Matematika 5 - 4.6 Pravokutnik i kvadrat

Pravokutnik

Pravokutnik

Pravokutnik je četverokut koji ima četiri prava kuta.

Promotri sliku. Koje točke pripadaju četverokutu $A B C D$ ?

Pravokutnik s vrhovima A,B,C i D. Lijevo od pravokutnika nalazi se točka F, ispod se nalazi točka H. Unutar pravokutnika je točka E. Između točki D i C nalazi se točka G. Između točaka A i B nalazi se točka I.

A

B

C

D

E

F

G

H

I

null

Vrhovi, stranice i kutovi pravokutnika

Točke $A,$ $B,$ $C$ i $D$ nazivaju se vrhovi pravokutnika $A B C D .$

Dužine $\bar{A B},$ $\bar{B C},$ $\bar{C D}$ i $\bar{D A}$ nazivaju se stranice pravokutnika.

Duljine stranica pravokutnika označujemo malim pisanim slovom.

$a = |A B|$

$b = |B C|$

Pravokutnik ABCD i označene stranice — Pravokutnik ABCD i stranice

Vrhovi pravokutnika koji pripadaju istoj stranici nazivaju se susjedni vrhovi, a oni koji ne pripadaju istoj stranici nazivaju se nasuprotni vrhovi.

Primjerice, vrhovi $A$ i $B$ su susjedni vrhovi, a vrhovi $A$ i $C$ su nasuprotni vrhovi.

Stranice pravokutnika koje dijele zajednički vrh nazivaju se susjedne stranice, a one koje nemaju zajednički vrh su nasuprotne stranice pravokutnika.

Susjedne stranice pravokutnika međusobno su okomite.

Svaki pravokutnik ima četiri unutarnja kuta. Za pravokutnik $A B C D$ unutarnji kutovi su $∡ D A B,$ $∡ A B C,$ $∡ B C D$ i $∡ C D A,$ pri čemu veličinu kuta pri vrhu $A$ označujemo s $α,$ veličinu kuta pri vrhu $B$ s $β,$ veličinu kuta pri vrhu $C$ s $γ,$ a veličinu kuta pri vrhu $D$ s $δ .$

Za unutarnje vrhove pravokutnika vrijedi $α = β = γ = δ = 90 ° .$

Kolekcija zadataka #1

Vrh nasuprotan vrhu

S

je vrh

.

null

Vrh susjedan vrhu $R$ je vrh

S

O

P

null

Koja je stranica nasuprotna stranici $\bar{O P} ?$

\bar{S R}

\bar{P R}

\bar{O S}

null

Svojstva pravokutnika

Zadatak 1.

Istraži svojstva pravokutnika s pomoću sljedećeg apleta.

Nasuprotne stranice pravokutnika jednakih su duljina.

$|A B| = |C D|$ i $|A D| = |B C|$

Nasuprotne stranice pravokutnika su paralelne.

$\bar{A B} ∥ \bar{C D}$ i $\bar{A D} ∥ \bar{B C}$

Dijagonale pravokutnika

Dužine koje spajaju nasuprotne vrhove pravokutnika nazivaju se dijagonale.

Zadatak 2.

Koristeći se sljedećim apletom, istraži svojstva dijagonala pravokutnika.

Dijagonale pravokutnika jednakih su duljina.

Dijagonale pravokutnika se raspolavljaju.

Kolekcija zadataka #2

U pravokutniku su

stranice

jednakih duljina.

null

U pravokutniku su

stranice

međusobno okomite.

null

Dužina koja spaja nasuprotne vrhove pravokutnika naziva se

pravokutnika.

null

Kvadrat

Kvadratni sat sa rimskim brojevima.

Pametni mobitel koji skenira kvadratni QR kod.

Kvadratni znak za parking mjesto osoba s invaliditetom.

Kvadratna šahovska ploča sa crnim i bijelim figuricama.

Kako se nazivaju geometrijski likovi prikazani slikama? Koliko vrhova i kutova imaju? Po čemu su slični pravokutniku, a po čemu se od njega razlikuju?

Kvadrat

Kvadrat je pravokutnik kojemu su susjedne stranice jednake duljine.

Točke $A,$ $B,$ $C$ i $D$ nazivaju se vrhovi kvadrata $A B C D .$

Dužine $\bar{A B},$ $\bar{B C},$ $\bar{C D}$ i $\bar{D A}$ nazivaju se stranice kvadrata.

Duljine stranica kvadrata označujemo malim pisanim slovom.

Primjerice, $a = |A B| .$

Zapamti!

Svaki je kvadrat pravokutnik.

Svojstva kvadrata

Kvadrat je pravokutnik, zato ima sva svojstva koja ima i pravokutnik.

Svi unutarnji kutovi kvadrata su pravi.

Nasuprotne stranice kvadrata jednakih su duljina.

$|A B| = |C D|$ i $|A D| = |B C|$

Nasuprotne stranice kvadrata su paralelne.
$\bar{A B} ∥ \bar{C D}$ i $\bar{A D} ∥ \bar{B C}$

Dijagonale kvadrata jednakih su duljina.

Dijagonale kvadrata međusobno se raspolavljaju.

Koristeći se sljedećim apletom, istraži posebna svojstva kvadrata. Koje već takvo svojstvo znaš?

Za kvadrat još vrijede sljedeća svojstva:

Sve stranice kvadrata jednakih su duljina.

Dijagonale kvadrata sijeku se pod pravim kutom.

Zadatak 3.

Za koje od navedenih likova vrijedi zadano svojstvo?

Sva četiri kuta su prava.
Sve četiri stranice su jednakih duljina.
Nasuportne stranice su jednake duljine.
Nasuprotne stranice su paralelne.
Dijagonale su međusobno okomite.
Dijagonale se međusobno raspolavljaju.
Dijagonale su jednakih duljina.

null

Kolekcija zadataka #3

Je li svaki kvadrat pravokutnik?

Da

Ne

Postupak:

Kvadrat je pravokutnik jer ima sva svojstva koja ima i pravokutnik (svi kutovi su mu pravi, nasuprotne stranice su mu paralelne, nasuprotne stranice su mu jednakih veličina...)

Je li svaki pravokutnik kvadrat?

Da

Ne

Pomoć:

Kvadratu su susjedne stranice jednakih duljina, a pravokutniku nisu.

Pogodi tko sam!

Ja sam geometrijski lik s četiri stranice. Svi moji kutovi jednake su veličine. Moje susjedne stranice različitih su duljina. Ja sam

.

Pomoć:

Ako su svi unutarnji kutovi pravokutnika jednake veličine, to znači da njihova veličina mora iznositi $90 °$ tj. biti pravi.

null

Ja sam pravokutnik s četiri sukladne stranice. Ja sam

.

null

Moje se dijagonale sijeku pod pravim kutom i svi moji kutovi su pravi. Ja sam

.

Pomoć:

Sve prave kutove imaju pravokutnik i kvadrat. Koji od njih ima sve stranice jednakih duljina?

null

...i na kraju

Za kraj možeš pogledati kako konstruirati kvadrat primjenjujući svojstva njegovih dijagonala ako ti je poznata duljina dijagonala.

Povećaj interaktivni prikaz

Na početku...

Pravokutnik

Pravokutnik

Vrhovi, stranice i kutovi pravokutnika

Kolekcija zadataka #1

Svojstva pravokutnika

Zadatak 1.

Dijagonale pravokutnika

Zadatak 2.

Kolekcija zadataka #2

Kvadrat

Kvadrat

Svojstva kvadrata

Zadatak 3.

Kolekcija zadataka #3

...i na kraju