6.2 Graf i svojstva logaritamske funkcije

Još malo o funkcijama

U prethodnoj smo jedinici 6.1 logaritamsku funkciju definirali kao inverz eksponencijalne funkcije. Funkcija je pridruživanje kojim se svakom elementu iz domene pridružuje točno jedan element iz kodomene. Što znači "inverz"? Provjerimo najprije jesmo li razumjeli istaknute riječi u definiciji funkcije.

Kolekcija zadataka 1

Zadatak 1.

Zaključili ste da za šunku nemate novca. Na slici je prikazano novo pridruživanje, gdje je jedan element ostao bez svoje vrijednosti (na polici, umjesto u košari).

Je li takvo preslikavanje funkcija?

Da

Odgovor nije točan. Postoji element domene (šunka) koji ne poprima nikakvu vrijednost (nema slike).

Ne

Bravo! Uočili ste da riječ "svaki" podrazumijeva da svaki element iz domene mora imati svoju sliku (pridruženi element) iz kodomene.
 

null

null

Zadatak 2.

Primijetili ste da je kivi na popustu i sada mu je cijena kao i bananama.

Je li tako definirano preslikavanje funkcija?

Da

Bravo. Uočili ste da je tu zadovoljen i uvjet "svaki" element i uvjet "točno jedna" vrijednost.

Ne

Na žalost, niste u pravu. Ovdje su zadovoljena oba uvjet iz definicije funkcije. Svaki element iz domene ima točno jednu sliku (pridruženu vrijednost) iz kodomene. Za definiciju funkcije ne smeta to što dva različita elementa iz domene imaju istu vrijednost.

null

null

Vrijedi li za ovako definirano pridruživanje sljedeće svojstvo za različite elemente domene $x_1\mathrm{i}{x}_2$ funkcije $f$ : $x_1\ne x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)\ne f\left(x_2\right).$

Da

Pogrešno!
Za različite namirnice $\left(x_1\ne x_2,\mathrm{banana}\ne \mathrm{kivi}\right)$ dobijemo istu sliku $\left(f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right),12.00 \mathrm{kn}=12.00 \mathrm{kn}\right).$

Ne

Bravo!
Uočili ste da za različite elemente domene dobijemo istu vrijednost (sliku) funkcije, što po definiciji nije injekcija.

null

null

Zadatak 3.

Na jednome mjestu u dućanu istaknuta je cijena kivija s popustom, a na drugom cijena bez popusta. Kako niste sigurni koja je prava cijena, pridružili ste obje cijene ( $12.00\mathrm{kn}$ i $18.00\mathrm{kn}$) istom elementu (kiviju).

Je li to preslikavanje funkcija?

Da

Na žalost, niste u pravu. Funkcija nije dobro definirana ako elementu domene nije pridružen "točno jedan" element kodomene. Jedan element ne može imati dvije slike.

Ne

Bravo! Razumjeli ste što znači da je svakom elementu domene pridružen "točno jedan" element kodomene (ni više ni manje).

null

null

Zatvori

Zaključimo. Funkciju zadajemo domenom $\left(D\right),$ kodomenom $\left(K\right)$ i pridruživanjem $\left(f\right),$ kojim svakom elementu iz domene (u domeni ne smije ostati elemenata kojima nije pridružena niti jedna vrijednost iz kodomene) pridružujemo točno jedan element iz kodomene (ne možemo pridružiti jednom elementu iz domene više od jednog elementa iz kodomene). U kodomeni može biti "neiskorištenih" elemenata.

Funkcija je injekcija ako različitim elementima iz domene pridružujemo različite elemente iz kodomene.

Je li neki graf doista graf funkcije i je li funkcija injekcija, ispitujemo vertikalnim i horizontalnim testom.

 Povežite što ispitujemo kojim testom.

Horizontalni test	Funkcija je injekcija
Vertikalni test	Krivulja je graf funkcije

null

null

Vratimo se u dućan. Stavili ste na papir sve cijene. Napravimo sada obrnuto pridruživanje. Cijenama pridružimo proizvode koje možemo kupiti za taj iznos.

Zadatak 4.

 Je li preslikavanje sa slike funkcija?

Da

 Bravo! Razumjeli ste definiciju funkcije.

Ne

Vratite se na prethodna razmatranja i ponovite kako se definira funkcija.

null

null

Za preslikavanje koje svakom elementu iz kodomene pridružuje točno jedan element iz domene zadane funkcije kažemo da je inverzno (obrnuto) zadanom preslikavanju.

Zadatak 5.

Je li "obrnuto" preslikavanje uvijek funkcija (preslikavanje iz kodomene u domenu)?

Zadatak 6.

Razmislite i odgovorite.

Koja slika prikazuje pridruživanje za koje se može definirati inverzna funkcija?

 To nije dobro definirana funkcija, pa ne možemo govoriti o njezinom inverzu. Samo obrnut smjer bila bi dobro definirana funkcija. Tada bi svaki element domene imao točno jednu sliku.

To je dobro definirana funkcija, ali kod inverza ne vrijedi pravilo "točno jedan". Jednom elementu pridružene su dvije različlite slike.

 To nije dobro definirana funkcija (ne vrijedi pravilo "točno jedan").

null

null

Kutak za znatiželjne

Ako je funkcija $f:D_f\to R_f$ injekcija, tada za proizvoljni broj $y\in R_f$ postoji točno jedan $x\in D_f,$ takav da je $f\left(x\right)=y.$ Znači postoji neko "obrnuto" preslikavanje koje će broju $y$ pridružiti broj $x,$ tj. $g\left(y\right)=x.$

Ako u definiciji inverzne funkcije umjesto $f^{-1}$ stavimo $g,$ imamo:

• $g\left(f\left(x\right)\right)=x,\mathrm{za}\mathrm{svaki}x\in D_f,$ gdje je $f$ unutarnja, a $g$ vanjska funkcija i
• $f\left(g\left(y\right)\right)=y,\mathrm{za}\mathrm{svaki}y\in R_f,$ gdje je $g$ unutarnja i $f$ vanjska funkcija.

Funkcije $f\mathrm{i}g$ za koje vrijedi ovo svojstvo (da se međusobno poništavaju) čine par međusobno inverznih funkcija.

$g\left(f\left(x\right)\right)$ i $f\left(g\left(y\right)\right)$ nazivamo kompozicija ili slaganje funkcija.

U kompoziciji prvo računamo unutarnju, a potom vanjsku funkciju.

Pišemo $g\left(f\left(x\right)\right)=\left(g\circ f\right)\left(x\right)$  (čita se: "ge komponirano sa ef" ili "ge kružić ef") i $f\left(g\left(y\right)\right)=\left(f\circ g\right)\left(x\right).$

Primjer 1.

Za funkcije $f\left(x\right)=2x-1ig\left(x\right)=x^2+3$ odredimo njihovu kompoziciju.

$\left(f\circ g\right)\left(x\right)=f\left(g\left(y\right)\right)=f\left(x^2+3\right)=2\left(x^2+3\right)-1=2x^2+5$

$\left(g\circ f\right)\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(2x-1\right)={\left(2x-1\right)}^2+3=4x^2-4x+4$

Vrijedi li za kompoziciju funkcija svojstvo komutativnosti, tj. $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\left(g\circ f\right)\left(x\right)?$

Da

 Provjerite u prethodnim zadacima jeste li dobili isti rezultat za $f\circ g\mathrm{i}g\circ f.$

Ne

 

 

Zadatak 7.

Odredite kompoziciju kvadratne funkcije i funkcije drugog korijena. Provjerite vrijedi li ovdje komutativnost. Za koje su realne brojeve kompozicije funkcija definirane?

Logaritamska funkcija kao inverz eksponencijalne funkcije

Neka je $f\left(x\right)=a^x, a>0,a\ne 1$ eksponencijalna funkcija s domenom $D_f=\mathbb{R}$ i slikom funkcije $R_f={\mathbb{R}}^{+}.$ Pridružimo odabranim elementima domene pripadajuće vrijednosti funkcije.

 Je li eksponencijalna funkcija injekcija?

Da

Ne

 Ponovite modul Eksponencijalna funkcija.

null

null

U prošloj ste jedinici definirali logaritam ${\log }_{a}y=x$ kao eksponent kojim se mora potencirati baza $a$ da bi se dobila vrijednost $y.$

Funkcija koja je time definirana pridružuje: $\frac{1}{4}\mapsto -2,\frac{1}{2}\mapsto -1,1\mapsto 0,2\mapsto 1,4\mapsto 2,\cdots$

To možemo i ovako zapisati: ${\log }_2\frac{1}{4}=-2,{\log }_2\frac{1}{2}=-1,{\log }_{2}1=0,{\log }_{2}2=1,{\log }_{2}4=2,\cdots$ 

S pomoću tog zapisa definirajmo funkciju inverznu eksponecijalnoj funkciji.

Primjer 2.

Za inverzne funkcije vrijedi: $f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=x,$ za svaki $x\in D$ i $f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=y,$ za svaki $y\in R.$ Uvrstimo eksponencijalnu i logaritamsku funkciju u lijevu stranu ovih identiteta.

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=f^{-1}\left(a^x\right)={\log }_a{a}^x=x,$ za svaki $x\in D_f$

$f\left(f^{-1}\left(y\right)\right)=f\left({\log }_{a}y\right)=a^{{\log }_{a}y}=y,$ za svaki $y\in D_{f^{-1}}$

Iz svojstva inverznih funkcija slijede identiteti korisni za računanje s logaritmima.

${\log }_a{a}^x=x,\mathrm{za}\mathrm{svaki}x\in \mathbb{R}$

$a^{{\log }_{a}x}=x,\mathrm{za}\mathrm{svaki}x\in {\mathbb{R}}^{+}$

Kutak za znatiželjne

Eksponencijalna funkcija je za svaki element iz kodomene imala točno jedan "original" u domeni, odnosno niti jedan element iz kodomene nije ostao "neiskorišten" kod pridruživanja $f:\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^{+}f\left(x\right)=a^x,a>0,a\ne 1.$

Funkcija kod koje za svaki element iz kodomene $\left(y\in {\mathbb{R}}^{+}\right)$ postoji barem jedan element iz domene $\left(x\in \mathbb{R}\right)$ takav da je $y=f\left(x\right)$ jest surjekcija.

Funkcija je bijekcija ako je i surjekcija i injekcija. To je tzv. preslikavanje " $1$ na $1$" (jednom elementu domene pripada točno jedan element kodomene). Da bi funkcija imala inverznu funkciju, mora biti bijekcija.

Eksponencijalna i logaritamska funkcija su bijekcije. Zašto?

Je li pridruživanje namirnica cijenama proizvoda (i obrnuto) iz našeg dućana bijekcija? U kojem slučaju jest, a kad nije?

Graf logaritamske funkcije

Smjestimo logaritamsku funkciju u koordinatni sustav. Kao i za eksponencijalnu funkciju, odredit ćemo nekoliko točaka koje pripadaju grafu logaritamske funkcije. U tome će nam pomoći pridruživanje sa slike kojom smo se već koristili. Napravimo tablicu i nacrtajmo graf s pomoću točaka.

U sljedećoj interakciji, mijenjajući bazu te pomičući točku po grafu pokušajte uočiti koja svojstva ima logaritamska funkcija. Prisjetite se svojstava eksponencijalne funkcije iz prethodnog modula.

Zadatak 8.

Što možemo zaključiti o logaritamskoj funkciji?

Sistematizirajmo uočena svojstva na primjeru logaritamske funkcije $f\left(x\right)={\log }_{2}x$ uz pomoć sljedeće animacije.

Zanimljivost

Graf prirodnog logaritma $f\left(x\right)=\ln x$ ima jedno zanimljivo svojstvo. Naime, ako povučemo tangentu na taj graf kroz nultočku, ona s osi $x$ čini kut od $45°.$

Zadatak 9.

Koja je funkcija simetrična funkciji prirodnog logaritma $f\left(x\right)=\ln x$  s obzirom na os $x$? Je li rastuća ili padajuća? Za koji argument $x$ poprima vrijedost $1?$ Jesu li to inverzne funkcije?

Primjer 3.

Koristeći se vezom $a^x=y\iff {\log }_{a}y=x$ te prethodnim svojstvima, nacrtajmo krivulje prirodnog i dekadskog logaritma.

Nacrtajmo tablicu s nekoliko točaka, ucrtajmo ih u koordinatni sustav i povucimo krivulju.

1. $f\left(x\right)=\ln x,$ baza prirodnog logaritma je $a=e.$ Kako je prema definiciji logaritam eksponent kojim se mora potencirati baza, odaberimo cijele brojeve za $\ln$ i potencirajmo njima bazu $a=e.$​
2. $g\left(x\right)=\log x,$ baza dekadskog logaritma je $a=10.$ Kao i za prirodni logaritam, potencirajmo odabranim točkama bazu $a=10.$

Dobit ćemo tablice kao ove dolje. Pokušajte sami nacrtati krivulje pa tek zatim provjerite rješenje.

$x=e^{lnx}$	$e^{-2}=\frac{1}{e^2}$	$e^{-1}=\frac{1}{e^1}$	$e^0=1$	$e^1=e$	$e^2$
$y=lnx$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

$x={10}^{logx}$	${10}^{-2}=\frac{1}{100}$	${10}^{-1}=\frac{1}{10}$	${10}^0=1$	$10$	${10}^2=100$
$y=logx$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$

Zadatak 10.