Optimalna udaljenost.
Marko planira kupiti novi Full HD-televizor i proučava katalog. U njegovoj sobi udaljenost od naslonjača do mjesta na koje će postaviti televizor iznosi metra. Priželjkuje televizijski ekran od inča. Jedan inč iznosi centimetara. Okvir u koji namjerava staviti televizor pravokutnog je oblika dimenzija
Hoće li moći smjestiti željeni televizor u taj okvir?
Koliko najviše inča može imati ekran televizora koji će kupiti?
Dijagonala je spojnica dvaju nesusjednih vrhova nekoga geometrijskog lika. U četverokutima dijagonala spaja suprotne vrhove.
Dijagonala pravokutnika spojnica je suprotnih vrhova pravokutnika.
Dijagonala dijeli pravokutnik na dva sukladna pravokutna trokuta.
Na pravokutnom trokutu možemo primijeniti Pitagorin poučak.
Riješimo kvadratnu jednadžbu i odaberimo samo pozitivno rješenje, u pitanju je duljina, a ona je uvijek pozitivna.
Marko ne može kupiti TV od
inča. Njegov novi TV mora imati manje od
inča.
Za bilo koji pravokutnik sa stranicama duljine i te dijagonalom duljine vrijedi Pitagorin poučak
Pravokutnik ima dvije dijagonale jednakih duljina.
Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.
Za nacrtani pravokutnik napiši u bilježnicu Pitagorin poučak.
Za nacrtani pravokutnik napiši
u bilježnicu
Pitagorin poučak.
Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika sa stranicama duljine i
Nacrtajmo skicu pravokutnika i na njemu istaknimo jednu dijagonalu.
Uočimo pravokutni trokut te za njega postavimo Pitagorin poučak.
Duljina dijagonale iznosi
Primjer 1.
Izračunajmo duljinu stranice pravokutnika ako su zadani podatci kao na slici.
Pri rješavanju problema primjenom Pitagorina poučka rješavamo kvadratnu jednadžbu.
Odabiremo samo pozitivno rješenje kvadratne jednadžbe.
Koristeći u tablici zadane podatke odredi vrijednost nepoznatih podataka računajući u bilježnici.
Duljina stranice pravokutnika | Duljina stranice pravokutnika | Duljina dijagonale pravokutnika
|
---|---|---|
Duljina stranice pravokutnika
|
Duljina stranice pravokutnika
|
Duljina dijagonale pravokutnika
|
---|---|---|
Izračunajmo opseg i površinu kvadrata nad dijagonalom pravokutnika.
Duljina stranice kvadrata jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.
Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika.
Iz te kvadratne jednadžbe izravno se čita površina kvadrata sa stranicom duljine
Površina kvadrata nad dijagonalom iznosi
Za opseg nam još treba duljina dijagonale.
Duljina dijagonale iznosi
jediničnih dužina.
Opseg kvadrata nad dijagonalom jest
Opseg kvadrata iznosi
jediničnih dužina.
Duljina nogometnog igrališta iznosi
metara, a širina
metara.
Izračunajmo razliku puta od točke
do točke
po stranicama igrališta i najkraćeg puta od točke
do točke
.
U animaciji promotrimo računanje razlike duljina putova iz zadatka.
Zadane su duljina jedne stranice pravokutnika
i duljina dijagonale pravokutnika
Vaš
je
zadatak izračunati i upisati iznos opsega pravokutnika (nakon upisa iznosa stisnuti
tipku
ENTER) zadanog s njegovom stranicom i dijagonalom.
Riješite točno sve zadatke iz aktivnosti i naučit ćete nešto zanimljivo.
Po velikim matematičkim sposobnostima i erudiciji bila je poznata i Maria Gaetana Agnesi (1718. – 1799.), jedna od najvažnijih i najposebnijih osoba 18. stoljeća. Rođena je u obitelji intelektualaca i već u ranom djetinjstvu prepoznali su u njoj čudo od djeteta. Zahvaljujući ocu, koji je bio profesor matematike, omogućeno joj je visoko obrazovanje. Bila je najstarija od 21 djeteta pa je nakon majčine smrti preuzela brigu o ocu, braći i sestrama, povukavši se tako iz društvenog života. No, nije ostavila matematiku. Godine 1738. objavila je zbirku eseja o prirodnim znanostima i filozofiji Propositiones Philosophicae, u kojima iznosi svoje stajalište o potrebi obrazovanja žena. S 20 godina počela je raditi na svojemu najvažnijem djelu Instituzioni Analitiche o diferencijalnom i integralnom računu. Izjavila je da je to djelo počela pisati kao priručnik svojoj braći, ali je preraslo u nešto mnogo ozbiljnije. Objavljivanje djela 1748. godine izazvalo je senzaciju u akademskom svijetu. To je jedno od prvih i najopćenitijih djela o konačnoj i beskonačnoj analizi. U toj je knjizi na vrlo sustavan način skupila djela raznih matematičara, izlažući ih uz vlastitu interpretaciju. Knjiga je postala modelom jasnoće, prevođena je na mnoge jezike i koristila se kao priručnik. Maria Agnesi bila je prva profesorica matematike na svijetu, predavala je na bolonjskom sveučilištu osnovanom u 11. stoljeću te postala članicom Bolonjske akademije znanosti. No nakon očeve smrti prestala se baviti matematikom te se posvetila brizi za siromašne i bolesne. Njoj u čast jedna krivulja koju je proučavala i danas se zove Agnesijin uvojak.
Više o temi možete pročitati na poveznici Žene u matematici.
Na slici je pravokutnik upisan u krug.
Izračunajte omjer površine kruga i površine pravokutnika.
Izračunajmo površinu pravokutnika. Označimo je s
Površina pravokutnika iznosi
Za računanje površine kruga potreban nam je polumjer.
Polumjer je jednak polovini duljine dijagonale pravokutnika.
Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutnika koristeći se Pitagorinim poučkom.
Duljina dijagonale iznosi metara.
Duljina polumjera iznosi metara.
Izračunajmo površinu kruga. Označimo je s
Površina kruga na slici iznosi
Omjer površina kruga i njemu upisanog pravokutnika iznosi
U kvizu koji slijedi
je oznaka za duljinu dijagonale pravokutnika,
i
su oznake za duljinu stranica pravokutnika.
Duljine stranica pravokutnika jesu
i
Duljina dijagonale tog pravokutnika iznosi:
Postupak:
Postupak:
Duljina dijagonale pravokutnika iznosi
a duljina jedne stranice
Duljina druge stranice iznosi:
Postupak:
Postupak:
Duljina žice je a visina rastvorenog sušila na slici Koliko je visoko sušilo kada se sklopi?
Visina sušila kada se sklopi jednaka je duljini dijagonale pravokutnika.
Visina sušila kada se sklopi iznosi centimetara.
Duljine stranica pravokutnika jesu i duljina dijagonale .
Spojite parove.
|
|
|
|
|
|
|
|
Pomoć:
Miro je dobio na dar zaštitnu torbicu za mobitel u obliku pravokutnika sa stranicama i
On ima -inčni mobitel s ekranom koji se proteže preko cijele prednje strane.
Hoće li je moći iskoristiti za svoj mobitel?
Izračunajmo duljinu dijagonale pravokutne zaštitne torbice.
Moći će je iskoristiti jer inča iznosi što je manje od
Drveno sušilo za rublje sastoji se od triju sukladnih dijelova. Visina je rastvorenog sušila metara, a razmak između podnožja ukriženih letvica
Širina sušila iznosi Kolika je najmanja ukupna duljina letvica potrebna da bi se napravilo ovakvo sušilo?
Letvica po širini ima
Letvica koje čine križ ima Njihovu duljinu treba izračunati. One su duge koliko i dijagonala u pravokutniku sa stranicama i
Ukupna duljina iznosi
Najmanja ukupna duljina letvica iznosi
Ponovili smo svojstva dijagonala pravokutnika:
Pitagorin poučak na pravokutniku sa stranicama duljine i te duljinom dijagonale glasi
Znamo prepoznati primjenu Pitagorina poučka na pravokutniku za rješavanje problemskih situacija u matematici i u svakodnevici.