x
Učitavanje

5.3 Primjena vjerojatnosti slučajnog događaja

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je prikazana tablica sa vremenskom prognozom i vjerojatnosti za oborine u postotku tokom dana.

Ako vidite ovu prognozu na televiziji ili internetu, kako ćete se sutra ujutro odjenuti?

Vrijeme, nevrijeme

Kad razmišljate o sutrašnjem vremenu, ishodu nekoga sportskog događaja ili samo čekate autobus, često se nesvjesno koristite vjerojatnosti. Takvu vjerojatnost kojom se koristimo bez računanja ili promatranja matematičkih pokusa nazivamo subjektivna vjerojatnost. Subjektivna vjerojatnost je osobno uvjerenje pojedinca o izgledima da se neki događaj dogodi. Često se temelji na iskustvu, osobnom uvjerenju i analizi određene situacije.

Primjerice, ako dulje pratite utakmice domaćega nogometnog kluba, moći ćete bolje procijeniti koliki su mu izgledi za pobjedu u nekoj utakmici.

Pri izradi vremenske prognoze koriste se složeni matematički modeli koji na temelju podataka prikupljenih tijekom duljeg vremena izračunavaju kolika je vjerojatnost za kišu, oblake, sunčano vrijeme, oluje i slično. Primjerice, ako postoje podatci za 100 dana s vremenskim uvjetima koji su slični današnjim vremenskim uvjetima i ako je od tih 100   dana u 70 njih padala kiša, onda procjenjujemo da je vjerojatnost padanja kiše 0.7 . Naravno, matematički modeli za vremensku prognozu mnogo su složeniji, a ako vas zanima praćenje vremenskih promjena, pogledajte mrežnu stranicu Meteorologija kao znanost.

Projekt

Pronađite nekoliko različitih vremenskih prognoza za sljedeći tjedan za kraj u kojem živite. Prikupite sve informacije o temperaturi i padalinama te od dostupnih podataka složite vremensku prognozu. U njoj procijenite kolika je vjerojatnost toplog vremena, kiše, snijega... Tijekom tjedna svaki dan bilježite temperature i padaline te usporedite je li vrijeme u skladu s vremenskom prognozom koju ste napisali. Objasnite što je u skladu, a što nije u skladu s vremenskom prognozom. Objasnite na koji se način prognostičari koriste podatcima o prošlome vremenu kako bi predvidjeli buduće vrijeme.

Zadatak 1.

Dopunite rečenicu. Procijenite.

Ako je u proteklih 30 dana 9 dana padala kiša, tada je vjerojatnost % da će i danas padati kiša.

Pomoć:

Vjerojatnost da će padati kiša dobivate tako da broj kišnih dana podijelite brojem svih promatranih dana. Rješenje upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 2.

Dopunite rečenicu. Procijenite.

Ako je u proteklih 10 godina na današnji dan 6 godina padao snijeg, tada je vjerojatnost da će danas padati snijeg % .

Pomoć:

Vjerojatnost da će danas padati snijeg dobivamo tako da broj godina kada je na današnji dan padao snijeg podijelimo brojem svih promatranih godina 10 . Rješenje zapišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Zadatak 3.

Odaberite točan odgovor.

Znanstvenici kažu kako postoji 0.007 % vjerojatnosti da će sljedeći komet proći blizu Zemlje. To znači:

null
null

Kutak za znatiželjne

Primjer 1.

Kada je na televiziji prikazana vremenska prognoza, prognostičarka je rekla da je vjerojatnost da će sutra padati snijeg 42 % . Kolika je vjerojatnost da sutra neće padati snijeg?

Snijeg će ili padati ili neće padati, ne postoji treća mogućnost. Takve događaje nazivamo suprotni događaji. Dva suprotna događaja čine cjelinu pa je njihova zajednička vjerojatnost 100 % .

Ako je vjerojatnost da će padati snijeg 42 % , onda je vjerojatnost suprotnog događaja, tj. da neće padati snijeg 100 % - 42 % = 58 % .


Događaji A i B za koje vrijedi da ako se dogodi događaj A , onda se nije dogodio događaj B ili ako se nije dogodio događaj A , onda se dogodio događaj B nazivaju se suprotni događaji. Vjerojatnost događaja A koji je suprotan događaju B dana je formulom: p ( A ) = 100 % - p ( B ) .

Zadatak 4.

Iva kaže kako je vjerojatnost da neće položiti ispit 17 % .

  1. Tada je vjerojatnost da će Iva položiti ispit % .

    Pomoć:

    Rješenje upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

    null
  2. To bi značilo kako Iva najvjerojatnije položiti ispit.

    Pomoć:

    Pažljivo pročitajte zadatak. Razmislite je li veća vjerojatnost da će Iva položiti ispit ili da neće.

    null

Dobitak ili gubitak

Vjerojatnost se nalazi u pozadini planiranja sportskih strategija, ali i različitih igara na sreću. Primjerice, ako košarkaš Ivo pogađa trice u 70 % slučajeva, a Marko u 50 % slučajeva, trener će pri planiranju mjesta u ekipi Ivu staviti na položaj s kojeg može bacati trice.

Ako igrate neku društvenu ili kartašku igru, tijekom igranja u glavi ćete smišljati kombinacije karata i promišljati kakvi su vam izgledi da dobijete određenu kartu ili da stanete na neko posebno polje u igri.

Igre na sreću posebno su osmišljene tako da izgledi za dobitak nikad nisu na strani igrača, uvijek su znatno veći izgledi da izgubite nego da dobijete. I ne zaboravite da klađenje i igre na sreću nisu dopušteni za mlađe od 18 godina.

Zanimljivost

Kad igra postaje problem

Prekomjerno igranje javlja se kada aktivnost igranja na sreću dobije niz negativnih posljedica pri čemu je ugrožena sigurnost i dobrobit igrača ili njegove obitelji (prijatelja) te kad se negativni utjecaji prošire na širu zajednicu. Kada igrač nije u mogućnosti kontrolirati nagon za igranjem, a izvođenjem tog čina također šteti sebi ili drugima, govorimo o patološkom igranju. (Izvor: Hrvatska lutrija)

Primjer 2.

Trgovci često organiziraju nagradne igre. Jedna od popularnijih igara je ona s bočicama soka kada se s unutarnje strane čepa nalaze neki simboli ili kodovi koji donose nagradu. Obično svi tada raspravljaju o taktikama i tehnikama kako prepoznati bočicu s dobitnim čepom.

Pogledajte u animaciji kako se računa vjerojatnost dobitka određenog simbola ispod čepa u takvoj igri na sreću.

Zadatak 5.

Na organiziranoj Večeri matematike u jednoj školi ponuđena je tombola. U vreći se nalaze kartice u bojama. Razne boje nose razne nagrade. Ako izvučete crvenu karticu, nećete dobiti ništa na tomboli. Ako izvučete plavu, dobit ćete bombon. Ako izvučete bijelu, dobit ćete jednu ispriku za usmeno ispitivanje iz Matematike, a ako izvučete zelenu, dobit ćete jednu ispriku za nenapisanu zadaću iz Matematike. Crvenih kartica ima 10 , plavih ima 47 , bijelih 20 i zelenih 3 . Kartica se izvlači bez gledanja i vraća u vreću.

  1. Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti ispriku za nenapisanu zadaću iz Matematike?
  2. Kolika je vjerojatnost da ćete dobiti bombon ili da nećete dobiti ništa?
  3. Kolika je vjerojatnost da će vaša kartica biti dobitna?

Nazovimo događaje prvim slovom boje kartica, C   = nije dobitna kartica, P   = dobije se bombon, B   = isprika za usmeno ispitivanje iz Matematike i Z  = isprika za nenapisanu zadaću iz Matematike.

  1. p Z = 3 80 = 3.75 % .

  2. Plavih kartica ima 47 , a crvenih 10 , ukupan broj kartica za ta dva događaja je 57 pa povoljnih događaja imamo 57 od ukupno 80 .

    p ( C ili P ) = 57 80 = 71.25 % .

  3. Dobitnih kartica ima 70 pa je vjerojatnost da je izvučena dobitna kartica p (dobitna kartica) = 70 80 = 87.5 % .


Zadatak 6.

Janko je kupio paketić sa sličicama životinja. U paketiću ima 6 sličica, on je dobio po jednu sličicu s medvjedom, lisicom, žabom, orlom, vjevericom i pužem. Uzima jednu sličicu nasumce iz paketića i želi je dati maloj sestri. Odredite vjerojatnost da je na izvučenoj sličici određena skupina životinja.

Dovucite vjerojatnosti na određeni postotak.

  • Događaj da je izvukao sličicu s krznenom životinjom označimo s A .
  • Događaj da je izvukao sličicu s pticom označimo s B .
  • Događaj da je izvukao sličicu sa životinjom s kitnjastim repom označimo s C .
  • Događaj da je izvukao sličicu s ribom označimo s D .

Izračunajte vjerojatnosti tih događaja i spojite parove.

p D
50 %
p A
0 %
p C
33 %
p B  
17 %

Pomoć:

Elementarnih događaja ima 6 . U paketiću se nalaze 3 sličice na kojima su životinje s krznom, 1 sličica s pticom, 2 sličice na kojima su životinje s kitnjastim repom, a ribe nema ni na jednoj sličici.

 

Primjer 3.

U automatu u školskom predvorju nalaze se šestari u raznim bojama. Od ukupnog broja šestara 15 % je žutih, 42 % je sivih, 30 % je plavih, a ostalih 26 šestara crvene je boje. Kada ubacite novčić, dobijete jedan, bilo koji šestar.

  1. Koliko je posto crvenih šestara u automatu?
  2. Koliko ima svih šestara u automatu?
  3. Koliko je žutih šestara?
  4. Kolika je vjerojatnost da dobijete žuti šestar?
  5. Što zamjećujete? Moramo li znati točan broj šestara ili je dovoljno znati udjel promatranih šestara u cjelini?
  6. Možete li bez računanja koliko ima plavih šestara odgovoriti kolika je vjerojatnost da dobijemo plavi šestar?
  1. Svih šestara u automatu je 100 % . Za ostale boje šestara znamo postotak, pa oduzimamo te postotke od 100 % , 100 % - 15 % - 42 % - 30 % = 13 % .

    Crvenih je šestara 13 % .

  2. Znamo da crvenih šestara ima 26 i da je to 13 % od ukupnog broja šestara. Izračunamo ukupan broj šestara onako kako smo naučili u cjelini s postotcima.

    26 : 0.13 = 200

    U automatu je ukupno 200 šestara.

  3. Izračunamo koliko ima žutih šestara, 0.15 · 200 = 30 komada.

  4. Označimo s A događaj da dobijemo žuti šestar, ​ P ( A ) = 30 200 = 15 % .

  5. Zamijetite da je vjerojatnost udjel u cjelini, a to je i postotak, što znači da za izračun vjerojatnosti ne moramo znati točan broj žutih šestara. Ako znamo udjel žutih šestara u cjelini, to nam je dovoljno.

  6. Vjerojatnost da dobijemo plavi šestar je 30 % .


Ako znamo udjel nekog događaja u cjelini, znamo i vjerojatnost da se dogodi taj događaj.

Zadatak 7.

U ribnjaku je 20 % amura, 30 % somova, 10 % štuka i ostalo su šarani.

Vjerojatnost da upecate šarana iznosi % .

Pomoć:

Izračunajte koliko posto je šarana u ribnjaku i pogledajte prethodni primjer.

null

Zadatak 8.

U 7. b razredu 28 % učenika su dječaci, od kojih četvorica ne uče talijanski jezik. Preostalih 18 učenika su djevojčice i one sve uče talijanski jezik.

  1. Koliko dječaka uči talijanski jezik?
  2. Ako učiteljica iz talijanskog jezika danas nasumce prozove jednog učenika, kolika je vjerojatnost da će prozvati dječaka? Pretpostavimo kako danas ni jedan učenik ne nedostaje.
  1. Kako 72 % razreda čine djevojčice, a njih je 18 , u razredu je 25 učenika. Od toga 7 dječaka. Budući da 4 dječaka ne uče talijanski jezik, trojica ga uče.
  2. Talijanski uči 18 djevojčica i 3 dječaka, dakle 21 učenik. Vjerojatnost da će prozvati dječaka iznosi 14.29 % .

Zadatak 9.

Zbor jedne osnovne škole ide na natjecanje zborova. Učiteljica im je pripremila sendviče. Tri su sendviča s tunjevinom, sirom i vrhnjem, 2 sa salamom, sirom i majonezom, 4 sa šunkom i vrhnjem, a 5 sa salamom, sirom i rajčicama. Učenici uzimaju umotane sendviče ne znajući koji je sendvič u paketu.

Iva bi željela dobiti sendvič s tunjevinom. Vjerojatnost da će izabrati takav sendvič iznosi

 
ako bira prva.
Mia ne voli sir. Vjerojatnost da će izabrati upravo sendvič sa sirom iznosi
 
ako bira prva.
Vjerojatnost da će Dino uzeti sendvič s majonezom ili vrhnjem iznosi
 
ako bira prvi.

21.43 %
71.43 %
64.29 %

Pomoć:

Pažljivo pročitajte zadatak. Izračunajte vjerojatnost i povucite ju na predviđeno mjesto.

null

Zadatak 10.

Dora izrađuje šarenu ogrlicu. Iz vrećice s perlicama ne gledajući uzima sljedeću perlicu. U vrećici je 12 % zelenih perlica, 23 % crvenih perlica i 25 % žutih perlica. Preostalih 80 perlica plave je boje.

Vjerojatnost da će prvo izvući zelenu perlicu iznosi % .

Pomoć:

Odgovor upišite u obliku cijelog broja na za to predviđeno mjesto.

null

Projekt

Iznosi osiguranja života, zdravlja, stanova i automobila također se određuju na temelju vjerojatnosti. Pri određivanju iznosa za obvezno osiguranje automobila u obzir se uzimaju različiti čimbenici, kao što su dob, jačina motora, mjesto registracije i slično. Raspitajte se kakvi su iznosi tog obveznog osiguranja u mjestu u kojem živite, a možete  usporediti i utjecaj različitih čimbenika na cijene tog osiguranja, primjerice na mrežnoj stranici autoodgovornost.

Što mislite zašto su premije osiguranja veće u Zagrebu, a manje u Daruvaru?

Poštena igra

Primjer 4.

Braća Ivan i Matija trebaju se dogovoriti tko će ići u trgovinu po kruh. Matija je predložio da igraju igru par-nepar. Ivan je stariji i baš mu se ne ide u trgovinu pa je predložio da igraju sličnu igru. Ivan pobjeđuje, tj. ne ide u trgovinu ako im zbroj prstiju pokaže broj kojemu naziv ne počinje slovom D, a Matija pobjeđuje ako im zbroj prstiju pokaže broj kojemu naziv počinje slovom D. Koji je brat predložio poštenu igru?

Matijina igra je pravednija jer su izgledi za pobjedu s parnim i neparnim brojevima 50 %   pa obojica imaju jednake izglede za pobjedu.

Ivanova igra nije poštena jer brojeva čiji naziv počinje slovom D ima manje. Ako igraju svaki jednom rukom, zbrojeva ukupno može biti 11 , a zbrojeva čiji naziv počinje slovom D je 3 pa su Matijini izgledi za pobjedu 3 11 = 27 % . Zbrojeva čiji naziv ne počinje slovom D ima 8 pa su izgledi da Ivan ne ide u trgovinu 8 11 = 73 % .


Zadatak 11.

Nina i Martina igraju jednu igricu. Izvlače kartice s mjesecima neprijestupne godine. Ako izvuku mjesec s parnim brojem dana, Nina je pobijedila. Kolika je vjerojatnost Ninine pobjede?

U godini je 7 mjeseci s neparnim brojem dana i 5 mjeseci s parnim brojem dana.

Vjerojatnost da će Nina pobijediti iznosi 58.33 % .


Projekt

Donesite u školu kockice igre Čovječe ne ljuti se. Prebrojite koliko ste kockica donijeli, koliko kojih boja imate i računajte vjerojatnost izvlačenja određene boje.

Osmislite neku poštenu igru s obzirom na broj i boju kockica koje ste donijeli.

Odlučivanje

Zadatak 12.

Alen počinje s prodajom nekoliko proizvoda koje je sam osmislio. Kada je stavio cijenu 900 kuna, prodao je 18 proizvoda. Uz cijenu od 700 kn prodao je 25 proizvoda, a uz cijenu od 1 000 kn 15 proizvoda. Želi ispitati vjerojatnost prodaje sljedećeg proizvoda ako na njega stavi cijenu 1 000 kn , kako bi odlučio hoće li ostaviti tu cijenu ili neće.

Vjerojatnost prodaje sljedećeg proizvoda po cijeni od 1 000 kn iznosi 25.86 % . Možda bi ipak trebao razmisliti o smanjenju cijene proizvoda.


Zadatak 13.

Farmaceuti tvrde da je na testiranju lijeka 20 od 900 ispitanika imalo glavobolju kao nuspojavu uzimanja lijeka. Tea ne može odlučiti hoće li uzeti lijek ili neće. Kolika je vjerojanost da će i ona imati glavobolju?

Vjerojatnost da će Tea imati glavobolju kao nuspojavu uzimanja lijeka iznosi 2.22 % . Kako je vjerojatnost dobivanja glavobolje mala, Tea bi mogla odlučiti uzeti lijek.


Zadatak 14.

Operacija sive mrene uspješna je u 850 od 900 slučajeva. Baka Ana treba odlučiti hoće li ići na operaciju ili neće. Kolika je vjerojatnost da će i njezina operacija biti uspješna?

Vjerojatnost da će operacija bake Ane biti uspješna iznosi 94.44 % . Iako još postoji vjerojatnost od neuspjeha operacije, baka Ana mogla bi odučiti u korist operacije.


Kutak za znatiželjne

Primjer 5.

Djevojčice se igraju bacajući dvije kockice. Kolika je vjerojatnost da će na kockicama pasti brojevi čiji je zbroj 6 .

Rješenje pogledajte u animaciji.

 ​

Bacanje dviju kockica složeniji je događaj koji ima 36 elementarnih događaja. Pri rješavanju zadataka s bacanjem dviju kockica pomoći će vam ova tablica. U tablici su zapisani svi elementarni događaji za bacanje dviju kockica.  

Tablica prikazuje bacanje dvije kockice. U stupcima su prikazani rezultati bacanja prve kockice, u redovima rezultati bacanja druge kockice, a u poljima parovi rezultata bacanja prve i druge kockice.

Zadatak 15.

Bacite dvije kockice i odgovorite na pitanje.

Kolika je vjerojatnost da su oba broja koja su pala na kockicama parna?

Pomoć:

Ima 9 takvih parova.

null

Zadatak 16.

Ivo i Ana bacaju dvije kockice.

Dovucite događaje na određene vrijednosti.

  • Događaj da padnu brojevi 2 , 5 ili 6 označimo s A .
  • Događaj da je zbroj brojeva na kockicama višekratnik broja 4 označimo s B .
  • Događaj da na obje kockice padne dvoznamenkasti broj označimo s C .
  • Događaj da brojevi na kockicama nisu jednaki označimo s D .

Izračunajte vjerojatnosti tih događaja i spojite parove.

p B  
0

p C  
83 %

p A  
25 %
p D  
75 %

Pomoć:

Za pomoć pogledajte tablicu.

null

Zadatak 17.

Učenici bacaju dvije kockice. Je li točna izjava jednog učenika?

Vjerojatnost da umnožak brojeva na kockicama bude dvoznamenkasti broj iznosi ​ 1 2 .

Pomoć:

Vjerojatnost iznosi 19 36 .

null

Zadatak 18.

Izvodimo pokus bacanja dviju kockica.

Dovucite događaje na određene vrijednosti.

  • Događaj da će pasti dvije šestice označimo s A .
  • Događaj da na kockicama budu brojevi 3 i 6 ili 6 i 3 označimo s B .
  • Događaj da je bar jedan broj prost označimo s C .
  • Događaj da apsolutna vrijednost razlike brojeva bude 3 označimo s D .

Izračunajte vjerojatnosti ovih događaja i spojite parove.

p B  
1 18   
p C  
1 36   ​
p D  
1 6  
p A  
3 4   ​

Pomoć:

Kod rješavanja zadataka pomozite si tablicom.

null

...i na kraju

O vjerojatnosti govorimo svakodnevno. Svaki dan pratimo vremensku prognozu, govorimo da ćemo vjerojatno nekamo doći, da ćemo vjerojatno dobiti neku ocjenu i izgovaramo još mnogo sličnih rečenica. Vjerojatnost se ne koristi samo u razgovoru i igri, računanje vjerojatnosti u medicini, gospodarstvu, politici, prometu i drugdje vrlo je složen i ozbiljan posao. Ovdje smo samo počeli s računom vjerojatnosti i dotaknuli samo neka područja u kojima se koristi. Provjerite jeste li razumjeli osnove računanja vjerojatnosti kratkom procjenom znanja.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Ako je prognostičarka na televiziji rekla da je velika vjerojatnost da će sljedeći dan biti oborina, a datum je 25. studenoga, što biste mogli taj sljedeći dan odjenuti ili ponijeti sa sobom? Izaberite više odgovora.

Pomoć:

Pozorno pročitajte zadatak.

2

Sven izvlači nagradni kupon u trgovini. Na 30 % kupona nacrtano je voće, na 40 % su nacrtani sokovi, na 20 % kupona nacrtani su sirevi, a na ostalima su higijenske potrepštine.

Vjerojatnost da će Sven izvući kupon s voćem je najveća.

Pomoć:

Najveća je vjerojatnost da će izvući kupon sa sokovima.

3

U razredu je 25 učenika. Kolika je vjerojatnost da je redni broj u imeniku slučajno odabranog učenika paran broj?

Pomoć:

Parnih rednih brojeva u razredu s 25 učenika je 12 .

null
4
U zdjeli su 4 kruške, 7 jabuka, 3 marelice i 5 šljiva. Vjerojatnost da bez gledanja uzmemo iz zdjele jabuku ili krušku iznosi % .

Pomoć:

Zbrojite jabuke i kruške.

Postupak:

Ukupan broj voća u zdjeli je 19 komada, a jabuka i krušaka zajedno je 11 komada.

5

U šeširu su kartice u raznim bojama s brojevima od 5 do 14 . Među karticama su 2   svijetloplave, 6 je ljubičastih, a 2 su narančaste. Boje i brojevi na karticama nemaju međusobno nikakve veze. Luka i Lovro izvlače jednu karticu i vraćaju je natrag u šešir. Luka predlaže igru u kojoj on pobjeđuje ako je na izvučenoj kartici parni broj, a Lovro pobjeđuje ako izvuče karticu s neparnim brojem.

Lovro predlaže igru u kojoj on pobjeđuje ako je izvučena kartica ljubičasta, a Luka pobjeđuje ako je izvučena kartica svijetloplava ili narančasta.

Koji je dječak smislio poštenu igru?

Pomoć:

U Lukinoj igri obojica imaju jednake izglede za pobjedu.

U Lovrinoj igri izgledi da se izvuče ljubičasta kartica veći su od izgleda da se izvuče svijetloplava ili narančasta kartica.

Postupak:

U Lovrinoj igri izgledi da se izvuče ljubičasta kartica su 60 % i veći su od izglea da se izvuče svijetloplava ili narančasta kartica. Izgledi da se izvuče svijetloplava ili narančasta kartica iznose 40 % .

ZAVRŠITE PROCJENU