x
Učitavanje

Aktivnosti za samostalno učenje

    Europska unija, Zajedno do fondova EU
    Sadržaj jedinice
    Povećanje slova
    Smanjenje slova
    Početna veličina slova Početna veličina slova
    Visoki kontrast
    a Promjena slova
    • Verdana
    • Georgia
    • Dyslexic
    • Početni
    Upute za korištenje

    Na početku...

    Dovucite brojeve koji nedostaju tako da je zbroj svih brojeva u recima, stupcima i dijagonalama isti.

    Na slici je tablica 4x4 u koju su upisani neki brojevi.

    5

    3

    15

    14

    2

    9

    12

    8

    null
    null

    Koliko iznosi magični zbroj u danoj tablici, odnosno zbroj brojeva po redcima, stupcima i dijagonali? Znate li kako se nazivaju takve i slične tablice brojeva?

    Na slici je Durerov magični kvadrat.
    Detalj s gravure Melencolie i Albrechta Dürera

    Zbroj je 34 , a tablica je primjer magičnog kvadrata reda 4 . Tablica koja ima n redaka i n stupaca je magični kvadrat reda n ako je zbroj brojeva u svim stupcima, redcima i dijagonalama isti broj.


    Ovaj je magični kvadrat jedan od najpoznatijih magičnih kvadrata dimenzije 4 × 4 , a nalazi se na djelu Melencolia I, gravuri njemačkog umjetnika Albrechta Dürera. Osim magičnog zbroja u redovima, stupcima i dijagonalama, u tom se kvadratu pojavljuje i mnogo drugih zanimljivih pojedinosti.

    Projekt

    U sklopu projekta o temi Magični kvadrati, vaš je zadatak u tročlanim skupinama obraditi zadanu temu, izraditi plakat i prezentaciju. Evo i nekih smjernica kojima se možete voditi tijekom projekta: ​

    Što znamo o skupovima i brojevima?

    Zadatak 1.

    Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

    Dovlačenjem stavite u jednu skupinu beskonačne, a u skupinu konačne skupove.

    skup višekratnika broja 5

    beskonačni

    konačni

    null

     

    Zadatak 2.

    1. U bilježnicu nacrtajte dva Vennova dijagrama. Na prvome osjenčajte skup koji predstavlja A B ¯ , a na drugome A ¯ B ¯ .
    2. Zatim nacrtajte dva Vennova dijagrama. Na prvome osjenčajte skup koji predstavlja A B ¯ , a na drugome A ¯ B ¯ .  

    Što zaključujete? Koja ste svojstva za skupove otkrili?

    A B ¯ = A ¯ B ¯ i A B ¯ = A ¯ B ¯

    Svojstva koja ste otkrili poznata su pod nazivom De Morganovi zakoni.


    Zadatak 3.

    1. Odredite zbroj prvih 100 prirodnih brojeva. ​
    2. Odredite zbroj svih dvoznamenkastih prirodnih brojeva.
    3. Odredite zbroj brojeva 3 + 6 + 9 + 12 + + 99 .  
    4. Odredite zbroj svih prirodnih brojeva manjih od 1 000 koji pri dijeljenju s 4 daju ostatak 1 .
    Slika prikazuje kako se mogu zbrojiti brojevi od jedan do sto. Zbrajamo prvi i zadnji broj u nizu, zatim drugi i predzadnji. Svi su zbrojevi isti, a kako je takvih parova 50, ukupan je zbroj 50∙101=5050.
    Gaussova dosjetka

    Koristite se načinom zbrajanja pod nazivom Gaussova dosjetka.

    Pogledajte poveznicu.

    1. 5 050
    2. 4 905
    3. 1 683
    4. 124 750 .

    Mjerenje

    Povezani sadržaji

    Mjerenje je postupak kojim se određuje vrijednost neke veličine. Kako bismo što preciznije odredili stvarnu vrijednost te veličine, postupak mjerenja može se provesti više puta. Prije obrade dobivenih podataka treba odbaciti mjerenja koja znatno odstupaju od ostalih izmjerenih vrijednosti i najvjerojatnije su posljedica ljudske greške (takozvana gruba greška ili omaška). Za najbolju procjenu obično uzimamo srednju vrijednost x ¯ , odnosno aritmetičku sredinu svih preostalih rezultata mjerenja.

    Nakon toga se za svaki od n  rezultata mjerenja izračuna apsolutno odstupanje:

    Δ x i = x i - x ¯ , i = 1 . . . n .

    Od svih se apsolutnih odstupanja odabere najveće. Označavamo ga s x m a x i nazivamo maksimalna apsolutna pogreška.

    Maksimalna relativna pogreška označava se s r m a x , a računa se prema formuli

    r m a x = x m a x x ¯ .

    Dogovor je da se prvo zaokružuje maksimalna apsolutna pogreška, na prvu značajnu znamenku koja nije 0 , te se na temelju toga ispravlja zapis srednje vrijednosti na isti broj decimala (i uzima se u obzir broj značajnih znamenaka ulaznih podataka). Konačan zapis mjerenja nakon pravilnog zaokruživanja zapisuje se s ( x ¯ ± x ) .

    Primjer 1.

    Dječak sa slike skače u dalj i netko mjeri njegov skok
    Skok udalj

    Pripremajući se za školsko natjecanje u skoku udalj, učenik je zamolio svoje prijatelje da mu izmjere duljinu skoka. Svatko je od njih šest dobio drukčiji rezultat (u metrima).

    Rezultati, redom kako su izmjereni, iznose:

    x 1 = 3.26 m , x 2 = 3.58 m , x 3 = 3.48 m , x 4 = 3.53 m , x 5 = 3.32 m , x 6 = 2.25 m .

    Na osnovi izmjerenih podataka procijenite koliko je učenik skočio udalj.

    Na početku treba odbaciti mjerenje x 6 = 2.25 m , koje znatno odstupa od ostalih izmjerenih vrijednosti.

    1. Aritmetička sredina preostalih pet rezultata
      x - = m .
      null
      null
    2.  Apsolutna odstupanja dobivenih mjerenja u odnosu prema aritmetičkoj sredini su:
      x 1 - x - = m ,
      null
      null
    3. | x 2 - x ¯ | = m ,
      null
      null
    4. | x 3 - x ¯ | =   m ,
      null
      null
    5. | x 4 - x ¯ | = m ,
      null
      null
    6. | x 5 - x ¯ | = m .
      null
      null
    7. Maksimalna apsolutna pogreška iznosi: x m a x = m .
      null
      null
    8. Izračunata se vrijednost tada zapisuje: ( x ¯ ± x ) m=( ± ) m .
      null
      null

    Takav je rezultat nužno pravilno zaokružiti – mjerni instrument nije imao preciznost mjeriti na 3 . decimalu, zato taj zapis nije točan.

    Kako glasi konačan zapis mjerenja?

    Između kojih se brojeva nalazi stvarna vrijednost i kolika je maksimalna relativna pogreška?

    Konačni zapis mjerenja je ​ ( x ¯ ± x ) = ( 3.40 ± 0.20 ) m , odnosno stvarna se vrijednost mjerenja nalazi između brojeva 3.20 m i 3.60 m .

    Maksimalna je relativna pogreška

    r m a x = 0.2 3.4 · 100 % = 0.0588 · 100 % = 5.9 % .  


    Loptica koja pada

    Pokus

    Za sljedeći su vam pokus potrebni teniska loptica, štoperica, džepno računalo i pribor za pisanje. Radite u tročlanim skupinama na sljedeći način:

    Jedan će član puštati lopticu da slobodno pada s visine h . Drugi će član štopericom mjeriti vrijeme za koje će loptica pasti na tlo, tako da će uključiti štopericu u trenutku puštanja loptice, a isključiti u trenutku kad ona dotakne tlo. Treći će član pregledno zapisivati rezultate mjerenja u za to predviđenu tablicu. Mjerenje vremena potrebno je provesti od 10 do 15  puta. Obradite dobivene podatke i napišite u bilježnicu kratak osvrt na rezultate mjerenja, točnost i pogreške pri mjerenju. U svoja razmatranja uključite i odgovore na pitanja:

    Koje se pogreške i zašto mogu javiti pri mjerenju?

    S kojom preciznošću štoperica mjeri vrijeme?

    Kojim ste se matematičkim, a kojim fizikalnim znanjima koristili pri izvođenju pokusa i računanju?

    Možete li nakraju, i koliko precizno, odgovoriti na pitanje koliko je dugo loptica padala i s koje je visine puštena?

    Štopericu možete pronaći na poveznici.

    Ako niste u mogućnosti izvesti pokus, možete upotrijebiti pokus s lopticom i osam mjerenja u simulaciji:

    Povećaj ili smanji interakciju

    Nekoliko zadataka

    Zadatak 4.

    1. Ispišite sve elemente skupova A , B i C .

      A = n : n = 3 k - 1 , k N, 1 k 7

      B = n : n N , n je djelitelj broja 20

      C = n : n N, n je prost broj manji od 20

    2. Odredite B C i ( B C ) \ A .

    1. A = 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 , B = { 1 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20 } , C = { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 } ,
    2. B C = 2, 5 , ( B C ) \ A = { 1 , 3 , 4 , 7 , 10 , 13 , 19 }  

    Zadatak 5.

    Za koji cijeli broj x vrijedi:

    1. x + 2 18 = 2 9
    2. x - 5 x Z ?
    1. x = 2  
    2. x - 5 , - 1 , 1 , 5

    Zadatak 6.

    Poredajte elemente po veličini tako da na vrhu bude element koji ima najmanju vrijednost.

    • 0 . 7 ˙
    • - 0.67
    • 13 16
    • 27 32
    • 0.7
    • - 0.68
    • 4 5
    null
    null

    Zadatak 7.

    Ako je a = 1 , b = - 2 , izračunajte:

    1. | a | - | b |
    2. | - | a | - b |
    3. | 0.5 a · b | - b
    4. | a | - 5 1 - | b |
    5. - a + a - b + b .
    1. - 1
    2. 1  
    3. 3  
    4. 4
    5. 0  

    Zadatak 8.

    Prema popisu stanovništva od 2011. godine, Hrvatska je imala 4 284 889 stanovnika, od kojih je muškaraca bilo 2 066 355 . Udjel stanovništva starijega od 80 godina iznosio je 3,9 posto. Udjel žena u fertilnoj dobi (od 15 do 49 godina) u ukupnom stanovništvu bio je 43,9 posto. Na osnovi danih podataka odredite:

    1. broj stanovnika koji su bili stariji od 80 godina
    2. postotak žena u ukupnom broju stanovnika
    3. broj žena u fertilnoj dobi 
    4. koliko posto žena (od njihova ukupnog broja) nije bilo u fertilnoj dobi. 
    1. 167 111
    2. 51.8 %
    3. 1 881 066
    4. 15.2 %

    Zadatak 9.

    Zaokružite brojeve na dani broj značajnih znamenki.

    1. 567 000 000 ( 2 )  
    2. 0.00625 ( 2 )  
    3. 1.092 ( 3 )  
    4. 0.08025 ( 3 )
    1. 570 000 000
    2. 0.0063
    3. 1.09
    4. 0.0803

    Zadatak 10.

    Izračunajte i rezultat zaokružite na dvije decimale.

    1. - 3 . 3 ˙ 5
    2. 5 000 100 000 · 21.1305 · 0.127
    3. 1.654 - 2.321 · ( - 0.11 + 2.7654 ) 13.8 : ( - 2.5 )
    1. - 0.67
    2. 435.93  
    3. 0.82

    Zadatak 11.

    Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

    a = b = 11
    a = - 11 , b = 11
    Razlika im je 1 .
    a = - 2 ili a = 20
    a - b = 11
    a = - 6 , b = - 5
    a - 9 = 11
    a = - 6 , b = 5
    null
    null

    Zadatak 12.

    Pripremajući se za važno natjecanje Marin je morao pažljivo izmjeriti svoju masu. Na vagi piše da mjeri vrijednost mase s točnošću na dekagram uz maksimalnu relativnu pogrešku od 1 % . Marin je deset puta izmjerio svoju masu, ali svaki je put dobio drukčiji rezultat. Provjerite točnost vage, to jest je li 1 % dobra procjena točnosti. Kolika je stvarna Marinova masa ako je on izmjerio sljedeće vrijednosti:

    78.4 kg , 78.8 kg , 77.3 kg , 77.9 kg , 77.6 kg , 78.2 kg , 78.1 kg , 77.8 kg , 78.3 kg , 78.5 kg ?

    1. Srednja je vrijednost kg .
      null
      null
    2. Maksimalna je apsolutna pogreška kg   kg .
      null
      null
    3. Korigirana je srednja vrijednost kg .
      null
      null
    4. Maksimalna je relativna pogreška % .
      null
      null
    5. Stvarna je Marinova masa između kg   i kg .
      null
      null

    Zadatak 13.

    U decimalnom zapisu racionalnog broja 2 7 odredite decimalu koja se nalazi iza decimalne točke na  

    101 . mjestu: , 276 . mjestu: , 873 . mjestu: .
    null
    null

    Matematika i glazbena ljestvica

    Kutak za znatiželjne

    Na slici je crtovlje s notama.

    Znate li što je glazbena ljestvica? Koliko je tonova u njoj? Ako istodobno odsviramo neka dva tona, hoće li zvučati ugodno ili neugodno?


    U ljestvici je osam tonova: C, D, E, F, G, A, H i c.


    Visina tona ovisi o duljini žice na kojoj sviramo. Ako skratimo žicu na kojoj sviramo ton C na polovinu njezine duljine, dobit ćemo žicu na kojoj sviramo ton c. Razmak je između tih dvaju tonova osam pa se naziva oktava.

    Interval oktave ostvaruje se titranjem žica kojima su duljine u omjeru 2 : 1 . Ton c zovemo oktava na C. Interval kvinte je razmak od pet tonova, a ostvaruje se omjerom 3 : 2 . Razmak od četiriju tonova je interval kvarte koji se ostvaruje omjerom 4 : 3 .

    Visina tona ovisi o duljini žice na kojoj sviramo. Ako skratimo žicu na kojoj sviramo ton C na polovinu njezine duljine, dobit ćemo žicu na kojoj sviramo ton c. Razmak je između tih dvaju tonova osam pa se zove oktava.
     

    Zadatak 14.

    Zamislimo da ton C sviramo na žici duljine 1 . Koji je ton kvinta na C, a koji kvarta na C? Kolike su duljine žica na kojima sviramo te tonove?

    Kvinta na C je G, kvarta na C je F. Ton G svira se na žici duljine 2 3 , a ton F na žici duljine 3 4 .


    Primjer 2.

    Odredimo interval F do G.

    Treba naći omjer duljina žica na kojima se sviraju tonovi F i G.

    3 4 2 3 = 9 8 .

    Taj se interval naziva cijeli ton.

    Podijelimo donju kvartu od C do F cijelim tonovima. Krećući od C odredimo ton D tako da interval među njima bude cijeli ton. Zatim odredimo ton E tako da interval između D i E bude cijeli ton. Isto tako podijelimo gornju kvartu od G do c cijelim tonovima. Dobit ćemo još dva nova tona, A i H.

    Uparite elemente.

    G
    16 27  
    C
    8 9  
    c
    128 243  
    F
    2 3  
    D
    1
    E
    1 2  
    H
    64 81  
    A
    3 4  
    null
    null

    Pitagora i njegovi sljedbenici pitagorejci govorili su da je sustav reda i ljepote izgrađen na suglasjima oktave, kvinte i kvarte. Zaključili su kako bit oktave, kvinte i kvarte nije žica, nego broj. Oblikovali su zakon malih brojeva: dva tona zvuče ugodno, skladno ako su im omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.

    Zadatak 15.

    Pronađite tonove čiji su omjeri duljina žica razlomci s malim brojnikom i nazivnikom.

    Planetarij i verižni razlomci

    Povezani sadržaji

    Na slici je nizozemski matematičar, fizičar i astronom Christiaan Huygens
    Izvor: commons.wikimedia.org. Autor: F. Ottens. Licenca: CC CC BY 4.0

    Nizozemski matematičar, fizičar i astronom Christiaan Huygens živio je u 17. stoljeću. Za Francusku akademiju znanosti osmislio je Planetarij koji prikazuje gibanja šest planeta oko Sunca i Mjeseca oko Zemlje. Modeli planeta kretali su se s pomoću zupčanika. Huygens je računao omjere vremena ophoda planeta i Zemlje oko Sunca. Za Veneru je dobio omjer 64 725 105 190 . To je značilo da bi trebalo napraviti zupčanike sa 64 725 i 105 190 zubaca. To je, naravno, bilo tehnički neizvedivo. Potrebno je bilo pronaći razlomak koji se malo razlikuje od istaknutog, a koji ima manje brojeve u brojniku i nazivniku.

    Predložite neke razlomke.

    Zadatak 16.

    Koristite se džepnim računalom. Zapišite broj 64 725 105 190 zaokružen na jednu, dvije, tri i četiri decimale. Dobili ste četiri decimalna broja. Prikažite ih u obliku potpuno skraćenog razlomka.

    0.6 = 3 5 , 0.61 = 61 100 ili 0.62 = 31 50 , 0.615 = 123 200 , 0.6153 = 6 153 10 000 .


    Razlomci koje smo dobili u prethodnom zadatku nisu dobri. Mali nazivnik ima samo prvi razlomak, ali on daje točnost samo na prvu decimalu. Razlomci koji se manje razlikuju od zadanog imaju velike nazivnike. Jeste li pronašli neke bolje? Problem pronalaženja dobrog razlomka može se riješiti s pomoću verižnih razlomaka. Što su to verižni razlomci?

    Primjer 3.

    Razlomak 371 251 zapišimo u drugom obliku. Koristimo se džepnim računalom.

    Podijelimo brojnik s nazivnikom. Količnik je 1, a ostatak 120. Možemo pisati 371 251 = 1 + 120 251 = 1 + 1 251 120 .

    Ponovimo postupak s razlomkom 251 120 . Količnik je 2, a ostatak 11. Možemo pisati 251 120 = 2 + 11 120 .

    Tako smo dobili 371 251 = 1 + 1 2 + 11 120 = 1 + 1 2 + 1 120 11 .

    Zadatak 17.

    Nastavite postupak najprije s razlomkom 120 11 , a zatim i dalje sve dok ne dobijete ostatak 0 .

    371 251 = 1 + 1 2 + 1 10 + 1 1 + 1 10 .


    U prethodnom ste zadatku odredili verižni razlomak. Taj verižni razlomak zapisujemo i ovako: 1,2,10,1,10 . Promotrimo brojeve:

    C 1 = 1 , C 2 = 1 + 1 2 = 3 2 , C 3 = 1 + 1 2 + 1 10 = 31 21 , C 4 = 1 + 1 2 + 1 10 + 1 1 = 34 23 , C 5 = 1 + 1 2 + 1 10 + 1 1 + 1 10 = 371 251 .

    Ti se brojevi zovu konvergente verižnog razlomka. Opišite kako su dobivene konvergente verižnog razlomka iz našeg primjera. Konvergente su dobra aproksimacija za razlomak 371 251 .

    Zadatak 18.

    Odlučili smo umjesto zadanog razlomka 371 251 upotrijebiti konvergentu C 4 . Izračunajte apsolutnu pogrešku C 4 - 371 251 . Zapišite apsolutnu pogrešku kao decimalni broj zaokružen na pet decimala.

    0.00017


    Zadatak 19.

    Razlomak 58 15 zapišite u obliku verižnog razlomka.

    3 , 1 , 6 , 2   ​


    Zadatak 20.

    Povežite postupak pretvaranja razlomka u verižni razlomak i Euklidov algoritam.

    Zadatak 21.

    Racionalni brojevi mogu imati konačne, ali i beskonačne periodičke decimalne prikaze. Mogu li imati beskonačne verižne razlomke? Ili će postupak pretvaranja uvijek završiti u nekom koraku?

    Objasnite.

    Prikaz je racionalnoga broja u obliku verižnog razlomka konačan.


    Zadatak 22.

    Zapišite broj 64 725 105 190 u obliku verižnog razlomka. Izračunajte konvergente. Izračunajte pogrešku za svaku od konvergenti.

    Koji biste broj zubaca za Huygensov zupčanik odabrali?

    0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 84 , 1 , 3 , 1 , 3

    Konvergente su: 0 , 1 1 = 1 , 1 2 = 0.5 , 2 3 = 0 . 6 ˙ , 3 5 = 0.6 , 8 13 = 0 . 6 ˙ 1538 4 ˙ , 675 1 097 = 0.615314494.. .