x
Učitavanje

10.1 Pojam linearne funkcije

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Slika prikazuje dječaka koji razmišlja kako bi riješio zadatak iz enigmatskog časopisa.

Filip je, listajući časopis, naišao na zadatak koji ga je zainteresirao. Sedam brojeva i upitnik. Prava "glavolomka"!

Može li Filip otkriti koji broj treba biti na mjestu upitnika? 

Možete li vi?

Tražimo vezu između dvaju brojeva koji su u paru. Ta veza trebala bi vrijediti za sve zapisane parove brojeva. Na temelju otkrivene veze između brojeva, naći ćemo odgovor na pitanje koji broj treba zapisati na mjesto upitnika.

Moguće je da će Filip prvo pokušati broj pomnožiti sa samim sobom kako bi broju 3  pridružio broj 9 . No, ta veza ne vrijedi za sljedeći par brojeva.

Traženo je rješenje: prvi broj udvostručite pa umnožak uvećajte za 3 .


Zavisnost veličina

Kako bismo rješenje prethodnog zadatka zapisali matematičkim jezikom, potrebno je dogovoriti oznake kojima ćemo se najčešće koristiti. 

Ako s x  označimo zadani broj (neki brojzamišljeni broj, bilo koji broj), tada je sasvim prirodno označiti s y broj koji dobijemo kao rješenje. 

Možemo reći i ovako: broj y pridružujemo broju  x .

Primjer 1.

Uvježbajmo prevođenje rečenica na matematički jezik uz prethodno dogovorene oznake. 

  1. Kako biste rješenje Filipovog zadatka zapisali matematičkim jezikom, u označena polja dovucite odgovarajuće izraze.

    Slika prikazuje tekst koji treba prevesti na matematički jezik, a pojedini su dijelovi istaknuti različitim bojama.

    + 3

    2 · x

    y =

    null
    null
  2. Sastavite glavolomku koja odgovara sljedećem opisu: da bismo dobili rješenje, moramo prvo broj pomnožiti s 3 , a zatim umnošku oduzeti broj 1 .  

    Kako biste tu tvrdnju zapisali koristeći se matematičkim jezikom?

    Pomoć:

    Ponovite više puta riječima ili zapišite "recept", odnosno vezu između postojećih parova brojeva pa pokušajte još jedanput prevesti to na matematički jezik.

    Ili, u odabrani odgovor umjesto broja x uvrstite redom zadane brojeve i provjerite hoćete li kao rješenje dobiti pridružene im brojeve.

    Postupak:

    Jedan od načina zadavanja zadatka prikazan je slikom.

    Slika prikazuje parove brojeva pridruženih po pravilu koje treba otkriti

Možemo primijetiti da broj y ovisi o odabiru broja x .  Kako bi tu zavisnost naglasili, matematičari se često koriste zapisom y = f x .  

U navedenom zapisu, f predstavlja pravilo pridruživanja.
Označeno je slovom f  jer riječ pravilo dolazi od latinske riječi functio, odnosno funkcija.

Taj zapis možemo čitati: " y je broj koji ovisi o broju x  po zadanom pravilu pridruživanja" ili kraće: " y je  ef od x ".

Pod pojmom funkcija podrazumijevamo pravilo pridruživanja u kojem vrijednosti jedne veličine pridružujemo točno jednu vrijednost druge veličine. Funkcija je najčešće zadana formulom, tablicom ili grafičkim prikazom.

Zanimljivost

Karikatura Leonharda Eulera

Prvi matematičar koji je uveo oznaku f x bio je švicarski matematičar Leonhard Euler [čitamo: ojler].

Euler (1707.-1783.) školovao se u Baselu, ali je velik dio svoga života proveo u Berlinu i Petrogradu. U svojoj 28. godini oslijepio je na desno oko, ali to ga nije spriječilo da nastavi s matematičkim radom i objavi više od 900 radova.

S obzirom na to da je vrijednost druge veličine (veličine y ) potpuno određena vrijednošću prve veličine (veličine x ) i funkcijom f , pišemo y = f x .

Zadatak 1.

Proučite tablicu i odredite funkciju koja broju x pridružuje broj y .

x   1 5 0 2 4
  y = f x
- 1 15 - 5 3 11

Pomoć:

Isto pravilo mora vrijediti za sve parove brojeva x  i y .

null

Linearna funkcija

Linearna funkcija pridruživanje je kojim nekom racionalnom broju x   pridružujemo racionalni broj f ( x ) , a pravilo pridruživanja zadano je formulom f x = a x + b ,  pri čemu je a 0 .

Brojeve a i b nazivamo koeficijentima ili parametrima linearne funkcije. 

Broj x nezavisna je veličina (biramo ga po volji), a nazivamo ga argument linearne funkcije. 

Broj f x  je vrijednost funkcije f  za zadani argument x .

Zadatak 2.

Uvježbajmo zapisivanje formule linearne funkcije kojoj su zadani parametri (koeficijenti).

Povećaj ili smanji interakciju

Primjer 2.

Karlo, Bela, Petar, Goga i Ozana vlakom su stigli na osječki kolodvor. Budući da kiša neumorno pljušti, dalje će nastaviti taksijem. Početna cijena vožnje (start) iznosi 10 kn , a za svaki započeti kilometar naplaćuje se 3 kn . Udaljenosti odredišta od željezničkog kolodvora nalaze se u tablici.

Koliko će svatko od njih platiti ako znamo da odredište pojedine osobe ima isto početno slovo kao i vlastito ime te osobe?

Ilustracija prikazuje taksi  i udaljenosti do pojedinih odredišta.
Povećaj ili smanji interakciju

Karlo će platiti  13 k n , Goga  16 k n , Bela 19 k n ,  Ozana 22 k n , a Petar 25 k n .

Želite li provjeriti način računanja, klikom na gumb Provjerite pojavit će se gumb Rješenje.


  1. Označite točne tvrdnje.

    Pomoć:

    Ako niste sigurni u ispravnost tvrdnje, dopunite još jedanput tablicu razmišljajući pritom o navedenoj tvrdnji.

  2. Ako s x  označimo udaljenost, s f x  označit ćemo cijenu prijevoza jer na taj način naglašavamo da cijena ovisi o prijeđenoj udaljenosti.

    Postupak:

    Cijena ovisi o prijeđenoj udaljenosti.

  3. Za svaki sljedeći prijeđeni kilometar cijena poraste za   iznos. Možete li odrediti vezu između tog iznosa i zadanoga zadatka? Odaberite pomoć ako ne uspijete.

    Pomoć:

    Za svaki sljedeći prijeđeni kilometar cijena je veća za 3 k n , upravo za onoliko kolika je i cijena vožnje za jedan kilometar. Kažemo da se cijena linearno povećava u odnosu na broj prijeđenih kilometara. 

     

  4. Formula funkcije, uz prethodno navedene oznake, glasi:

    Pomoć:

    Ako je x  udaljenost (broj kilometara), da bismo dobili cijenu moramo broj kilometara pomnožiti s cijenom vožnje za jedan kilometar i dodati početnu cijenu vožnje.

     

Rješavanjem nekoliko zadataka provjerite jeste li usvojili navedene pojmove.

Zadatak 3.

Slika prikazuje mobitele

Telefonska tvrtka "Halo" cijenu svakog poziva određuje na sljedeći način: uspostava poziva iznosi 0.30 kn , a svaka započeta minuta razgovora naplaćuje se 0.50 kn .

Povlačenjem spojite odgovarajuće parove.

Koeficijent (parametar) b  
označit ćemo s x .
Cijenu razgovora 
iznosi 0.50 kn .
Cijena razgovora ovisi o
iznosi 0.30 kn .
Koeficijent (parametar) a  
duljini telefonskog razgovora.
Broj minuta razgovora
označit ćemo s f x .

 

 

Dopunite sljedeću tablicu.

Povećaj ili smanji interakciju

Cijena poziva za svaku sljedeću minutu razgovora .

null

Postupak:

Izračunajte razliku između svakih dviju cijena kojima odgovara trajanje razgovora koje se razlikuje za jednu minutu.

S obzirom na to da se cijena razgovora za svaku sljedeću minutu povećava za isti iznos, i to onaj koji je jednak parametru a , kažemo da cijena   ovisi o duljini trajanja razgovora (u minutama).

Pomoć:

Proučite još jedanput rješenje primjera o prijevozu taksijem.

Zadatak 4.

Formulama pridružite odgovarajuće opisane funkcija.

  1. f x = x 2 + 5

    null
    null
  2. f x = 2 x - 5  

    null
    null
  3. f x = 5 x +2

    null
    null

Zadatak 5.

Zadanoj funkciji pridružite odgovarajuće parametre:

f x = 3 x + 2  
a = - 3,
b = - 2  
f x = - 2 x + 3  
a = 2 ,
b = - 3
f x = 2 x - 3  
a = - 2 ,
b = 3
f x = - 3 x - 2  
a = 3,
b = 2

Pomoć:

Parametar a  prepoznajemo po tome što je uvijek uz argument x .  

null

Zadatak 6.

Dovucite zadane funkcije prema vrijednosti koeficijenata a  i b .

f x = 1 - 3 x

a = 1

b = 1

a = - 1

b = - 1

Pomoć:

Koeficijent a povezan je s argumentom (množi se varijablom x ), a koeficijent b slobodni je koeficijent.

null

Zadatak 7.

Koja od zadanih funkcija NIJE linearna?

Pomoć:

Uočite vrijednost koeficijenata.

Postupak:

 Koeficijent b = 0 .

Zadatak 8.

Povećaj ili smanji interakciju

Projekt

  1. Istražite pomoću neke od karata dostupnih na internetu, npr. Googleove karte, stvarnu situaciju iz Primjera 2. Ispitajte kolika je udaljenost do spomenutih objekata ako se putuje javnim prijevozom, taksijem (vodite računa o jednosmjernim ulicama) ili pješke. ​
  2. Osmislite zadatak sličan Primjeru 2. koji se odnosi na vaše mjesto stanovanja ili obližnji grad.

...i na kraju

Slika prikazuje školsku ploču na kojoj su ispisane formule nekoliko linearnih funkcija

Ponovimo.

Linearna funkcija zadana je formulom f ( x ) = a x + b , pri čemu su f x ,   x ,   a 0  i b  racionalni brojevi. Brojeve a  i b  nazivamo parametrima (koeficijentima) linearne funkcije.

Broj x  nazivamo argument funkcije.

Broj f x  nazivamo vrijednost funkcije.

Vrijednost funkcije ovisna je o vrijednosti argumenta.

Idemo na sljedeću jedinicu

10.2 Određivanje vrijednosti i argumenta linearne funkcije