x
Učitavanje

1.2 Prirodni, cijeli i racionalni brojevi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Na slici je prikazana kost iz Išanga.

Ljudi su oduvijek imali potrebu za brojenjem i zapisivanjem brojeva.

U početku su upotrebljavali zareze u kostima i kamenju. Poznata je kost iz Išanga stara oko 20 000 godina.

Razne su kulture kroz povijest razvile različite načine zapisivanja brojeva. Tako su na primjer stari Egipćani imali sedam simbola za brojeve 1 , 10 , 100 , 1 000 , 10 000 ,   100 000 i 1 000 000 . Druge su brojeve zapisivali kombinirajući te simbole. Zapišite, koristeći se egipatskim simbolima, godinu svojega rođenja.

Brojeve s pomoću kojih brojimo danas nazivamo prirodni brojevi.

Na slici su prikazani Egipatski simboli za brojeve.

Prirodni brojevi

Skup prirodnih brojeva označavamo s N, a njegove elemente nazivamo prirodni brojevi.

N = 1 , 2 , 3 , . . .

Koja su svojstva skupa prirodnih brojeva?

Važno je svojstvo skupa prirodnih brojeva postojanje sljedbenika. Sljedbenik broja 1 je broj 2 , sljedbenik broja 2 je broj 3 , sljedbenik broja 3 je broj 4 i tako dalje. Ako je n prirodni broj, onda je i n + 1 prirodni broj.

Što je prethodnik nekoga prirodnog broja? Prethodnik broja 2 je broj 1 , prethodnik broja 3 je broj 2 i tako dalje. Broj 1 nema prethodnika.

U skupu N svaki broj ima sljedbenika. U skupu N svaki broj osim broja 1 ima prethodnika.

Zadatak 1.

Prirodne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s prirodnim brojevima?

  1. Zbroj dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

    null
    null
  2. Razlika dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

    null
    null
  3. Umnožak dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

    null
    null
  4. Količnik dvaju prirodnih brojeva uvijek je prirodni broj.

    null
    null

Zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva prirodni je broj. Kažemo da je skup prirodnih brojeva zatvoren s obzirom na računske radnje zbrajanja i množenja.

Djeljivost

Vidjeli smo da količnik prirodnih brojeva ne mora biti prirodni broj. Promotrimo prirodne brojeve m i n čiji količnik jest prirodni broj. Tu činjenicu možemo opisati na nekoliko načina. Na primjer, količnik je brojeva 15 i 5 prirodni broj. Možemo reći da je 15 djeljiv s 5 ili da je 15 višekratnik broja 5 i zapisati 15 = 5 · 3 . Možemo reći i da 5 dijeli 15 , što zapisujemo 5 | 15 , odnosno da je 5 djelitelj od 15 .

Ako je količnik m : n prirodnih brojeva m i n prirodni broj, kažemo da je m djeljiv s n ili da je m višekratnik od n . Pišemo m = n · k , k N . Možemo reći i da n dijeli m , odnosno da je n djelitelj od m . Pišemo n | m .

Zadatak 2.

 U sljedećim zadatcima može biti više točnih odgovora. Riješite zadatke.

  1. Broj 540  djeljiv je brojem:

    null
    null
  2. Broj 6 dijeli broj:

    null
    null
  3. Djelitelj broja 60 je broj:

    null
    null
  4. Višekratnik broja 3 je broj:

    null
    null

Prosti i složeni brojevi

Koji je broj djelitelj svakog broja? To je broj 1 . Broj 1 nema drugih djelitelja. Zato smo sigurni da svaki prirodni broj ima barem jednog djelitelja i da broj 1 ima točno jednog djelitelja. Svaki je prirodni broj djeljiv i sa samim sobom. To znači da svaki prirodni broj različit od 1 ima barem dva djelitelja: broj 1 i samog sebe. Neki prirodni brojevi imaju više od dvaju djelitelja.​

Prirodni je broj prost ako ima točno dva djelitelja.

Prirodni je broj složen ako ima više od dvaju djelitelja.

Primjer 1.

Odredimo je li broj 5 prost ili složen. Djelitelji broja 5 su 1 i 5 pa je broj 5 prost jer ima točno dva djelitelja. ​

Je li broj 6 prost ili složen? Djelitelji broja 6 su 1 , 2 , 3 i 6 pa je broj 6 složen jer ima više od dva djelitelja.

Je li broj 1 prost ili složen? Jedini djelitelj broja 1 je 1 . Broj 1 ima točno jednog djelitelja pa nije ni prost ni složen.

Djelitelji prostoga broja p  su 1 i p . Broj 1 nije ni prost ni složen.

Zadatak 3.

Dovucite sljedeće brojeve u pripadajuću skupinu.

233

 Prosti brojevi

 Složeni brojevi

null
null

Eratostenovo sito naziv je jednostavnog algoritma s pomoću kojega možemo odrediti proste brojeve manje od zadanoga broja.

Zanimljivost

Na slici je Eratosten.

Eratostenovo sito je algoritam koji je dobio naziv po grčkom matematičaru, geografu i astronomu Eratostenu koji ga je osmislio. Eratosten je živio u 3. st. pr. Krista i smatra se ocem zemljopisa. Prvi je upotrijebio riječ geografija, a poznat je i po tome što je izračunao opseg Zemlje.

Najmanji zajednički višekratnik i najveći zajednički djelitelj

Primjer 2.

Rastavimo na umnožak prostih faktora broj 6 300 .

6 300 = 63 · 100 =

= 9 · 7 · 10 · 10 =

= 3 · 3 · 7 · 2 · 5 · 2 · 5 =

= 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7

Na taj se način svaki prirodni broj može zapisati kao umnožak prostih faktora. Prosti faktori nekoga prirodnog broja pomažu nam pri određivanju djelitelja i višekratnika toga broja. Na primjer, iz rastava broja 6 300 na proste faktore vidimo da je jedan od djelitelja toga broja broj 3 · 5 = 15 . Jedan je od višekratnika, na primjer, broj 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 = 12 600 .

Za dva prirodna broja mogu nas zanimati zajednički djelitelji i višekratnici. Tako je, na primjer, jedan od zajedničkih djelitelja brojeva 72 i 108 broj 9 . Možete li pronaći neki veći zajednički djelitelj? Jedan od zajedničkih višekratnika brojeva 72 i 108 je broj ​ 72 · 108 = 7 776 . Možete li pronaći neki manji zajednički višekratnik? Za zadane prirodne brojeve određivat ćemo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik. Dopunite definiciju ovih pojmova. ​

Najveći zajednički djelitelj brojeva n i m je broj koji je broja n broja m . Najmanji zajednički višekratnik brojeva n i m je  broj koji je  broja n  broja m .

 

Postupak:

Najveći zajednički djelitelj brojeva n i m je najveći broj koji je djelitelj broja n i broja m .

Najmanji zajednički višekratnik brojeva n i m je najmanji broj koji je višekratnik broja n i broja m .

Zadatak 4.

Odredite najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva 1 575 i 750 .

Rastavimo zadane brojeve na proste faktore.

1 575 = 5 · 315 = 5 · 5 · 63 = 5 · 5 · 9 · 7 = 5 · 5 · 3 · 3 · 7 = 3 · 3 · 5 · 5 · 7

750 = 75 · 10 = 15 · 5 · 2 · 5 = 3 · 5 · 5 · 2 · 5 = 2 · 3 · 5 · 5 · 5

Uočimo faktore koji se pojavljuju u obama rastavima. Broj 3 se u rastavu prvoga broja pojavljuje kao faktor dva puta, a u rastavu drugoga jedanput. U rastavu zajedničkog djelitelja pojavit će se kao faktor jedanput. Broj 5 se u rastavu prvoga broja pojavljuje kao faktor dva puta, a u rastavu drugoga tri puta. U rastavu zajedničkog djelitelja pojavit će se kao faktor dva puta. Najveći je zajednički djelitelj

nzd ( 1 575 , 750 ) = 3 · 5 · 5

Odredimo najmanji zajednički višekratnik. Broj 5 se u prvom broju ne pojavljuje, a u rastavu drugoga pojavljuje se jedanput. U rastavu zajedničkog višekratnika pojavit će se jedanput. Broj 3 se u rastavu prvoga broja pojavljuje dva puta, a u rastavu drugoga jednom. U rastavu zajedničkog višekratnika pojavit će se dva puta. Broj 5 se u rastavu prvoga broja pojavljuje dva puta, a u rastavu drugoga tri puta. U rastavu zajedničkog višekratnika pojavit će se tri puta. Broj 7 se u rastavu prvoga broja pojavljuje jedanput, a u rastavu drugoga se ne pojavljuje. U rastavu zajedničkog višekratnika pojavit će se jedanput. Najmanji zajednički višekratnik je:

nzv ( 1 575 , 750 ) = 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 5 · 7 .


Zadatak 5.

Odredite najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva 56 i 45 .

56 = 7 · 8 = 7 · 2 · 2 · 2

45 = 9 · 5 = 3 · 3 · 5

nzd 56 , 45 = 1

nzv 56 , 45 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7


Kažemo da su prirodni brojevi n i m relativno prosti ako je njihov najveći zajednički djelitelj broj jedan.

Odredimo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik triju ili više brojeva.

Primjer 3.

Odredimo najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva 360 ,   252 i 1 134 . Najprije zadane brojeve rastavimo na proste faktore. ​

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5

252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7

1 134 = 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 7

Broj 2 se u rastavu prvoga broja pojavljuje tri puta, drugoga dva puta, a trećega jedanput. U zajedničkom djelitelju pojavit će se jedanput. Broj 3 se u rastavu prvoga broja pojavljuje dva puta, drugoga dva puta, a trećega četiri puta. U zajedničkom djelitelju pojavit će se dva puta. Broj 5 se ne pojavljuje u svim rastavima pa se neće pojaviti ni u zajedničkom djelitelju. Broj 7 se također ne pojavljuje u svim rastavima pa se neće pojaviti ni u zajedničkom djelitelju. Za svaki smo od faktora odredili najmanji broj pojavljivanja u rastavima zadanih brojeva. Toliko ćemo ih puta uzeti kao faktor u zajedničkom djelitelju. Najveći je zajednički djelitelj: ​

nzd 360 , 252 , 1 134 = 2 · 3 · 3 = 18 .  

Odredimo najmanji zajednički višekratnik. Za svaki od faktora pogledajmo najveći broj pojavljivanja u rastavima zadanih brojeva. Toliko ćemo ih puta uzeti kao faktor u zajedničkom višekratniku. Za broj 2 to je tri puta, za broj 3 četiri puta, za broj 5 jedanput i za broj  7 jedanput. Najmanji je zajednički višekratnik:

nzv 360 , 252 , 1 134 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 = 22 680 .

Zadatak 6.

Odredite najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik brojeva 2 250 ,   2 100 i 180 .

nzd ( 2 250 , 2 100 , 180 ) = 30

nzv 2 250 , 2 100 , 180 = 31 500


Kako smo rastavili prirodni broj na umnožak prostih faktora?

Najprije smo zapisali prirodni broj u obliku umnoška nekih dvaju prirodnih brojeva, a zatim smo faktore koji nisu prosti dalje rastavljali sve dok nismo dobili rastav u kojem su svi faktori prosti.


Zadatak 7.

Postupak rastavljanja na proste faktore čini se vrlo jednostavan. Treba samo broj napisati kao umnožak dvaju brojeva. Što mislite, je li to uvijek lako učiniti? Pokušajte u bilježnicu zapisati u obliku umnoška ove brojeve: 21 , 55 , 143 , 817 , 9 047 , 131 147 . Smislite sami neki broj koji će biti teško rastaviti na faktore.

21 = 3 · 7 , 55 = 5 · 11 , 143 = 11 · 13 , 817 = 19 · 43 , 9 047 = 83 · 109 , 131 147 = 313 · 419

Svi su ti brojevi zapravo rastavljeni na proste faktore. Što su ti faktori veći, to ih je teže otkriti. Ali postaviti ovakav težak zadatak jednostavno je. Pronađite popis prostih brojeva manjih od 1 000 , odaberite dva velika prosta broja i pomnožite ih. Dobili ste broj čiji rastav na faktore vi znate, ali će svi ostali do njega teško doći.


Povezani sadržaji

Jeste li čuli za kriptografiju? Kriptografija je znanstvena disciplina koja istražuje metode za slanje poruka u takvu obliku da ih može pročitati samo onaj komu su namijenjene. Danas je izuzetno značajna jer se metode kriptografije primjenjuju pri šifriranju poruka koje šaljemo elektroničkim komunikacijama. Jedna je od metoda kriptografije RSA metoda koja se zasniva upravo na problemu faktorizacije velikih brojeva. Šifriranje započinje odabirom dvaju velikih prostih brojeva s barem stotinjak znamenaka. Ti su brojevi dio tajnog ključa koji je poznat samo onomu koji šalje poruke. Njihov je umnožak poznat svima i dio je javnog ključa. Postupak je šifriranja i dešifriranja također poznat svima, ali je u tom postupku potrebno faktorizirati javni ključ. A to zna samo onaj tko je odabrao dva velika prosta broja.

Dijeljenje s ostatkom

Do sada smo promatrali slučaj kada je količnik m : n prirodnih brojeva m i n prirodni broj. U tom smo slučaju mogli zapisati m = n · k , k N . Pogledajmo sada slučaj kada se pri dijeljenju pojavljuje djelomični količnik i ostatak. Riješite idući zadatak.

  1. Pri dijeljenju broja 21 brojem 2 dobivamo djelomični količnik i ostatak .
    Ostatak je od 2 .
    Zato pišemo 21 = 2 · .
    null
    null
  2. Pri dijeljenju broja 26 brojem 3 dobivamo djelomični količnik i ostatak .
    Ostatak je od 3 .
    Zato pišemo 26 = 3 · .
    null
    null
  3. Pri dijeljenju broja 48 brojem 5 dobivamo djelomični količnik i ostatak .
    Ostatak je od 5 .
    Zato pišemo 48 = 5 · .
    null
    null
  4. Ako pri dijeljenju broja m brojem n dobivamo djelomični količnik q i ostatak r koji je manji od n , tada možemo pisati m = n · .
    null
    null

Teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom:Za zadane prirodne brojeve m i n postoje jedinstveni prirodni brojevi q i r za koje vrijedi

r < n i m = n · q + r .

Ta se tvrdnja zove teorem o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.

Cijeli brojevi

Skup cijelih brojeva označavamo sa Z , a njegove elemente zovemo cijeli brojevi.

Z = . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . .

Zanimljivost

Najstariji zapisi u kojima se spominju negativni brojevi i nula potječu od indijskog matematičara i astronoma Brahmagupte koji je živio u 7. stoljeću. Brahmagupta je pozitivne brojeve zvao bogatstvo, a negativne dug. Rekao je da ćemo nulu dobiti ako od broja oduzmemo taj isti broj. Opisao je, na način na koji i danas računamo, predznake umnoška i količnika cijelih brojeva, kao i pravila računanja s nulom, koristeći pojmove bogatstvo i dug. Na primjer, rekao je da je umnožak ili količnik dvaju dugova jedno bogatstvo. Ipak, napravio je jednu pogrešku: mislio je da može nulu podijeliti s nulom i da će rezultat biti nula. Zašto nulom ne dijelimo?

Zadatak 8.

U skupu prirodnih brojeva govorili smo o prethodnicima i sljedbenicima. Ima li skup cijelih brojeva slična svojstva? Kakav je međusobni odnos skupova N i Z ? Dopunite.

 U skupu Z svaki broj ima  i . Skup je​  skupa Z .
null
null

Zadatak 9.

Odredite sljedbenika i prethodnika zadanih brojeva.

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 10.

Cijele brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s cijelim brojevima?

  1. Zbroj dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.

    null
    null
  2. Razlika dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.

    null
    null
  3. Umnožak dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.

    null
    null
  4. Količnik dvaju cijelih brojeva uvijek je cijeli broj.

    null
    null

Za svaki cijeli broj k postoji broj - k koji zovemo suprotni broj broja k . Vrijedi: k + ( - k ) = 0 .

Zadatak 11.

Povežite suprotne brojeve.  

2  
- 6  
- 89  
0  
12  
- 2  
- - 6  
- - 89  
0  
- 12  
null
null

Racionalni brojevi

Prirodne smo brojeve upotrebljavali za brojenje, a cijeli su brojevi omogućili da govorimo o dugu. S pomoću racionalnih brojeva opisat ćemo, na primjer, koji smo dio cjeline uzeli. Brojeve oblika m n , gdje je m cijeli broj, a n prirodni, zovemo razlomci. Razlomke možemo proširiti ili skratiti. Tako je na primjer 2 3 = 4 6 = 6 9 = . . . Svi ti razlomci predstavljaju isti racionalni broj.

Neka su a , c  cijeli brojevi, b , d  prirodni. Kažemo da je a b = c d ako vrijedi a d = b c . Svi međusobno jednaki brojevi oblika m n , gdje je m cijeli broj, a n prirodni predstavljaju jedan racionalni broj. Skup racionalnih brojeva označavamo s Q .

Za razliku od prirodnih i cijelih brojeva, racionalni broj nema ni prethodnika ni sljedbenika. Skup Z podskup je skupa Q .  

Računanje s racionalnim brojevima

Zadatak 12.

Racionalne brojeve zbrajamo, oduzimamo, množimo i dijelimo. Kakav ćemo broj dobiti kao rezultat tih računskih radnji s racionalnim brojevima?

  1. Zbroj dvaju racionalnih brojeva uvijek je racionalni broj.

    null
    null
  2. Razlika dvaju racionalnih brojeva uvijek je racionalni broj.

    null
    null
  3. Umnožak dvaju racionalnih brojeva uvijek je racionalni broj.

    null
    null
  4. Količnik dvaju racionalnih brojeva, od kojih drugi nije nula, uvijek je racionalni broj.

    null
    null

Skup racionalnih brojeva zatvoren je s obzirom na zbrajanje, oduzimanje i množenje. Skup racionalnih brojeva bez nule zatvoren je s obzirom na dijeljenje.

Zadatak 13.

Prisjetite se svojstava zbrajanja i množenja racionalnih brojeva. Povežite kartice tako da jednakosti budu istinite.

  1. Za svaka tri racionalna broja r , s  i t  vrijedi:

    r + 0 =
    0
    r + s + t =   ​
    r + s + t  
    r + - r =

    s + r
    r + s =
    r
    null
    null
  2. Za svaka tri racionalna broja r , s  i t  vrijedi:

    r · 1 =   ​
    1
    r · s =
    s · r  
    r · s + t =  
    r · s · t  
    r · 1 r =
    r · s + r · t   
    r · s · t =
    r   ​
    null
    null
Na slici je prikaz distributivnosti množenja prema zbrajanju.

Za svaka tri racionalna broja r , s i t je r s + t = r s + r t . Formulu možemo prikazati slikom. Izrazite površinu velikog pravokutnika na dva načina: s pomoću duljina stranica velikog pravokutnika i kao zbroj površina dvaju pravokutnika od kojih se sastoji. Izjednačite dobivene formule.

Zadatak 14.

  1. Pronađite pločicu na kojoj piše START. Postavite ju kao prvu pločicu. Riješite zadatak na prvoj pločici. Pronađite pločicu na kojoj piše to rješenje. Postavite ju kao drugu pločicu. Riješite zadatak na drugoj pločici. Nastavite tako sve dok ne dođete do pločice na kojoj piše KRAJ.

    • 2.
    • 5.
    • 3.
    • 1.
    • 4.
    null
    null

    • 11
    • 11
    • 11
    • 11
    • 1
    null
    null

Racionalni broj zapisujemo s pomoću razlomka. Taj razlomak nazivamo razlomački zapis racionalnoga broja. Razlomački zapis možemo pretvoriti u decimalni.

Racionalni broj ima ili konačan ili beskonačan periodični decimalni zapis. Objasnite.

Decimalni zapis nastaje dijeljenjem brojnika nazivnikom. Ako je ostatak pri dijeljenju u nekom koraku nula, decimalni je zapis konačan. Ako ostatak pri dijeljenju ni u jednom koraku nije nula, u nekom će se koraku ponoviti ostatak iz nekog od prethodnih koraka. To će se sigurno dogoditi jer je ostatak broj manji od nazivnika pa ih ne može biti beskonačno mnogo različitih. Nakon što se ponovi neki ostatak, ponavljat će se redom i ostatci koji slijede.


Zadatak 15.

Koristeći se džepnim računalom povežite razlomački i decimalni zapis racionalnih brojeva.

49 9  
5 . 5 ˙ 4 ˙

277 50   
5.5 4 ˙
136 25  
5.44
27 5  
5 . 4 ˙
61 11   ​
5.4
499 90   ​
5.54
null
null

Može li se svaki konačni ili beskonačni periodični decimalni zapis pretvoriti u razlomački zapis?

U osnovnoj ste školi naučili računati s decimalnim brojevima. Decimalni broj ima konačni decimalni prikaz. U videu se računa s brojevima koji imaju beskonačne decimalne prikaze. Jesmo li sigurni da je opisani postupak ispravan? Što smo upotrijebili u opisanom postupku? Množili smo decimalni prikaz s 10 zbog čega se decimalna točka pomaknula za jedno mjesto udesno. Zatim smo oduzimali brojeve čiji su decimalni dijelovi jednaki pa je rezultat tog oduzimanja sigurno 0 na svakom od beskonačno mnogo decimalnih mjesta. Zbog toga je taj postupak ispravan. Slično se i drugi konačni i beskonačni periodični decimalni zapisi mogu pretvoriti u razlomački. ​

Znači li to da možemo jednostavno računati s brojevima koji imaju beskonačne decimalne prikaze? Možete li u decimalnom prikazu zbrojiti, oduzeti, pomnožiti ili podijeliti brojeve​ 2.5 4 ˙ 5987921 3 ˙ i 41.78 2 ˙ 88321678743 ˙ ? Naravno da ne. Kako računamo s takvim brojevima? Možemo računati približno služeći se džepnim računalom ili egzaktno pretvarajući decimalni prikaz u razlomački pa zatim računati s razlomcima.

Broj koji ima ili konačni ili beskonačni periodični decimalni zapis je racionalan.

Euklidov algoritam

Kutak za znatiželjne

Odaberite dva prirodna broja a i b tako da je b manji od a . Izračunajte razliku a - b . Usporedite najveći zajednički djelitelj nzd a , b i nzd ( a - b , b ) . Pokušajte s drugim dvama brojevima. Što zaključujete?

Za svaka dva prirodna broja a i b za koja je a - b prirodni broj vrijedi: nzd ( a , b ) = nzd ( a - b , b ) .

Zadatak 16.

Za svaka dva prirodna broja a i b za koja je a - b prirodni broj vrijedi: nzd ( a , b ) = nzd ( a - b , b ) . Objasnite.

Neka je broj d najveći zajednički djelitelj brojeva a i b . To znači da je djelitelj obaju brojeva i da ne postoji djelitelj obaju brojeva koji je veći od njega. Broj d je djelitelj i broja a - b pa je zajednički djelitelj brojeva a - b i b . Kad bi postojao neki veći zajednički djelitelj brojeva a - b i b , na isti bismo način mogli zaključiti da je taj broj zajednički djelitelj brojeva a i b , što je nemoguće jer je d najveći. Zaključujemo da je d najveći zajednički djelitelj brojeva a - b i b .


Taj postupak možemo nastaviti.

nzd ( a , b ) = nzd ( a - b , b ) = nzd ( a - 2 b , b ) = nzd ( a - 3 b , b ) = sve dok su razlike prirodni brojevi.

Primjer 4.

Kako s pomoću jednakosti nzd a , b = nzd a - b , b = nzd a - 2 b , b = nzd a - 3 b , b = možemo odrediti najveći zajednički djelitelj velikih brojeva koje je teško rastaviti na proste faktore?

Odredimo nzd 68 , 20 . Prema prethodnom svojstvu vrijedi:

nzd 68 , 20 = nzd 68 - 20 , 20 = nzd 48 , 20 = nzd 28 , 20 = nzd 8 , 20 .

Sada ponovimo postupak za brojeve 8 i 20 .

nzd 20 , 8 = nzd 12 , 8 = nzd 4 , 8 .

Iz toga već vidimo da je najveći zajednički djelitelj broj 4 . No, možemo provesti još jedan korak postupka.

nzd 8 , 4 = nzd 4 , 4 = 4 .

Tako smo odredili najveći zajednički djelitelj bez rastavljanja brojeva na proste faktore.

Promotrimo još jedanput niz jednakosti iz prethodnog primjera.

nzd 68 , 20 = nzd 68 - 20 , 20 = nzd 48 , 20 = nzd 28 , 20 = nzd 8 , 20


Za idući nam je korak potreban broj 8 . Kako brže možemo dobiti broj 8 s pomoću brojeva 68 i 20 ?

8 je ostatak pri dijeljenju broja 68 brojem 20 .


U nizu jednakosti nzd 20,8 = nzd 12,8 = nzd 4,8 potrebno je doći do broja 4 . Broj 4 je ostatak pri dijeljenju brojeva 20 i 8 .

Ostatak pri dijeljenju brojeva 8 i 4 je nula. Najveći zajednički djelitelj je ostatak iz prethodnog koraka.

Promotrite iduću animaciju u kojoj je vizualiziran postupak određivanja najvećega zajedničkog djelitelja brojeva 68 i 20 . Opišite korake u animaciji.

Na slici je Euklid.
Algoritam kojim se određuje najveći zajednički djelitelj zadanih brojeva s pomoću ostataka pri dijeljenju naziva se Euklidov algoritam.

Zadatak 17.

Euklidovim algoritmom odredite nzd 7 371 , 1 064 .

7 371 : 1 064 = 6 i ostatak je 987

1 064 : 987 = 1 i ostatak je 77

987 : 77 = 12 i ostatak je 63

77 : 63 = 1 i ostatak je 14

63 : 14 = 4 i ostatak je 7

14 : 7 = 2 i ostatak je 0

Najveći zajednički djelitelj je ostatak iz prethodnog koraka, a to je 7 .


Primjer 5.

Prisjetimo se teorema o dijeljenju prirodnih brojeva s ostatkom.

Za zadane prirodne brojeve m i n postoje jedinstveni prirodni brojevi q i r za koje vrijedi

r < n i m = n · q + r . Koristeći se tim teoremom možemo na još jedan način objasniti Euklidov algoritam. Uz oznake kao u teoremu vrijedi: nzd ( m , n ) = nzd( n , r ) . Euklidov se algoritam temelji na višestrukoj uzastopnoj primjeni te jednakosti. Pokušajte dokazati jednakost.

Dokaz:

Ako je a = nzd( m , n ) , onda je broj a najveći broj koji je djelitelj brojeva m i n . Budući da je m - n · q = r , zaključujemo da je broj a djelitelj i broja r pa je zajednički djelitelj brojeva n i r . Treba još objasniti da je najveći. Pretpostavimo da postoji neki broj b veći od a , koji je zajednički djelitelj brojeva n i r . Tada bismo iz m = n · q + r mogli zaključiti da je broj b zajednički djelitelj brojeva m i n koji je veći od a , što je nemoguće.


Zanimljivost

Euklidov se algoritam u pisanom obliku prvi put pojavljuje oko 300. g. pr. Krista u matematičkim spisima Elementi koje je napisao starogrčki matematičar Euklid. Najstariji je algoritam koji se i danas primjenjuje, na primjer u kriptografiji koja je važna za sigurnost elektroničkog poslovanja.

...i na kraju

U ovoj ste jedinici mogli naučiti što su prirodni, cijeli i racionalni brojevi, uočiti koja svojstva imaju te računati s njima. U idućim zadatcima provjerite svoje znanje.

Povećaj ili smanji interakciju

  1. Dovucite zadane elemente na pravo mjesto.

    postoje prethodnici

    N

    Z  

    Q

    null
    null
  2. Decimalni je zapis racionalnog broja konačan.

    null
    null
  3. Broj s konačnim decimalnim zapisom je racionalan.

    null
    null
  4. Beskonačan zapis racionalnog broja je periodičan.

    null
    null
  5. Cijeli je broj prirodan.

    null
    null
  6. Umnožak dvaju prirodnih brojeva je negativan.

    null
    null
Povećaj ili smanji interakciju
Povećaj ili smanji interakciju

  1. 2 5 - 6 15 · 3 8 =

    null
    null
  2. 9 14 · 5 24 - 9 14 · - 5 18 =

    null
    null
  3. 21 4 · 1 8 + 5 14 - 5 8 =

     

    null
  4. 1 + 1 4 2 - 9 4 =

    null

Idemo na sljedeću jedinicu

1.3 Realni brojevi i brojevni pravac