8.2 Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru

Određenost ravnine

Ravnina je zadana ili određena nekim elementima ako ih ona sadrži i ako je to jedina ravnina s tim svojstvom.

Ravnina je zadana s:

1. ​tri točke koje ne leže na istom pravcu
2. pravcem i točkom koja ne leži na njemu
3. s dvama pravcima koji se sijeku
4. dvama paralelnim pravcima koji se ne podudaraju.

Proučimo te četiri tvrdnje.

1. ​Prva je tvrdnja zapravo drugi aksiom geometrije prostora.
2. Svaki pravac određen je s dvjema točkama, prema prvom aksiomu. Zatim prema drugom aksiomu postoji treća točka koja je u istoj ravnini, ali nije na pravcu kao prve dvije. I opet imamo tri točke koje ne leže na istom pravcu.
3. Sjecište pravaca je prva točka u ravnini, druge dvije nalaze se svaka na jednom pravcu.
4. Paralelni pravci leže u istoj ravnini, pa je jedna točka na jednom pravcu, a dvije su na drugom pravcu.
   

Primjer 1.

Na slici je kocka $ABCDEFGH.$ Istaknimo ravninu koja je određena pravcem $BD$ i točkom $G.$

Zadatak 1.

Nacrtajte na papiru kocku $ABCDEFG.$ Označite ravnine zadane s:

1. pravcem $CB$ i točkom $E$
2. pravcima $BD$ i $FH$
3. pravcima $CE$ i $AG.$
   

Rješenje

---

Ponovimo - pravci u ravnini

Ceste na ovom prikazu područja slikanog iz zraka možemo zamisliti kao pravce. Vidimo ceste/pravce koji se sijeku i ceste/pravce koji se ne sijeku.

Ako promatramo pravce u ravnini, u kojim sve položajima dva pravca mogu biti?

Dva pravca u ravnini mogu se naći u sljedećim položajima:

1. ​pravci se podudaraju
2. pravci nisu istovjetni i sijeku se
3. pravci se ne sijeku.

Primjer 2.

Prva situacija javlja se kada dva pravca prolaze kroz dvije iste točke.

Primjer 3.

Dva pravca koja nisu istovjetna i koja se sijeku za presjek imaju točno jednu točku. Ta točka im je zajednička. Kada bi imali dvije zajedničke točke, imali bismo prvi slučaj i pravci bi se podudarali.

Primjer 4.

Ako se pravci ne podudaraju i ne sijeku, a leže u istoj ravnini, oni su paralelni.

Kutak za znatiželjne

Peti aksiom euklidske geometrije glasi:

Kroz svaku točku može se povući točno jedna paralela sa zadanim pravcem.

Ovaj je aksiom kroz povijest zaokupljao matematičare koji su ga pokušavali dokazati i tako ga zapravo proglasiti teoremom. U 18. stoljeću Saccheri i Lambert pokušavajući dokazati peti postulat, dolaze do rezultata koji čine početak nove neeuklidske geometrije. Na ideju da peti aksiom zamijene i tako stvore geomeriju koja je jednako valjana kao i euklidska došli su Gauss, Bolyai i Lobačevski.

Lobačevski peti aksiom mijenja u:

Postoje barem dva pravca paralelna danom pravcu koja prolaze točkom koja se nalazi izvan tog pravca.

I tako definira hiperboličku geometriju koja zbog neuporabne vrijednosti nije zaživjela.

Riemannova ili eliptička geometrija bila je puno uspješnija. Njezin osnovni kocept glasi da se svaka dva pravca iste ravnine sijeku, pa i paralelni pravci.

Primjer 5.

Na slici su pravci u ravnini koji prolaze kroz vrhove pravilnog šesterokuta.

1. Koji su pravci paralelni s pravcem $c?$

   Pravci paralelni s pravcem $c$ su pravci $q$ i $b.$

2. Koji se pravci sijeku s pravcem $c?$

   Pravci koji se sijeku s pravcem $c$ su $a,$ $r,$ $n,$ $m,$ $t,$ $p$ i $s.$

Zadatak 2.

Uz pomoć slike iz prethodnog primjera odgovorite na pitanja:

1. Koji su pravci paralelni s pravcem $s$? ​
2. Koji se pravci sijeku s pravcem $s$?
   

Rješenje

---

Pravci u prostoru

Na slici je primjer upotrebe pravca u prostoru u cestovnoj građevini. Ako zamislimo ceste kao pravce, kakvi su ovo pravci? Za njih ne vrijedi ni jedan od položaja koje smo naveli za pravce u ravnini. To je zato što se ovi pravci ne nalaze na istim ravninama.

Pravci u prostoru mogu se nalaziti u dvama položajima:

• pravci leže u istoj ravnini
• pravci ne leže u istoj ravnini
  

  Prisjetimo se kada su pravci paralelni i što vrijedi kada se sijeku.

1. Dva pravca su paralelna ako leže u ravnini i ne  se.

   

   null

   null
2. Dva pravca sijeku se u točki.

   

   null

   null

Dva su pravca mimoilazna ako ne leže u istoj ravnini.

Mimoilaznost i paralelnost međusobno se isključuju. Razlog je tomu definicija paralelnosti. Da bi pravci bili paralelni, moraju biti na istoj ravnini. Mimoilazne pravce najlakše je uočiti kao pravac u ravnini i pravac koji siječe ravninu u kojoj leži prvi pravac u jednoj točki koja nije na prvom pravcu (kao na slici).

Primjer 6.

U koliko se točaka sijeku ovi "pravci" - tragovi zrakoplova na nebu?

Ovi pravci se ne sijeku. Nalaze se u različitim ravninama i mimoilazni su.

Primjer 7.

Na slici je kvadar $ABCDEFG.$ Istražimo u kojem se odnosu nalaze:

• pravci $AF$ i $HC$
• pravci $AG$ i $BF$
• pravci $EH$ i $AG.$

Zaključujemo:

• pravci $AF$ i $HC$ se sijeku
• pravci $AG$ i $BF$ su paralelni (pripadaju ravnini odeđenoj točkama $A,$ $G,$ $B$ i $F$)
• pravci $EH$ i $AG$ su mimoilazni.

Praktična vježba

Uočiti sijeku li se pravci, jesu li paralelni ili mimoilazni u prostoru uz 2D-skicu je teško.

Pomoću slamki i plastelina možete napraviti 3D-modele koji će vam pomoći da uočite u kojem položaju se nalaze pravci. U 3D-modelu pravce možete zamijeniti štapićima, listovima papira ili prozirnom čvrstom folijom.

1. 

   ​Pravci $BE$ i $CF$ su paralelni.
   

   Da

   Ne

   

   null

   null

2. Pravci $BE$ i $DG$ su mimoilazni.
   

   Da

    Postoji li ravnina u kojoj leže oba pravca?

   Ne

   

   null

   null

3. Pravci $DB$ i $BG$ se sijeku.

   Da

   Ne

   

   null

   null