x
Učitavanje

8.6 Preslikavanja prostora

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Akvarij u kojem se vidi zrcalna simetrija riba, trave, algi u vodi

"Stajao sam ispred ploče i crtao neke oblike kredom. Odjednom mi pade na pamet ideja. Zašto je simetrija privlačna oku? Što je simetrija? To je jedan urođen osjećaj, odgovorih sam sebi. Ali što proizlazi iz toga?"

Lav Nikolajevič Tolstoj

Je li prikazana slika akvarija simetrična? O kakvoj simetriji se radi?

Zanimljivost

Portret Lava Nikolajeviča Tolstoja

Lav Nikolajevič Tolstoj (1828.-1910.), ruski pisac.

Osnovao je u svojem rodnom mjestu Jasnaja Poljana školu za seosku djecu, u kojoj je neko vrijeme predavao matematiku, fiziku i povijest.

Što je simetrija?

Promatrajući pažljivije oko sebe, očima matematičara, uočavamo bezbroj jednostavnih, lijepih i pravilnih oblika. Osim u arhitekturi i umjetnosti, i u prirodi susrećemo najrazličitije oblike, od pravilnih geometrijskih tijela do najčudnijih nepravilnih oblika, uvjetovanih načinom života biljnog i životinjskog svijeta. Možemo uočiti niz oblika s većom ili manjom simetrijom, važnom karakteristikom svih živih bića.

U matematici je simetrija preslikavanje točaka ravnine, odnosno prostora.

Simetrije možemo svrstati u tri osnovna područja:

To su primjeri izometrije, preslikavanja koje čuva udaljenosti.

S obzirom na pravilo po kojem se vrši preslikavanje točaka ravnine, odnosno prostora, razlikujemo tri vrste elementarnih geometrijskih preslikavanja:

U osnovnoj školi upoznali ste se s elementarnim geometrijskim preslikavanjima ravnine. Ponovimo.

Zadatak 1.

  1. Povežite sliku s vrstom preslikavanja.

    SImetrija trokuta u odnosu na pravac
    Simetrija trokuta u odnosu na točku težišta T
    Trokut zarotiran za 90° oko točke B
    Trokut pomaknut za vektor AB
    null
    null
  2. Povežite naziv preslikavanja s elementima potrebnim za preslikavanje zadanog geometrijskog lika.

    Osna simetrija
    Centralna simetrija
    Translacija
    Rotacija
    null
    null
Preslikavanje trokuta u prostoru s obzirom na ravninu.

Osnu i centralnu simetriju naučili ste kao preslikavanja ravnine. Zakoračimo sada u dimenziju više. Kako ih definirati u prostoru?

Potražimo i odgovor na pitanje kakva je simetrija prikazana na slici.

Osna simetrija

Osnu simetriju definiramo koristeći se ortogonalnom projekcijom točke na pravac p .

Osna simetrija preslikavanje je prostora koje točku A  preslika u A '  tako da vrijedi:

  • pravac A A ' okomit je na pravac p  
  • ako je P  sjecište pravca A A 1 i p , tada vrijedi A P = A ' P .

Pravac p nazivamo os simetrije.

Osna simetrija točke u prostoru

Primjer 1.

Preslikajmo dužinu A B - osnom simetrijom ako je os simetrije pravac koji:

  1. ne siječe dužinu i nije paralelan s njom
  2. okomit je na dužinu i prolazi jednim vrhom
  3. siječe dužinu i nije okomit na nju.

Nacrtajmo svaki od tih triju slučajeva. Imamo ravninu u kojoj leži dužina i pravac koji probada ravninu:

  1. pod nekim kutom i ne siječe dužinu
  2. okomito i prolazi vrhom B
  3. pod nekim kutom i siječe dužinu.

Zadatak 2.

U bilježnicu preslikajte paralelogram osnom simetrijom ako ga os simetrije probada okomito u sjecištu dijagonala. Je li osna simetrija izometrija?

Osna simetrija paralelograma s osi simetrije u sjecištu dijagonala.

Sjetite se što vrijedi za pravac koji okomito probada ravninu. Budući da su svi pravci ravnine koji prolaze probodištem okomiti na pravac, a isto tako sjecište dijagonala raspolavlja dijagonale paralelograma, zaključujemo da se paralelogram preslikava u samoga sebe. Točke A i C , odnosno B i D ortogonalno se preslikavaju jedna u drugu preko pravca p .


Ovakav skup točaka iz prethodnog zadatka, koji se preslikava u samoga sebe, nazivamo osnosimetričan skup točaka.

Osna simetrija čuva udaljenosti što se lako može dokazati primjenom poučaka o sukladnosti trokuta pa kažemo da je osna simetrija izometrično preslikavanje.

Zanimljivost

10 slika Rorschachovog testa
Rorschachov test mrlja

Najpoznatiji primjer osnosimetričnih slika su Rorschachove mrlje.

Švicarski psihijatar Hermann Rorschach (1884.-1922.) kapnuo je tintu na papir, prepolovio ga i time dobio simetrične, ali nedefinirane oblike.

Ispitanici tijekom testa pogledaju karticu i kažu što vide. Smatra se da se ovim testom dobiva uvid u inteligenciju pojedinca, kulturu kojoj pripada, razinu tjeskobe i odnos prema stvarnosti, a test ima i niz drugih primjena.

Primjer tumačenja slika možete pogledati na portalu Atma. ​

Centralna simetrija

Centralna simetrija projekcija je točke s obzirom na istaknutu točku O  prostora.

Centralna simetrija preslikavanje je prostora koje točku A  preslika u točku A ' tako da vrijedi:

  • točke A , A ' i O  leže na istom pravcu
  • vrijedi A O = A ' O .

Točku O nazivamo središte simetrije.

Zadatak 3.

Prizma za koju treba odrediti centralno simetričnu sliku.

Odredite centralnu simetriju skupa točaka sa slike ako je centar simetrije sjecište dijagonala jedne strane prizme (pobočke).

Centralnosimetrična slika prizme.

Prizma iz rješenja 3. zadatka centralnosimetričan je skup s obzirom na centar simetrije u središtu dijagonalnog presjeka prizme. Postoji li još koje središte simetrije preko kojega će se prizma preslikati u samu sebe? Pronađite još neke skupove točaka s tim svojstvom.

Zrcalna simetrija

Simetralna ravnina raspolavlja dužinu AA' i okomita je na pravac AA'.

Simetralna ravnina dužine A A ' ¯ ravnina je koja prolazi polovištem P  te dužine i okomita je na pravac A A ' .

Neka je zadana ravnina σ . Točki A  pridružimo točku A '  tako da vrijedi:

  • točke su jednako udaljene od ravnine, tj. ako točka P , polovište dužine A A ' ¯ , pripada ravnini, tada vrijedi A P = A ' P
  • pravac A A '  okomit je na danu ravninu.

Tada preslikavanje A A ' zovemo zrcalna simetrija.

Znamo nacrtati zrcalno simetričnu točku točki A . Što je zrcalna simetrija dužine A B ¯ ?
Dužinu zrcalimo tako da zrcalno preslikamo krajnje točke dužine A B ¯ , A A ' i B B ' . Dobivena dužina A ' B ' ¯ zrcalna je simetrija dužine A B ¯ i obje su jednakih duljina. Stoga je i zrcalna simetrija izometrija.

Zrcalna simetrija dužine AB.

Kutak za znatiželjne

Slika trapeza AA'B'B kojeg ravnina raspolavlja i okomita je na njega.

Dokažimo jednakost zrcalno simetričnih dužina, A B = A ' B ' . Pogledajmo odozgo zrcalnu simetriju dužine A B ¯ .

Uočimo trapeze A P A P B B i P A A ' B ' P B , odnosno pravokutnike ako je dužina A B ¯ usporedna sa simetralnom ravninom.

Tvrdimo da vrijedi: A P A P B B P A A ' B ' P B .

Trapezi se podudaraju u dvije stranice (zbog svojstva simetralne ravnine koja raspolavlja dužinu točke i njezine zrcalno simetrične točke) te im je jedna stranica zajednička. Prisjetite se poučaka o sukladnosti iz prvog razreda te dokažite do kraja sukladnost četvrte stranice A B = A ' B ' . (Uputa: možete povući visine iz vrha B , odnosno B ' paralelne sa simetralnom ravninom. Dobiju se dva trokuta s istim kutovima. Iz poučka SKS slijedi tvrdnja.)

Kako biste dokazali tvrdnju ako je dužina A B ¯ okomita na simetralnu ravninu?

Primjer 2.

Simetralna ravnina raspolavlja jednakostranični trokut i okomiti su.

Nacrtajmo jednakostraničan trokut A B C . Neka simetralna ravnina raspolavlja jednu stranicu i neka je okomita na nju. Pogledajte sliku.

Što je zrcalno simetrična slika trokuta?

Zrcalnu simetriju trokuta dobit ćemo tako da napravimo preslikavanje svih triju vrhova trokuta preko zadane simetralne ravnine, A A ' , B B ' i C C ' . Dobiveni trokut A ' B ' C ' zrcalno je simetričan zadanom trokutu.

Koji je to trokut?

Trokut se preslikava u samoga sebe.

A B , B A i C C


Ako postoji simetralna ravnina takva da se skup točaka preslika u samoga sebe, takav skup nazivamo zrcalnosimetričan skup. Tako je iz prethodnog primjera jednakostraničan trokut zrcalnosimetričan.

Zadatak 4.

Postoji li još neka simetralna ravnina takva da se jednakostraničan trokut preslika u samoga sebe? Pronađite još neke skupove točaka s tim svojstvom. Koliko različitih simetralnih ravnina ima takav skup?

Simetralna ravnina može raspolavljati ostale stranice jednakostraničnog trokuta.

Zrcalnosimetrični skupovi točaka mogu biti: krug, kvadrat, pravokutnik, pravac, trapez...

Pronađite im simetralnu ravninu. Skicirajte. Koliko ih ima različitih? Raspravite u razredu o mogućim rješenjima.


Zadatak 5.

Prostorna simetrija zadanog stošca s obzirom na točku, pravac, ravninu.

Pogledajte sliku. Koje sve simetrije prostora uočavate na slici?

Odgovorite na sljedeća pitanja.

  1. Postoji li osna simetrija?

    null
    null
  2. S obzirom na što se dobije osnosimetrična slika, ako postoji?

    null
    null
  3. Postoji li centralna simetrija?

    null
    null
  4. S obzirom na što se dobije centralnosimetrična slika, ako postoji?

    null
    null
  5. Postoji li zrcalna simetrija?

    null
    null
  6. S obzirom na što se dobije zrcalnosimetrična slika, ako postoji?

    null
    null
  7. Kako se zove geometrijsko tijelo preslikano u sebi sukladno?

    null
    null

Homotetija

Preslikavanja koja smo dosada spominjali čuvaju udaljenost između točaka koje se preslikavaju. To su izometrična preslikavanja. Znate li neko preslikavanje točaka ravnine/prostora koje ne čuva udaljenosti?

Prisjetimo se Talesovog poučka, odnosno sličnosti trokuta.

Zadatak 6.

Kut presječen s dva paralelna pravca i označenim točkama presjeka te vrhom kuta

  1. Pravci p   i q   sijeku krakove kuta A O B . Ako su pravci p   i q   , tada vrijede sljedeće jednakosti.

    null
    null
  2. Povežite jednake omjere.

    O A : A B =  
    O A : O B  
    A A ' : B B ' =   ​
    O A ' : O B '   ​
    O A : O B =  
    O A ' : A ' B '   ​
    null
    null
  3. Ovaj poučak naziva se  .

    null
    null
  4. Vrijedi li obrat Talesovog poučka?

    (Ako vrijede jednakosti omjera iz prethodnog zadatka s omjerima, tada su pravci p i q  paralelni.)

    null
    null
  5. Stranice trokuta O A B i O A ' B '   su , a kut pri vrhu O je zajednički pa su ti trokuti  .

    null
    null
  6. Neka su trokuti O A B  i O A ' B '  slični s koeficijentom sličnosti k . Što vrijedi za duljine njihovih stranica 

    ( O A i O A ' ), opsege ( o i o ' ) te površine ( P i P ' )?

    o ' : o =  
    k 2   ​
    O A ' =  
      k  
    P ' : P =   ​
    k · O A   ​
    null
    null

Promotrimo sada prethodno preslikavanje koje točki A  pridružuje točku A ' , točki B  točku B ' .

Točke A  i B  leže na pravcu p , a točke A '  i B '  na pravcu q . Budući da je pravac određen s dvije točke, dano preslikavanje je preslikavanje paralelnih pravaca. Možemo promatrati i preslikavanje dužina A B ¯ A ' B ' ¯ .

Dužine su paralelne, ali nisu sukladne. Ako je koeficijent proporcionalnosti k , vrijedi A ' B ' = k · A B .

Ovo preslikavanje poznato nam je iz 1. razreda. Nazivamo ga homotetijom s koeficijentom homotetije k .

Preselimo se u treću dimenziju i pogledajmo sljedeći primjer.

Primjer 3.

Homotetično preslikavanje trokuta u prostoru.

U ravnini π (žuta ravnina) imamo homotetiju dužina A B ¯ A ' B ' ¯ s koeficijentom homotetije k = 2 A ' B ' = k · A B = 2 · A B .

Dakle, pravci kojima dužine pripadaju su paralelni (Talesov poučak).

Odaberimo točku C takvu da su točke A , B i C nekolinearne. Trokut sa zadanim nekolinearnim točkama određuje ravninu σ .

Nacrtajmo ravninu paralelnu ravnini σ određenu pravcem A ' B ' .

Homotetična slika točke C , C ' leži u ravnini ρ .

Primjećujemo da analognim zaključivanjem vrijedi isto i za omjer ostalih stranica trokuta: A ' C ' = 2 · A C i B ' C ' = 2 · B C .

Koristeći se alatima GeoGebre pogledajte kako izgleda homotetija iz prethodnog primjera iz svih kutova prostora.

Povećaj ili smanji interakciju

U primjeru je definirano preslikavanje točaka ravnina A σ , A ' ρ , σ ρ , koje nazivamo homotetija ili centralna sličnostTočka S  je središte homotetije. Broj k  nazivamo koeficijent homotetije (koeficijent sličnosti).

Kutak za znatiželjne

Dokažite da se površine trokuta A B C  i njemu homotetičnog trokuta A ' B ' C '  odnose kao kvadrati koeficijenta homotetičnosti.

P A ' B ' C ' P A B C = k 2  

Homotetični trokuti su slični trokuti, što smo pokazali u prethodnom primjeru. Za površine sličnih trokuta vrijedi da su im omjeri jednaki kvadratu koeficijenta sličnosti. Iz toga izravno slijedi tvrdnja.


Kutak za znatiželjne

Slika trobrida u prostoru
Trobrid u prostoru

Uočite na slici trokut A B C  i vrh V .

Zrake V A i V B  određuju dio ravnine, odnosno A V B . Zrake V B i V C  određuju B V C te zrake V C i V A određuju C V A . Dobili smo geometrijski lik u prostoru koji dijeli sve točke prostora na dva skupa. Jedan od njih su sve točke koje se nalaze s jedne strane (unutarnje) beskonačnog "trokutastog" lijevka kojemu pripada i trokut A B C , a drugi skup točaka nalazi se s druge strane (vanjske) tog lijevka. Takav geometrijski oblik u prostoru zovemo trobrid.

Tri zrake u prostoru koje izlaze iz jedne točke, a nisu komplanarne, određuju u prostoru geometrijski oblik koji se zove trobrid. Oznaka: V A B C .

Kaže se da je trobrid pravilan ako ima sve bridne kutove jednake.

Definirajmo homotetiju proizvoljnog lika ravnine σ  u njemu sličan lik ravnine ρ sa središtem homotetije S  i koeficijentom homotetije k . Površinu početnog lika označimo s P , a njemu homotetičnog s P ' . Tada vrijedi:

P ' P = k 2 .

Omjer površina homotetičnih likova jednak je kvadratu koeficijenta homotetije.

Homotetija u prostoru

Do sada smo promatrali preslikavanje točaka ravnina. Možemo li na sličan način definirati homotetiju proizvoljnih točaka prostora?

Ispitajmo najprije kako se ponašaju homotetične slike ovisno o koeficijentu homotetije k . U sljedećoj interaktivnoj vježbi preslikajmo homotetijom pravilnu piramidu u odnosu na neku čvrstu točku S . Mijenjajte koeficijent k  i promatrajte što se događa s homotetičnom slikom. O kakvom se preslikavanju radi ako je k = 1 , odnosno k = - 1 ? Kakva je slika ako je k > 1 , a kakva ako je k < 1 . Istražite i zaključite.

Pomičite središte homotetije S te mijenjajte visinu piramide pomicanjem vrha V . Bazi piramide, jednakostraničnom trokutu, možete mijenjati veličinu pomicanjem točke A  ili točke B .

Uočite omjere duljine brida A B  i duljine homotetičnog brida A ' B ' , zatim omjere površina baza te obujmova piramida.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Odgovorite na sljedeća pitanja. Ako na neko pitanje ne znate odgovor, vratite se na interaktivnu vježbu te još malo istražite homotetiju u prostoru.

  1. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je k = - 1 ?

    null
    null
  2. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je k = 1 ?

    null
    null
  3. Je li ovo preslikavanje za proizvoljni k   izometrija?

    null
    null
  4. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je k < 1 ?

    null
    null
  5. O kakvom se preslikavanju točaka radi ako je k > 1 ?

    null
    null
  6. Koja je točka središte simetrije kada ovo preslikavanje postane centralna simetrija?
    null
    null
  7. O čemu ovisi veličina novonastale slike danim preslikavanjem?

    Povežite uvjet na koeficijent k  i veličinu slike.

    k = 1  
    k < 1  
    k > 1  
    null
    null
  8. Za koji k  točke i njihove slike nastale danim preslikavanjem leže na istom polupravcu određenom točkom S ?

    null
    null

Neka je S  istaknuta točka u prostoru (središte homotetije).

Homotetija je preslikavanje koje točki A  pridružuje točku A '  takvu da vrijedi:

  • točke S , A i A '  leže na istom pravcu (kolinearne su)
  • S A ' = k · S A  
  • za k > 0  točke A i A '  leže na istom polupravcu određenom točkom S  
  • za k < 0  točke A i A '  leže na različitim polupravcima određenim točkom S .

Broj k  naziva se koeficijent homotetije.

Zadatak 8.

Dobili ste dar. S mobitelom ste ga osvijetlili i pojavila se sjena na zidu (kao na slici). Sestra je uzela metar i izmjerila da je udaljenost mobitela od dara 4 dm , a od zida 12 dm . Sjena na zidu kvadratnog je oblika stranice 3 dm . Znate izračunati koliku je površinu zida prekrila sjena. Koliki je obujam kutije koju ste dobili?

Izvor svjetlosti osvjetljava kutiju (poklon) koja projicira sjenu na zidu površine 9 četvornih decimatara.

Koeficijent homotetije je k = 12 4 = 3 .

Budući da se površine odnose kao kvadrati koeficijenta homotetije, izračunajmo površinu jedne strane dara (kocke).

k 2 = 9 P P = 9 dm 2 3 2 = 1 dm 2 a = 1 dm

Budući da se radi o površini kvadrata, lako se dobije stranica, odnosno brid kocke. Sada možemo izračunati obujam dara, odnosno kocke.  

V = a 3 = 1 dm 3


Povezani sadržaji

Sveto trojstvo (Masaccio), 1425.
Sveto trojstvo (Masaccio), 1425.

Primjene homotetije

Nacrtna geometrija ​matematička je disciplina koja se bavi metodama projiciranja. Postoji paralelno i centralno projiciranje.  Razvoj nacrtne ili deskriptivne geometrije kao samostalne matematičke grane usko je povezan s potrebama građevinarstva, arhitekture, industrije, tehnike, vojske i slikarstva. Želite li naučiti više o nacrtnoj geometriji, potražite pojam na internetu te u enciklopedijama.

Optika je grana fizike koja se bavi svojstvima i širenjem svjetlosti te međudjelovanjem svjetlosti i tvari. U geometrijskoj optici zanemaruje se valna priroda svjetlosti, a temeljni je pojam svjetlosna zraka.

Perspektiva je u likovnoj umjetnosti način prikazivanja volumena i prostora na plohi slike, stvaranje predodžbe o dubini prostora. Dolazi od latinske riječi prospicere, što znači vidjeti ili razabrati. Perspektiva je stajalište s kojeg se promatra, odnosno gledište, način gledanja, način razmatranja, poimanje. O vrstama perspektive istražite na internetu.

Osnove matematičke teorije perspektive prvi je razradio Désargues (17. stoljeće).

Na slici je najstariji primjer geometrijske perspektive u umjetnosti.

...i na kraju

Uz homotetiju ili centralnu sličnost usko je povezan pojam perspektive koji se koristi u mnogim umjetničkim i znanstvenim disciplinama. Najčešće se koristi u likovnoj umjetnosti, filmskoj industriji, računalnim igrama, optici, ali kao pojam zanimljiv je i u književnosti, filozofiji, retorici.

Proizvodnja sjene spada u temeljne osnove perspektive.

Fotografiranje se koristi egzaktnom perspektivnom projekcijom.

Kako se projicira slika u oku?

Pogledajte galeriju slika i napravite malo istraživanje o primjeni homotetije u svim granama života.

 ​

Idemo na sljedeću jedinicu

8.7 Pojam konveksnog skupa, poluprostora i poliedra