x
Učitavanje

4.7 Krug i kružnica i njihovi dijelovi

Što ću naučiti?
Europska unija - Zajedno do fondova EU
Prethodna jedinica Sljedeća jedinica
Samostalno učenje icon samostalno učenje
Procjena znanja icon procjeni znanje
Sadržaj jedinice icon sadržaj jedinice

Na početku...

Od kotača do kolača (i umjetničkih slika)...

Prepoznaješ li sve oblike na fotografijama? Kako ih se može opisati?  

Predmeti kružnog oblika svuda su oko nas. Kotači, kolači, tanjuri, prometni znakovi... dio su našega svakodnevnog života. U ovoj ćeš temi ponoviti dosad poznato i naučiti nešto novo o kružnici, krugu i njihovim dijelovima.

Kružnica i njezini dijelovi

Istražimo

Pokreni aplet i promotri kako nastaje kružnica.

Tragom je nastala zatvorena krivulja koju nazivamo kružnica. Koje svojstvo imaju sve točke kružnice u odnosu prema točki u kojoj je pričvršćen konopac?

Sve točke kružnice su
od
istaknute točke S . Točku S nazivamo
kružnice.
null
null

Kružnica

Kružnica je skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od zadane točke S . Točka S je središte kružnice.

Polumjer

Polumjer kružnice je dužina koja spaja središte kružnice s bilo kojom točkom na kružnici. Duljinu polumjera označujemo s r .

Kružnica sa središtem (označeno slovom S) i polumjerom
Kružnica sa središtem i polumjerom

Kružnicu sa središtem S i polumjerom duljine r označujemo  k S ,   r .

Često polumjer kružnice (dužinu S A ¯ ) poistovjećujemo s njegovom duljinom r .

Tetiva

Tetiva kružnice je dužina koja spaja bilo koje dvije točke kružnice.

Promjer

Najdulja tetiva prolazi središtem kružnice i naziva se promjer (dijametar) kružnice.

Zanimljivost

U svakodnevnim životnim situacijama promjer se često označuje grčkim slovom Φ (čitamo "fi"). To je vjerojatno zato što to slovo izgledom podsjeća na kružnicu i njezin promjer.

U matematici se za promjer češće (zapravo uvijek) koristi oznaka d   (što dolazi od početnog slova latinske riječi dijametar).

Na slici su prikazani tetiva A B ¯ i promjer C D ¯ kružnice k ( S ,   r ) .

Kružnica s tetivom AB i promjerom CD
Kružnica s tetivom AB i promjerom CD

Zadatak 1.

Promotri sliku i dopuni rečenice.

Kružnica, polumjer, tetiva i promjer

Dužina K L ¯ je

,
dužina S T ¯
,
a dužina P R ¯
kružnice
k .
null
null

Promjer kružnice je dvostruko veći od njezina polumjera.

Duljinu pro­mjera označujemo s d , pri čemu je d = 2 r .

Rubne točke promjera kružnice dijele kružnicu na dvije polukružnice.

Polukružnica
Polukružnica s označenim promjerom. Na lijevoj strani je točka V, a na desnoj strani je točka U.

Zadatak 2.

  1. Ako je duljina polumjera kružnice 34   mm , onda je duljina promjera te kružnice
    mm .
    null
    null
  2. Ako je duljina promjera kružnice 38   mm , onda je duljina polumjera te kružnice
    mm .
    null
    null

Kružni luk

Kružni luk je dio kružnice omeđen dvjema točkama te kružnice.

Kružni luk omeđen točkama F i G označujemo s F G ⌢ .

Zanimljivost

Kad crtamo kružne lukove u bilježnicu, ako nije drukčije navedeno, mislimo na manji kružni luk određen istaknutim točkama.

Crtamo li kružni luk u nekom programu dinamične geometrije, moramo se držati drukčijeg pravila, tj. paziti na redoslijed točaka. U tom slučaju točke navodimo redom suprotno kretanju kazaljki sata.

Uočite da točke F i G određuju dva kružna luka.

Ako nije posebno istaknuto, promatra se manji od tih lukova. Želimo li promatrati veći kružni luk, na njemu istaknemo neku točku, npr. T , i taj luk označujemo  F T G ⌢ .

Dva kružna luka iste kružnice
Dva kružna luka iste kružnice. Jedan je označen crvenom bojom i sadržava točku T, dok je drugi plave boje i započinje točkama G i F.

Koncentrične kružnice

Kružnice sa zajedni­čkim središtem nazivaju se koncentrične kružnice.

Koncentrične kružnice
3 koncentrične kružnice - jedna je matematička, druga je kroz prikaz prstena, a treća je optička varka.

Pronađi parove. Par čine kartica na kojoj je slika i kartica na kojoj je odgovarajući pojam vezan uz dijelove kružnice.

Povećaj interaktivni prikaz

Krug i dijelovi kruga

Krug

Krug je skup svih točaka ravnine omeđenih kru­žnicom, uključujući i točke kružnice. Točka S je središte kruga i kružnice.

Zanimljivost

Prema legendi, posljednje riječi velikoga grčkog matematičara Arhimeda iz Sirakuze bile su: "Ne dirajte moje krugove." Tijekom opsade Sirakuze, dok je Arhimed u pijesku crtao i proučavao krugove, prišao mu je rimski vojnik. Arhimedov zahtjev da ne dira njegove krugove vojnik je smatrao vrijeđanjem pobjednika i zato ga je ubio.

Polumjer kruga jednak je polumjeru kružnice koja ga omeđuje. Krug sa središtem S i polumjerom duljine r ozna­čujemo  K S ,   r . Dužina S A ¯   je polumjer nacrtane kružnice i kruga.

Krug sa središtem i polumjerom
Krug sa središtem i polumjerom

Zadatak 3.

Koje od navedenih točaka ne pripadaju krugu K ( S ,   r ) ?

Pripadnost krugu K(S, <span class=r)">
null
null

Kružni isječak

Dio kruga omeđen nacrtanim polumjerima i pripa­dnim kružnim lukom naziva se kružni isječak.

Kružni isječak
Kružni isječak

Kružni odsječak

Dio kruga omeđen tetivom i pripadnim kružnim lukom naziva se kružni odsječak.

Promjer kruga dijeli krug na dva polukruga.

Kružni vijenac

Dio ravnine omeđen koncentričnim kružnicama naziva se kružni vijenac.

Širina kružnog vijenca jednaka je razlici duljina polumjera kružnica koje određuju vijenac.

Kružni vijenac
Kružni vijenac

...i na kraju

Pronađi parove. Par čine kartica na kojoj je slika i kartica na kojoj je odgovarajući pojam vezan uz dijelove kruga i kružnice.

Povećaj interaktivni prikaz

Procijenite svoje znanje

Povratak na vrh