Jednostavno njihalo
Svi ste se kao djeca ljuljali na ljuljački.
Ljuljačka se giba naprijed nazad, tj. periodično ponavlja svoje gibanje.
Možda ste kod bake i djeda vidjeli sat koji ima sekundno njihalo.
Svi ste se kao djeca ljuljali na ljuljački.
Ljuljačka se periodično giba naprijed nazad.
Ponavlja svoje gibanje.
Možda ste kod bake i djeda vidjeli ovakav sat koji ima sekundno njihalo.
U prvoj jedinici ste učili o harmonijskom titranju.
Ljuljanje na ljuljački i gibanje sata su primjeri jednostavnog harmonijskog gibanja. Jednostavno harmonijsko gibanje je gibanje koje se ponavlja.
U fizici, ljuljačku i dio sata koji se njiše nazivamo jednostavnim njihalom.
U prvoj jedinici ste učili o harmonijskom titranju.
Ljuljanje na ljuljački i gibanje sata su primjeri jednostavnog harmoničkog gibanja.
Jednostavno harmoničko gibanje je gibanje koje se ponavlja.
U fizici, ljuljačku i dio sata koji se njiše nazivamo jednostavnim njihalom.
Matematičko njihalo
Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase [latex]\bm m[/latex] obješene na donjem kraju niti duljine [latex]\bm l[/latex]. Nit je učvršćena na gornjem kraju i zanemarive je mase.
Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase [latex]\bm m[/latex] obješene na donjem kraju niti duljine [latex]\bm l[/latex].
Nit je učvršćena na gornjem kraju.
Zanemarive je mase.
Promotrimo kada se njihalo giba iz ravnotežnog stanja A do krajnjeg položaja desno B te natrag kroz A do krajnjeg lijevog položaja C i na kraju ponovo do ravnotežnog položaja A. Ovakvo gibanje njihala od A do B pa C i ponovni povratak u A zovemo 1 titraj. Jedan titraj je gibanje od bilo koje točke do povratka u istu točku u istom smjeru.
Promotrimo kada se njihalo giba:
- iz ravnotežnog stanja A do krajnjeg položaja desno B
- natrag kroz A do krajnjeg lijevog položaja C
- na kraju ponovo do ravnotežnog položaja A.
Ovakvo gibanje njihala od A do B pa C i ponovni povratak u A zovemo 1 titraj.
Jedan titraj je gibanje od bilo koje točke do povratka u istu točku u istom smjeru.
Već smo naučili da vrijeme jednog titraja zovemo period [latex]T[/latex].
Frekvencija je definirana kao broj titraja u jedinici vremena.
Vrijeme jednog titraja ([latex]\bm T[/latex]) zovemo period.
Frekvencija ([latex]\bm f[/latex]) je broj titraja u vremenu.
Koje sile djeluju na njihalo?
Na slici vidimo jednu lopticu mase [latex]m[/latex] obješenu na nit duljine [latex]l[/latex].
Kada se loptica nalazi u ravnotežnom položaju sile koje na nju djeluju su:
- sila teža [latex]F_g[/latex] koja se određuje izrazom: [latex]F_g=mg[/latex] i usmjerena je vertikalno prema dolje.
- Sila napetosti niti [latex]F_{\mathrm N}[/latex], usmjerena duž niti prema gore. Sila [latex]F_{\mathrm N}[/latex] je sila kojom nit djeluje na lopticu i u položaju ravnoteže jednakog je iznosa kao sila teža, ali suprotnog smjera.
Na slici vidimo jednu lopticu mase [latex]\bm m[/latex] obješenu na nit duljine [latex]\bm l[/latex].
Kada se loptica nalazi u ravnotežnom položaju sile koje na nju djeluju su:
- sila teža [latex]\bm{F_g}[/latex] koja se određuje izrazom: [latex]F_g=mg[/latex] i usmjerena je vertikalno prema dolje.
- Sila koja je usmjerena vertikalno prema gore, [latex]\bm{F_{\bold N}}[/latex], napetost niti.
Sila [latex]F_{\mathrm N}[/latex] je sila kojom nit djeluje na lopticu.
Istog je iznosa kao sila teža.
Suprotnog je smjera.
Kada se loptica nalazi na udaljenosti lijevo ili desno od ravnotežnog položaja, sila teža [latex]F_g[/latex] se razdvaja na 2 komponente, što možete vidjeti na ilustraciji.
Sila teža [latex]\bm{F_g}[/latex] se razdvaja na 2 komponente kada se loptica nalazi na udaljenosti lijevo ili desno od ravnotežnog položaja.
To možete vidjeti na ilustraciji.
Sila teža se razdvaja na komponentu sile okomitu na nit [latex]F_1[/latex] te komponentu sile paralelnu s niti [latex]F_2[/latex].
[latex]\vec{F}_g = \vec{F}_1+ \vec{F}_2[/latex]
Želimo li odrediti iznose sila koje djeluju na njihalo moramo uzeti u obzir i kut otklona njihala iz ravnotežnog položaja [latex]\alpha[/latex].
Sila teža se razdvaja na:
- komponentu sile okomitu na nit [latex]\bm {F_1}[/latex]
- komponentu sile paralelnu s niti [latex]\bm {F_2}[/latex]
[latex]\vec{F}_g = \vec{F}_1+ \vec{F}_2[/latex]
Želimo li odrediti iznose sila koje djeluju na njihalo moramo uzeti u obzir i kut otklona njihala iz ravnotežnog položaja [latex]\bm \alpha[/latex].
Promotrimo gornju ilustraciju kada se njihalo nalazi na udaljenosti [latex]x[/latex] od ravnotežnog položaja.
Za male otklone njihala, kuteve manje od 10 stupnjeva, [latex]\sin \alpha[/latex] je približno jednak kutu [latex]\alpha[/latex].
Promotrimo pravokutan trokut:
[latex]\sin \alpha =\frac{x}{l} \implies x=l\alpha[/latex]
Pretpostavimo da njihalo harmonijski titra:
[latex]F=–kx=–kl\alpha [/latex]
Promotrimo gornju ilustraciju.
Njihalo nalazi na udaljenosti [latex]x[/latex] od ravnotežnog položaja.
Za male otklone njihala, kuteve manje (<) od 10 stupnjeva, [latex]\sin \alpha[/latex] je približno jednak (=) kutu [latex]\alpha[/latex].
Promotrimo pravokutan trokut:
[latex]\sin \alpha =\frac{x}{l} \implies x=l\alpha[/latex]
Pretpostavimo da njihalo harmonijski titra:
[latex]F=–kx=–kl\alpha [/latex]
Istražimo
Uz pomoć simulacije matematičkog njihala istražite kako period njihala ovisi o masi utega, duljini niti te otklonu njihala.
Uz pomoć simulacije matematičkog njihala istražite kako period njihala ovisi o:
- masi utega
- duljini niti
- otklonu njihala.
Pri svom istraživanju za mjerenja možete koristiti zaporni sat na simulaciji, a podatke zapisati u tablicu koju možete preuzeti na svoj uređaj ili prepisati u bilježnicu temeljem sljedećih predložaka.
Pri svom istraživanju za mjerenja možete koristiti zaporni sat na simulaciji.
Podatke možemo zapisati u tablicu koju možete preuzeti na svoj uređaj ili prepisati u bilježnicu temeljem sljedećih predložaka.
Bilježenje podataka - Matematičko njihalo
Period titranja njihala ovisi o:
- duljini niti [latex]l[/latex]
- ubrzanju sile teže [latex]g[/latex]
Potrebno je uočiti da period matematičkog njihala ne ovisi o:
- masi utega [latex]m[/latex]
- otklonu njihala [latex]\alpha[/latex], tj. o amplitudi njihala
Period titranja njihala ovisi o:
- duljini niti [latex]\bm l[/latex]
- ubrzanju sile teže [latex]\bm g[/latex]
Period matematičkog njihala ne ovisi o:
- masi utega [latex]\bm m[/latex]
- otklonu njihala [latex]\bm \alpha[/latex], tj. o amplitudi njihala
U prethodnoj interaktivnoj simulaciji možete vidjeti i promjene energija tijekom njihanja, međutim više o njima možete naći u jedinici Energija titranja.
U prethodnoj interaktivnoj simulaciji možete vidjeti i promjene energija tijekom njihanja.
Više o njima možete naći u jedinici Energija titranja.
Odredite period i frekvenciju matematičkog njihala ako se uteg mase [latex]1\operatorname{kg}[/latex] objesi na nit duljine [latex]0,5\operatorname{m}[/latex].
[latex]m=1\operatorname{kg}[/latex]
[latex]l=0,5\operatorname{m}[/latex]
[latex]T=\ ?[/latex]
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{0,5}{10}}=2\pi \sqrt{0,05}=1,4\operatorname{s}[/latex]
[latex]f=\frac{1}{T}=0,71\operatorname{Hz}[/latex]
Odredite duljinu matematičkog njihala koje titra frekvencijom [latex]0,2\operatorname{Hz}[/latex].
[latex]f=0,2\operatorname{Hz}[/latex]
[latex]l=\ ?[/latex]
[latex]T=\frac{1}{f}=5\operatorname{s}[/latex]
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\rightarrow l=\frac{T^2g}{4\pi ^2}=6,34\operatorname{m}[/latex]
Za znatiželjne i one koji žele znati više
Foucaultovo njihalo
Leon Foucault je 1851. godine šokirao parišku akademsku zajednicu kada je na nit dugu [latex]67\operatorname{m}[/latex] objesio olovnu kuglu mase [latex]28\operatorname{kg}[/latex] unutar Pariškog Panteona. Na donjem dijelu kugle postavio je šiljak (pisaljku) koji je pisao po pijesku postavljenom na drvenoj ploči. Specifično gibanje njihala bilo je dokaz rotacije Zemlje. Naš sustav promatranja tada možemo aproksimativno smatrati inercijskim.
Leon Foucault je 1851. godine šokirao parišku akademsku zajednicu.
Tada je na nit dugu 67 m objesio olovnu kuglu mase 28 kg unutar Pariškog Panteona.
Ovim pokusom pokazao je da se Zemlja vrti oko svoje osi.
Kako je to postigao?
Na donjem dijelu kugle postavio je pisaljku (šiljak).
Šiljak je pisao po pijesku postavljenom na drvenoj ploči.
Specifično gibanje njihala pokazalo je da je zakretanje pisaljke posljedica rotacije Zemlje oko svoje osi.
Gibanje njihala promatramo u referentnom sustavu s ishodištem na površini Zemlje. Sustav rotira zajedno sa Zemljom i rezultat su krivulje koje opisuje pisaljka na vrhu Foulcoultovog njihala. Zakretanje ravnine njihanja može se objasniti djelovanjem Coriolisove sile.
U prvom razredu naučili ste razlikovati inercijske od neinercijskih sustava, te prepoznati inercijske sile koje se pojavljuju u neinercijskim sustavima.
Prisjetite se što ste sve naučili.
Zbog akceleracije neinercijskog sustava tijela u njemu će „osjećati” djelovanje inercijske (prividne) sile. Upoznali ste centrifugalnu silu. Coriolisova sila je još jedna prividna sila koja se javlja kao posljedica rotacije. Istodobno je okomita na brzinu tijela i na os vrtnje, a djeluje na tijelo u gibanju ako je njegova brzina pod nekim kutom usmjerena prema osi vrtnje.
Gibanje njihala promatramo u referentnom sustavu s ishodištem na površini Zemlje.
Sustav rotira zajedno sa Zemljom.
Rezultat su krivulje koje opisuje pisaljka na vrhu Foulcoultovog njihala.
Zakretanje ravnine njihanja može se objasniti djelovanjem Coriolisove sile.
U prvom razredu naučili ste:
- razlikovati inercijske od neinercijskih sustava,
- prepoznati inercijske sile koje se pojavljuju u neinercijskim sustavima.
Prisjetite se što ste sve naučili.
Zbog akceleracije neinercijskog sustava tijela u njemu će „osjećati” djelovanje inercijske (prividne) sile.
Upoznali ste centrifugalnu silu.
Coriolisova sila je još jedna prividna sila.
Javlja se kao posljedica rotacije.
Istodobno je okomita na brzinu tijela i na os vrtnje.
Djeluje na tijelo u gibanju ako je njegova brzina pod nekim kutom usmjerena prema osi vrtnje.
Zemlju u svojim razmatranjima često smatramo inercijskim sustavom unatoč njezinoj rotaciji. To je moguće jer je učinak Zemljine rotacije na tijela na njoj dovoljno mali da ga možemo za naše potrebe zanemariti. U slučaju Foucaultovog njihala djelovanje Coriolisove sile je primjetno i periodično gibanje njihala prikazano je specifičnim krivuljama. Njihalo se vraća u početnu točku nakon što referentni sustav opiše puni krug zajedeno s točkom na Zemlji u kojoj se nalazi ishodište sustava.
Zemlju često smatramo inercijskim sustavom unatoč njezinoj rotaciji.
To je moguće jer je učinak Zemljine rotacije na tijela na njoj dovoljno mali da ga možemo za naše potrebe zanemariti.
U slučaju Foucaultovog njihala djelovanje Coriolisove sile je primjetno.
Periodično gibanje njihala prikazano je specifičnim krivuljama.
Njihalo se vraća u početnu točku nakon što referentni sustav opiše puni krug zajedno s točkom na Zemlji u kojoj se nalazi ishodište sustava.
Primjena matematičkog njihala
Sinjuku Mitsui zgrada je jedna od 10 najviših zgrada u Tokiju. Međutim, zanimljivost ove zgrade je u tome da je ona jedna od prvih zgrada u koju je postavljeno 6 masovih njihala na vrh zgrade.
Razlog tome je smanjenje podrhtavanja ove visoke zgrade za 60 % u vrijeme potresa. Dok bi se za vrijeme potresa zgrada naginjala njišući se na jednu stranu, njihalo bi se njihalo na suprotnu stranu i time stvaralo silu suprotna smjera.
Sinjuku Mitsui zgrada je jedna od 10 najviših zgrada u Tokiju.
Ona je jedna od prvih zgrada u koju je postavljeno 6 masovnih njihala na vrh zgrade.
Razlog tome je smanjenje podrhtavanja ove visoke zgrade za 60 % u vrijeme potresa.
Za vrijeme potresa:
- zgrada bi se naginjala njišući se na jednu stranu,
- njihalo bi se njihalo na suprotnu stranu i time stvaralo silu suprotna smjera.
PROJEKT: Odredite ubrzanje sile teže Zemlje
Cilj
Odrediti ubrzanje sile teže u mom gradu.
Pribor
- nit poznate duljine [latex]l[/latex]
- zaporni sat
- papir
- olovka
- džepno računalo
Postupak
Uzmite nit poznate duljine i za njega zavežite uteg određene mase. Postavite njihalo da slobodno visi i mjerite period [latex]T[/latex]. Ponovite mjerenje minimalno 5 puta.
Obrada mjerenja
Odredite srednju vrijednost perioda, te pogreške mjerenja.
Rezultati
Ubrzanje sile teže možete tada odrediti prema izrazu:
[latex]g=\frac{4\pi ^2l}{T^2}[/latex]
Sažetak
Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase [latex]m[/latex] obješene na donjem kraju niti duljine [latex]l[/latex]. Nit je učvršćena na gornjem kraju i zanemarive je mase.
Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj je [latex]F_1=-mg\sin\alpha [/latex]
Izraz za period titranja matematičkog njihala je:
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}[/latex]
Period titranja njihala ovisi o:
- duljini niti [latex]l[/latex]
- ubrzanju sile teže [latex]g[/latex]
Potrebno je uočiti da period matematičkog njihala ne ovisi o:
- masi utega [latex]m[/latex]
- otklonu njihala [latex]\alpha[/latex], tj. o amplitudi njihala
Matematičko njihalo sastoji se od materijalne točke mase [latex]\bm m[/latex] obješene na donjem kraju niti duljine [latex]\bm m[/latex].
Nit je učvršćena na gornjem kraju.
Zanemarive je mase.
Sila koja vraća njihalo u ravnotežni položaj je [latex]F_1=-mg\sin\alpha [/latex]
Izraz za period titranja matematičkog njihala glasi:
[latex]T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}[/latex]
Period titranja njihala ovisi o:
- duljini niti [latex]\bm l[/latex]
- ubrzanju sile teže [latex]\bm g[/latex]
Period matematičkog njihala ne ovisi o:
- masi utega [latex]\bm m[/latex]
- otklonu njihala [latex]\bm \alpha[/latex], tj. o amplitudi njihala