.

y + 3 x = 7  

Eksplicitna jednadžba pravca

NIJE eksplicitna jednadžba pravca

Pomoć:

Eksplicitna jednadžba pravca lako se prepoznaje jer u njezinu zapisu s lijeve strane uvijek je samo y .

null

Zanimljivost

Osim eksplicitne jednadžbe pravca, u vašem vas školovanju očekuju i implicitna jednadžba pravca i segmentna jednadžba pravca. 

Riječ eksplicitan dolazi iz latinskoga jezika (od explicare), a znači: onaj koji je jasan, onaj koji je jasno iskazan, onaj koji je objašnjen.

Značenje koeficijenata eksplicitne jednadžbe pravca

Iz eksplicitnog oblika jednadžbe pravca možemo očitati koeficijente a  i b , a jednako tako možemo zapisati jednadžbu pravca ako su koeficijenti zadani. Provjerimo.

Zadatak 3.

  1. Odredite koeficijente eksplicitne jednadžbe pravca y = x - 1 :

    Pomoć:

    Koeficijent a je broj uz x . U zapisu jednadžbe x možemo čitati kao 1 x .

    null
  2. Zadana je eksplicitna jednadžba pravca čiji su koeficijenti a = - 3 i b = 4 . Umetnite zadane brojeve na odgovarajuće mjesto.
    y =  

     
    x +
     

    - 3
    4  

    null

Primjer 3.

Proučite kako koeficijenti utječu na položaj pravca u koordinatnom sustavu. Pomičite klizače i promatrajte nastale promjene. Pratite istodobno vrijednosti postavljenih klizača i eksplicitnu jednadžbu pravca.

Radi jednostavnosti, koeficijenti su u ovom primjeru cijeli brojevi.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Riješite kviz kako biste provjerili svoje zaključke.

    Ako je koeficijent a = 0, tada je pravac:

    Pomoć:

    Vratite se na prethodni aplet, postavite klizač na položaj a = 0 .

    null
  2. O koeficijentu a    nagib pravca.

    Pomoć:

    Mijenjajte klizač i promatrajte nagib pravca u odnosu na apscisu. Mijenja li se?

    null
  3. Vrijednost koeficijenta a  možemo izračunati pomoću duljina kateta istaknutog trokuta. Na koji način?

    Pomoć:

    Na apletu odaberite pomoć kako biste vidjeli istaknuti pravokutni trokut.

    null
  4. Ovisi li nagib pravca o koeficijentu b ?

    Pomoć:

    Postavite klizač a na neku vrijednost, a mijenjajte položaj klizača b . Mijenja li se nagib pravca?

    null
  5. Koeficijent b određuje točku u kojoj pravac siječe os .
    null
  6. Koeficijent b ima vrijednost kao i  točke u kojoj pravac siječe .

    null

U eksplicitnoj jednadžbi pravca y = a x + b koeficijent a  nazivamo koeficijent smjera pravca ili nagib pravca.

U eksplicitnoj jednadžbi pravca y = a x + b koeficijent b  određuje točku u kojoj pravac siječe os y  i nazivamo ga odsječak na osi y .

Zadatak 4.

Rješavajući sljedeću interakciju, provjerit ćete usvojenost značenja koeficijenata eksplicitne jednadžbe pravca. Ponovimo:

Povećaj ili smanji interakciju

Određivanje jednadžbe pravca

Odrediti eksplicitnu jednadžbu pravca znači odrediti vrijednosti koeficijenata a  i b  i zapisati jednadžbu u obliku y = a x + b .

To možemo učiniti ako imamo zadane sljedeće podatke:

Primjer 4.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca kojemu pripada točka T 2 , 7 i kojemu je koeficijent smjera jednak 4.

Točka pripada pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca. Uvrstimo stoga koordinate točke ​ T u jednadžbu pravca y = a x + b .

T 2 , 7   x = 2 ,   y = 7  pa vrijedi 7 = a · 2 + b

Uvrstimo i a = 4  i imamo jednadžbu iz koje možemo izračunati vrijednost koeficijenta  b .

7 = 4 · 2 + b  

b = - 1  

Poznata su nam oba koeficijenta pa možemo odrediti eksplicitnu jednadžbu pravca:

y = 4 x - 1


Zadatak 5.

  1. Odredite redoslijed radnji koje je potrebno izvršiti kako biste odredili jednadžbu pravca kojemu je zadan nagib i točka kojom prolazi.

    • Riješimo jednadžbu s nepoznanicom b .
    • U jednadžbu y = a x + b uvrstimo vrijednosti koeficijenata.
    • U jednadžbu y = a x + b uvrstimo zadane vrijednosti za a , x i y .
    null
  2. Povlačenjem pojma odaberite jednadžbu pravca koji prolazi točkom T 4 , 1 i ima koeficijent smjera a = 3 4 .

    Slika prikazuje jednadžbe triju pravaca: y=3/4x-2, y=3/4x+10, y=3/4x-24

    TOČNO!

    null
  3. Odsječak na osi y iznosi  .
    null

Zadatak 6.

Odredite eksplicitnu jednadžbu pravca koji sadrži točku A 8 , 4  i kojemu je koeficijent smjera 3 4 .

Eksplicitna jednadžba zadanog pravca glasi:

Pomoć:

Proučite postupak naveden u prethodnom zadatku.

null

Primjer 5.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca koji sadrži točku B 2 , - 8 i kojemu je odsječak na osi y jednak 2 .

U jednadžbu pravca y = a x + b uvrstimo zadane veličine pri čemu je x = 2 , y = - 8 , b = 2 i izračunajmo vrijednost nepoznanice a .

a = - 5 pa tražena jednadžba glasi y = - 5 x + 2


Zadatak 7.

Kako glasi eksplicitna jednadžba pravca koji siječe os ​ y u točki 0 , - 5 , a sadrži točku - 2 , - 9 ?

Ako pravac siječe os y  u zadanoj točki, znači da je odsječak na toj osi jednak upravo ordinati sjecišta, tj. b = - 5 . Dalje rješavamo kao u prethodnom primjeru.

Tražena jednadžba pravca je y = 2 x - 5.


Primjer 6.

Odredimo eksplicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkama T 1 1 , - 1  i T 2 - 1 , - 7 .

Koordinate obiju točaka uvrstit ćemo u eksplicitnu jednadžbu pravca pa ćemo koeficijente izračunati iz dobivenog sustava.

1 , - 1 - 1 = a · 1 + b - 1 , - 7 - 7 = a · - 1 + b _

Rješenje sustava je

a = 3 b = - 4

pa tražena jednadžba glasi y = 3 x - 4 .


Zadatak 8.

Uz pomoć ponuđene interakcije možete uvježbati određivanje jednadžbe pravca koji prolazi zadanim točkama. Za rješavanje pripremite olovku i papir.

Povećaj ili smanji interakciju

Kutak za znatiželjne

Za one koji žele znati malo više slijede teme Posebni pravci i Implicitna jednadžba pravca.

Posebni pravci

Je li baš svaki pravac u koordinatnom sustavu graf linearne funkcije? Pogledajmo pravce prikazane na slikama. 

Možete se koristiti predloškom za crtanje kako biste istražili ove i slične pravce. 

Jesu li i ovo grafovi nekih funkcija?

Ovisi li vrijednost ordinate o vrijednosti apscise?

Imaju li ovi pravci nagib?

Možemo li odrediti odsječak na osi ordinata?

Implicitna jednadžba pravca

Jednadžba pravca ne mora uvijek biti zapisana u eksplicitnom obliku. Na primjer, ako je zapisana u obliku takvom da je s lijeve strane jednakosti izraz s cjelobrojnim koeficijentima, a s desne strane jednakosti samo nula, govorimo o implicitnom obliku jednadžbe pravca. Takvu jednadžbu jednostavno je prevesti u eksplicitni oblik. Proučimo primjer.

Dana je linearna jednadžba 2 x + 3 y - 6 = 0.

Zapišimo jednadžbu tako da s lijeve strane bude y (s pripadnim koeficijentom), a zatim izrazimo y .

3 y = - 2 x + 6 / : 3

y = - 2 3 x + 2

Želite li se poigrati prevođenjem implicitnog zapisa jednadžbe pravca u eksplicitni, možete to učiniti uz interakciju autorice Željke Dijanić.

...i na kraju

Ponovimo i upamtimo:

EKSPLICITNA JEDNADŽBA PRAVCA

y = a x + b

a - koeficijent smjera pravca ili nagib pravca

b - odsječak na osi ordinata

T x , y - pripada pravcu ako njezine koordinate zadovoljavaju jednadžbu pravca

Idemo na sljedeću jedinicu

10.4 Graf linearne funkcije