x
Učitavanje

3.6 Limes funkcije

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Posude u lončarskoj peći
Slika prikazuje posudu u lončarskoj peći.

Izvadimo li keramičku posudu iz lončarske peći, ona će se hladiti. Što će se događati s temperaturom posude ako ju jako dugo držimo u prostoriji sobne temperature? Hoće li se temperatura posude stalno smanjivati? Hoće li se spustiti ispod 0   C ? Ili postoji neki broj kojemu će se temperatura približavati? U ovoj ćemo jedinici opisati matematičke pojmove pomoću kojih ćemo opravdati očekivanja o temperaturi.

Limes u beskonačnosti

Primjer 1.

Promotrimo funkciju f x = 2 + 10 x . Zanimaju nas vrijednosti funkcije kada je x velik broj. Ako je x velik broj, onda je 10 x blizu nule pa se vrijednosti funkcije približavaju broju 2 . Reći ćemo da je limes funkcije f kad x teži u beskonačno jednak 2 . Opišimo preciznije što to znači da se vrijednosti funkcije približavaju nekom broju.

Istražimo

Za odabrani interval svi se realni brojevi od nekog broja M nadalje preslikavaju u zadani interval. Pronađite realni broj M za odabrani interval. Mijenjajte interval oko broja 2 . Možete li uvijek pronaći broj M ?

Koristeći se prethodnom interakcijom, riješite zadatke.

Za svaki smo interval oko 2 mogli pronaći broj M  takav da su vrijednosti funkcije f x u zadanom intervalu za sve brojeve x  veće od M . Broj M nismo mogli pronaći za sve intervale oko broja 3 .  Broj M ne bismo mogli pronaći ni za intervale oko brojeva različitih od 2 . Prema tome, limes funkcije u beskonačnosti definiramo na sljedeći način. 

Limes funkcije f u beskonačnosti

Za realni broj L kažemo da je limes funkcije f u beskonačnosti ako za svaki interval oko L postoji realni broj M takav da vrijednosti funkcije f x pripadaju zadanom intervalu za sve brojeve x veće od M .

Pišemo lim x f x = L .

Kutak za znatiželjne

Pokažimo da je lim x 1 x = 0 . Neka je - ε , ε interval oko 0 . Vrijednosti  1 x pripadaju tom intervalu ako je - ε < 1 x < ε . Za pozitivne brojeve x to znači da je x > 1 ε .

Stavimo li M = 1 ε , za sve će pozitivne brojeve x veće od M vrijediti 0 < 1 x < ε pa je 1 x - ε , ε .

Dokažite po definiciji da je lim x 3 x + 1 x = 3 .

Limes u beskonačnosti 1/x
Limes funkcije jedan kroz iks je nula.

Određivanje limesa u beskonačnosti

Limes funkcije u beskonačnosti računamo slično kao limes niza.

Zadatak 1.

Izračunajte limese:

  1. lim x 3 x - 2 x  
  2. lim x 5 x + 3 x + 1 .
  1. lim x 3 x - 2 x = lim x 3 - 2 x = 3
  2. lim x 5 x + 3 x + 1 = lim x 5 + 3 x 1 + 1 x = 5 + 0 1 + 0 = 5

Odredimo limes funkcija zadanih grafom.

Funkcije koje teže u beskonačno

Primjer 2.

Promotrite graf funkcije f na slici. Vrijednosti funkcije postaju neograničeno velike kad se x povećava. Za svaki veliki broj E možemo pronaći broj M tako da su vrijednosti funkcije f x veće od E za sve brojeve x koji su veći od M . Reći ćemo da je limes funkcije f beskonačno.

Pišemo: lim x f x = .

Graf funkcije za interakciju
Graf funkcije.

Zadatak 2.

Označite funkcije f za koje je lim x f x = .

null
null

Primjer 3.

Promotrimo eksponencijalnu funkciju f x = a x  i njezin graf. Razlikujemo dva slučaja: 0 < a < 1 i a > 1 . U prvom je slučaju funkcija padajuća, a u drugom rastuća. Vrijedi:

lim x a x = 0 ako je 0 < a < 1

lim x a x = ako je a > 1 .

Primjer 4.

Riješimo problem iz uvodnog primjera. Prema Newtonovu zakonu hlađenja temperatura tijela nakon t minuta hlađenja računa se kao T t = T s + T 0 - T s e k t , pri čemu je početna temperatura T 0 ,   temperatura okoline T s , a k negativna konstanta karakteristična za određeno tijelo. Ako je u prostoriji temperatura od 25   C , a posude se vade iz peći kod temperature od 40   C , dobivamo: T t = 25 + 15 e k t .

Ako nas zanima temperatura nakon jako dugo vremena, računali bismo limes:

lim t 25 + 15 e - k t = 25 .

Ovaj je rezultat logičan jer temperatura posude neće postati manja od temperature prostora.

Limes funkcije u točki

Istražimo

Funkcija f zadana je pravilom pridruživanja f x = 2 x 2 - 3 x - 2 x - 2 . Vrijednosti funkcije možemo računati za sve realne brojeve x osim za 2 . Popunite tablice u bilježnici. Što možemo pretpostaviti o vrijednostima funkcije za brojeve koji su blizu broja 2 ?

x f x x f x
1.9 2.1
1.99 2.01
1.999 2.001
x f x x f x
1.9 4.8 2.1 5.2
1.99 4.98 2.01 5.02
1.999 4.998 2.001 5.002

Primjer 5.

Možemo pretpostaviti da se vrijednosti funkcije f x = 2 x 2 - 3 x - 2 x - 2 približavaju broju 5 kad se x približava broju 2 . Zapišimo pravilo pridruživanja u jednostavnijem obliku i nacrtajmo graf funkcije f :

f x = 2 x 2 - 3 x - 2 x - 2 =

2 x 2 + x - 4 x - 2 x - 2 =

x 2 x + 1 - 2 2 x + 1 x - 2 =

2 x + 1 x - 2 x - 2 = 2 x + 1 , za x 2 . Za x = 2 funkcija nije definirana.

Limes funkcije u točki
Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva blizu su broja pet.

Na grafu također uočavamo da su vrijednosti funkcije blizu broja 5 kad je x blizu broja 2 . Tada ćemo reći da je limes funkcije f kada x teži k 2 jednak 5 i pisati  lim x 2 f x = 5 .

Istražimo

Na karticama su prikazani grafovi funkcija. Promotrite brojeve x koji su blizu broja 2 . Kojem su broju blizu vrijednosti f x ? Zapišite odgovore u bilježnicu pa provjerite na drugoj strani kartice.

Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva blizu su broja pet.
Okreni

Vrijednosti funkcije blizu su broja 5 kad je x blizu broja 2 . Limes funkcije f kada x teži k 2 jednak je 5 . Pišemo lim x 2 f x = 5 .

Povratak
Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva koji su različiti od dva, blizu su broja pet.
Okreni

Funkcija je definirana za x = 2 i f 2 = 8 što nije blizu broja 5 . Ali za brojeve x različite od 2 koji su blizu broja 2 , vrijednosti funkcije blizu su broja 5 . I u ovom slučaju limes funkcije f kada x teži k 2 jednak je 5 . Pišemo lim x 2 f x = 5 .

Povratak
Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva i lijevo od dva, blizu su broja pet. Vrijednosti funkcije za brojeve blizu broja dva i desno od dva, blizu su broja osam.
Okreni

Funkcija je definirana za x = 2 i f 2 = 8 . Za brojeve x manje od 2 koji su blizu broja 2 , vrijednosti funkcije blizu su broja 5 . Za brojeve x veće od 2 koji su blizu broja 2 , vrijednosti funkcije blizu su broja 8 . Postoje dva različita broja kojima se vrijednosti funkcije približavaju kad se x približava broju 2 . U ovom slučaju ne postoji limes funkcije f kada x teži k 2 .

Povratak

Zaključimo prethodna razmatranja. Uočite da vrijednost funkcije f u točki c u kojoj promatramo limes nije važna za određivanje limesa. Štoviše, funkcija može, ali ne mora biti definirana u c . Za limes funkcije u c važne su jedino vrijednosti funkcije za brojeve koji su blizu c . Ako se one približavaju jednom broju, taj ćemo broj zvati limes funkcije f u točki c . Opišimo preciznije što znači "biti blizu" nekog broja.

U sljedećoj interakciji odaberite primjer 1 , 2 ,   3   ili 4  . Za interval na osi y odredite interval na osi x koji se cijeli, osim možda broja 2 , preslikava u interval na osi y . Odaberite novi interval na osi y pa ponovite postupak. Možete li uvijek pronaći interval na osi x ?

Zadatak 3.

Označite primjere iz prethodne interakcije za koje je točna rečenica:

Za svaki interval l oko broja 5 možemo pronaći interval k oko broja 2 koji se cijeli, osim možda broja 2 , preslikava u interval l .

null
null

Na osnovi prethodnih razmatranja uvodimo definiciju limesa funkcije u točki.

Limes funkcije f u točki c

Za realni broj L kažemo da je limes funkcije f u točki c ako za svaki interval l oko L postoji interval k oko c koji se cijeli, osim možda točke  c , preslikava u interval l .

Kutak za znatiželjne

Definiciju limesa funkcije u točki možemo izreći koristeći se matematičkim simbolima.

Promotrite sliku pa složite tvrdnje po redoslijedu tako da odgovaraju definiciji limesa funkcije u točki c .

Definicija limesa funkcije u točki za znatiželjne
  • za svaki x za koji je
  • limes funkcije u točki c
  • postoji δ > 0 takav da
  • ako za svaki ε > 0  
  • 0 < x - c < δ  
  • Realni broj L je
  • vrijedi f x - L < ε .

Pomoć:

f x je u intervalu L - ε , L + ε ako i samo ako je f x - L < ε .

x c je u intervalu c - δ , c + δ ako i samo ako je 0 < x - c < δ .

null

Zadatak 4.

Odredite limes funkcije čiji je graf na slici u istaknutim točkama.

Označite točne odgovore.

Graf funkcije za interakciju
lim x 1 f x =
lim x 3 f x =
lim x 6 f x =
lim x 8 f x =
null
null

Primjer 6.

Promotrite graf funkcije na slici. U točkama a i b limes ne postoji. Ali, budući da vrijednosti funkcije u okolini točke a postaju izrazito velike, pisat ćemo lim x a f x = . Nacrtajte u bilježnici graf funkcije g za koju je lim x c g x = - .

U okolini točke b vrijednosti funkcije postaju iznimno velike po modulu, ali su različitih predznaka pa ne možemo reći da funkcija teži u beskonačno ili u minus beskonačno.

Funkcije čiji je limes beskonačno
U točki a funkcija teži u beskonačno. U točki be s lijeve strane teži u beskonačno, a s desne u minus beskonačno.

Neprekidne funkcije

Neprekidne funkcije
U točki a vrijednost funkcije i limes se razlikuju, u točki be vrijednost funkcije jednaka je limesu, u točki ce limes ne postoji.

Zadatak 5.

Vidjeli smo da pri određivanju limesa funkcije u točki nije važno je li funkcija u toj točki definirana ili nije, te ako jest definirana, kolika je ta vrijednost. Promotrite graf funkcije f na slici pa odgovorite na pitanja.

Definirajmo neprekidnost funkcije.

Neprekidna funkcija

Za funkciju f kažemo da je neprekidna u točki c ako vrijedi

  1. Funkcija f definirana je u točki c .
  2. Postoji lim x c f x .
  3. lim x c f x = f c .

Funkcija je neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki domene.

Zadatak 6.

Jesu li neprekidne funkcije:

  1. f x = x 2
  2. f x = x
  3. f x = sin x
  4. f x = 2 x
  5. f x = log 2 x
  6. f x = 1 x ?

Nacrtajte u bilježnicu grafove funkcija, odgovorite na pitanje i odgovor obrazložite.

  1. Funkcija je definirana na skupu R . Za svaki c R postoji lim x c f x i vrijedi lim x c f x = f c pa je funkcija neprekidna u svakoj točki domene.
  2. Funkcija je definirana na skupu R 0 + . Za svaki c R 0 + postoji lim x c f x i vrijedi lim x c f x = f c pa je funkcija neprekidna u svakoj točki domene.
  3. Vrijedi kao u a. zadatku.
  4. Vrijedi kao u a. zadatku.
  5. Funkcija je definirana na skupu R + . Za svaki c R + postoji lim x c f x i vrijedi lim x c f x = f c pa je funkcija neprekidna u svakoj točki domene.
  6. Funkcija je definirana na skupu R \ 0 . Za svaki c R \ 0 postoji lim x c f x i vrijedi lim x c f x = f c pa je funkcija neprekidna u svakoj točki domene.

Elementarne funkcije su neprekidne.

Računanje limesa funkcije u točki

Odredimo limes funkcije zadane pravilom pridruživanja. Pogledajte video.

Zadatak 7.

Izračunajte limese:

  1. lim x 1 x 4 - 81 x - 3  
  2. lim x 3 x 4 - 81 x - 3
  3. lim x 5 x 3 - 125 x - 5  
  1. Funkcija je elementarna i definirana u točki 1 pa je lim x 1 x 4 - 81 x - 3 = 1 - 81 1 - 3 = 40 .
  2. lim x 3 x 4 - 81 x - 3 = lim x 3 x 2 + 9 x + 3 = 108 .
  3. lim x 5 x 3 - 125 x - 5 = lim x 5 x 2 + 5 x + 25 = 75 .

...i na kraju

Odigrajte igru memory.

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh