x
Učitavanje

8.3 Međusobni položaj pravaca i ravnina u prostoru

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Pravci i ravnine
Osvrnemo li se oko sebe, možemo uočiti niz pravaca i ravnina. Npr. tlo po kojem hodamo je ravnina, a presjecaju ga ceste - pravci. U ovoj jedinici naučit ćemo u kakvom međusobnom položaju mogu biti pravci i ravnine u prostoru.

Zadatak 1.

Ponovimo.

  1. Pravac je određen s ​ točke.
    null
    null
  2. Kroz jednu točku može se povući ​ pravaca.
    null
    null
  3.  Ravnina je određena s ​  točke koje nisu kolinearne.
    null
    null
  4. Ravninu možemo definirati i pomoću ​ pravca koji se sijeku ili koji su paralelni. Ravninu možemo definirati i pomoću  pravca i  točke koja ne leži na tom pravcu.
    null
    null
  5. Spoji pravce s njihovim položajima u ravnini. ​

    Pravci se podudaraju
    Pravci se sijeku
    Pravci su paralelni
     ​
    null
    null
  6. Pogledajte sliku kvadra s istaknutim pravcima koji prolaze kroz vrhove kvadra. Razvrstajte ponuđene parove pravaca u kategorije: paralelni, sijeku se ili mimoilazni.

    Kocka s pravcima

      E H i B D

    Paralelni

    Sijeku se

     Mimoilazni

    null
    null

Odnos pravca i ravnine u prostoru

U idućoj animaciji pratite položaj pravca u odnosu na ravninu te uočite u kojem sve odnosu mogu biti pravac i ravnina. Kvadar i ravninu možete rotirati držeći lijevu tipku miša.

Povećaj ili smanji interakciju

Pravac i ravnina u prostoru su ili paralelni ili se sijeku u jednoj točki. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.

Pravac leži u ravnini
Pravac leži u ravnini

a. ​Svaka točka pravca ujedno je i točka ravnine. Situacija kada pravac leži u ravnini zapisuje se p π .

Pravac i ravnina su paralelni
Pravac i ravnina su paralelni

b. Ako pravac i ravnina nemaju presječnih točaka, kažemo da su paralelni. Pišemo: p π .

Pravac i ravnina se sijeku
Pravac i ravnina se sijeku

c. Ako se pravac i ravnina sijeku, tada imaju samo jednu presječnu točku. Pišemo: ​ p π = A . Točka A naziva se sjecište ili probodište pravca i ravnine.

Zadatak 2.

Pravac i ravnina mogu imati:

null
null
 
Kocka i ravnina

Koliko je pravaca koji ne leže u ravnini, a određeni su vrhovima kvadra, paralelno istaknutoj ravnini kroz vrhove A , B , C i D ?
null

Postupak:

To su: E F , E H , E G , F H , F G , G H .

Odnos dviju ravnina

U idućoj animaciji pratite položaj ravnina u odnosu na istaknutu ravninu te uočite u kojem sve odnosu mogu biti.

Povećaj ili smanji interakciju

Dvije ravnine u prostoru mogu biti ili paralelne ili je njihov presjek pravac. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad se ravnine podudaraju.

Ravnine se podudaraju
Ravnine se podudaraju

a. Dvije se ravnine podudaraju ako imaju barem tri zajedničke nekolinearne točke. Pišemo: ​ π = ρ .

Paralelne ravnine
Paralelne ravnine

b. Dvije su ravnine paralelne ako se podudaraju ili ako se ne sijeku. Pišemo: ​ π ρ .

Ravnine se sijeku
Ravnine se sijeku

c. Dvije ravnine koje imaju zajedničkih točaka, a ne podudaraju se, sijeku se po pravcu. Pišemo: π ρ = p .

Zadatak 3.

Presjek dviju ravnina u prostoru može biti:

null
null

Kutak za znatiželjne

Postoje i višedimenzionalni prostori. Istražite mogu li se u višedimenzionalnom prostoru dvije ravnine sjeći u samo jednoj točki.

Tri ravnine u prostoru mogu biti u jednom od pet mogućih položaja:

  1. postoji samo jedna točka zajednička za sve tri ravnine
  2. sve tri ravnine sijeku se duž jednog pravca
  3. po dvije se ravnine sijeku u trima paralelnim pravcima
  4. dvije su ravnine paralelne, a treća ih siječe duž dvaju paralelnih pravaca
  5. sve su tri ravnine paralelne.

Kutak za znatiželjne

Razmislite kako bi ti položaji izgledali te ih skicirajte na plakatu. Pokušajte izraditi modele od kartona ili šperploče koji bi prikazivali moguće položaje triju ravnina u prostoru.

Zadatak 4.

Spojite grafičke prikaze s opisom položaja triju ravnina.

Ravnine se sijeku u jednoj točki
Ravnine se sijeku duž pravca
Po dvije se sijeku duž pravca
Dvije paralelne ravnine siječe treća ravnina
Tri paralelne ravnine
null
null

Paralelnost

Zadatak 5.

Kocka

Pogledajte kocku pa odgovorite u kojem su položaju:

  1. ravnine A B C i E F G
  2. ravnina A B C i pravac E F
  3. pravci A B i C D
  4. ravnine E A D i B C G
  5. ravnina F G H i pravac B D
  6. pravci A H i B G .

 ​

  1. Paralelne.
  2. Paralelni.
  3. Paralelni.
  4. Paralelne.
  5. Paralelni.
  6. Paralelni.​

Dvije su ravnine paralelne ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je ravnina paralelna sama sa sobom.

Paralelne ravnine

Pravac i ravnina su paralelni ako nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je pravac paralelan s ravninom koja ga sadrži.  

Paralelni ravnina i pravac
Paralelni ravnina i pravac

Dva su pravca paralelna ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka. Također se smatra da je svaki pravac paralelan sam sa sobom.

Paralelni pravci
Paralelni pravci

Zanimljivost

Sfera
Sfera

Sferna geometrija vrsta je neeuklidske geometrije na sferi za koju su pravci glave kružnice sfere, točke su točke sfere, a ravnina je zadana sfera. U sfernoj geometriji nije zadovoljen Euklidov aksiom o paralelama, svaka dva pravca sijeku se u dvije točke pa točkom izvan pravca ne prolazi niti jedan pravac paralelan sa zadanim pravcem.

Zadatak 6.

Kocka

Na kocki s vrhovima A , B , C , D , E , F , G , H istaknute su točke I , J , K , L za koje vrijedi A I = B J = C K = D L .  

Odgovorite:

  1. U kojem položaju su pravci A B i C D ?
  2. U kojem položaju su pravci A B i I J ?
  3. U kojem položaju su pravci C D i I J ?
  4. U kojem položaju su ravnine A B C i I J K ?
  5. U kojem položaju su ravnine E F G i I J K ?
  6. U kojem položaju su ravnine A B C i E F G ?

Odgovor na svih 6 pitanja je isti - u paralelnom položaju.


U prošlom zadatku možemo uočiti tzv. tranzitivnost paralelnosti.

Paralelnost pravaca i paralelnost ravnina tranzitivne su relacije. To znači da imaju svojstva:

Ako je ​ a b   i ako je b c onda je i a c .

Ako je​ π ρ   i ako je ρ σ onda je π σ .

Kutak za znatiželjne

Paralelnost je relacija ekvivalencije. To znači da je binarna relacija i da vrijede svojstva refleksivnosti, simetričnosti i tranzitivnosti.

Sva tri svojstva smo već spomenuli. Potražite ih te dokažite da je paralelnost relacija ekvivalencije.

Proučite koje još vrste relacija postoje. Koja je razlika između relacija i funkcija?

...i na kraju

Pravac i ravnina u prostoru se mogu sijeći u jednoj točki ili su paralelni. Pritom paralelnost uključuje i slučaj kad pravac leži u ravnini.

Dvije ravnine u prostoru se mogu sijeći po pravcu ili biti paralelne. Pritom paralelnost uključuje slučaj kad se ravnine podudaraju.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1

Mimoilazni pravci ne pripadaju istoj ravnini.

null
null
2

Četiri različite točke uvijek su komplanarne.

null
null
3

Pravci koji leže u paralelnim ravninama uvijek su paralelni.

null
null
4

Određuju li dva različita paralelna pravca točno jednu ravninu?

null
null
5

Spojite slike na kojima su prikazani odnosi pravaca i ravnina s njihovim opisima.

Pravac leži u ravnini
Pravac siječe ravninu.
Paralelne ravnine
Tri ravnine koje se sijeku
 
null
null
6

U kojem odnosu su pravci A B i H G ?

Kocka

null
null
7

U kojem odnosu su ravnine A B C i H G D ?

Kocka

null
null
8

U kojem odnosu su pravac A B i ravnina B C F ?

Kocka

null
null
9

Na kocki su istaknute točke I , J , K . Odredite koji mnogokut ravnina određena tim točkama isijeca iz kocke.

Kocka s polovištima

null
10

Na kocki su istaknute točke I , N , M . Odredite koji mnogokut isjeca iz kocke ravnina određena tim točkama.

Kocka

null
null
11

Na kocki su istaknute točke A , B , H . Odredite koji mnogokut isjeca iz kocke ravnina određena tim točkama.

Kocka

null
12

Na kocki su istaknute točke M , N , O . Odredite koji mnogokut isjeca iz kocke ravnina određena tim točkama.

Kocka

null

 

ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

8.4 Okomitost