x
Učitavanje

1.1 Skupovi

Europska unija, Zajedno do fondova EU
Sadržaj jedinice
Povećanje slova
Smanjenje slova
Početna veličina slova Početna veličina slova
Visoki kontrast
a Promjena slova
  • Verdana
  • Georgia
  • Dyslexic
  • Početni
Upute za korištenje

Na početku...

Svijet oko sebe promatramo kroz različite kategorizacije. Prepoznajemo objekte, pojave, situacije, osjećaje… Svjesno, a još češće nesvjesno, sve što opažamo i doživljavamo svrstavamo u neku od nama poznatih kategorija. Na primjer, promotrimo li neki objekt, okarakterizirat ćemo ga kao velikoga ili maloga, korisnoga ili beskorisnoga, lijepoga ili ružnoga, plastičnoga ili drvenoga, crvenoga ili plavoga itd. Promotrimo li na isti način dva ili više objekata, pronaći ćemo barem jednu zajedničku karakteristiku prema kojoj ih možemo grupirati.

Primjer 1.

Promotrite sljedeće objekte:

P, Kamen mudraca, 2 , V, Ringo Starr, S, 33 , J, Odaja tajni, O, Plameni pehar, N, Red feniksa, K, George Harrison, 1 , Princ miješane krvi, 22 , E, Darovi smrti, 11 , Ukleto dijete, John Lennon, 3 , D, Zatočenik Azkabana, A, U, Paul McCartney, I.

Ima li među njima onih koji su povezani prema nekom načelu? Možemo li ih grupirati u posebne cjeline ili mnoštva?

Pogledajte jedan od načina grupiranja danih objekata.

Pojam skupa i oznake

Okupimo li neke objekte prema određenom načelu u jednu cjelinu, kažemo da smo odredili skup. Članovi ili objekti koji tvore skup nazivaju se elementi skupa.

U matematici se osnovni pojmovi kao što je skup ne definiraju nego se podrazumijevaju jer ih upotrebljavamo za izgradnju drugih matematičkih pojmova.

Zato podrazumijevamo da je skup mnoštvo nekih objekata sa zajedničkim svojstvom.

Elemente skupa obično zapisujemo unutar vitičastih zagrada, a nazive skupova označavamo velikim tiskanim slovima.

Primjer 2.

Kako bismo zapisali i označili skupove iz Primjera 1.?

K = Kamen mudraca, Red feniksa, Odaja tajni, Zatočenik Azkabana, Plameni pehar Princ mješane krvi, Darovi smrti, Ukleto dijete

O = John Lennon, Paul McCartney, George Harisson, Ringo Starr

A = 1 , 2 , 3

B = 11 , 22 , 33

C = J, E, D, A, N

D = S, K, U, P, O, V, I


Povezani sadržaji

Zapišite i označite slovom A skup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u Jadransko more, a slovom B skup svih rijeka u Hrvatskoj koje utječu u rijeku Savu.

A = Bosut, Krapina, Kupa, Lonja-Trabež, Orljava, Sunja, Sutla, Una

B = Cetina, Krka, Mirna, Neretva, Zrmanja


Katkad ne ispisujemo sve elemente skupa unutar vitičastih zagrada nego samo dio i pritom rabimo oznaku "…" ili zapis simbolima kao u sljedećem primjeru.

Primjer 3.

Skup zadan opisno Nabrajanjem elemenata Simbolima
Skup A je skup svih slova abecede A = a , b , c , . . . ž
A = { x : x j e slovo abecede }
(čitaj: A je skup svih elemenata x sa svojstvom da je x slovo abecede)
Na slici je skup A i njegovi elementi brojevi {2,3,5,11,19} prikazani unutar elipse

Skupove predočavamo Vennovim dijagramom, kao na sljedećoj slici koja predstavlja skup A = { 2 , 3 , 5 , 11 , 19 } .


Zanimljivost

Na slici je vitraj u koledžu Gonville and Caius u Cambridgeu, koji prikazuje Vennov dijagram

Naziv Vennov dijagram potječe od prezimena engleskog logičara i filozofa Johna Venna koji je skupove 1881. godine predstavio u svojemu djelu Simbolička logika.

Broj 5 pripada skupu A = 2 , 3 , 5 , 11 , 19 , što simbolima zapisujemo 5 A i čitamo 5 je element skupa A .

Broj 10 ne pripada skupu A , što simbolima zapisujemo 10 A i čitamo 10 nije element skupa A .

Znak simbol je za prazan skup ili skup bez elemenata.

Kardinalni broj

Broj elemenata nekog skupa A zovemo kardinalni broj i označavamo ga s card A .

Primjer 4.

Koliko je card A , ako je A skup svih znamenki broja 1 726 355 ?

Ispišimo prvo elemente skupa A .

A = 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7

Tada je card ( A ) = 6 .

Podskup

Kažemo da je A podskup skupa B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno element skupa B .

Primjer 5.

Na slici su dva skupa A i B.

Neka je A = 1 , 2 , 3 , B = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 .

Je li A B ili je B A ?

Svaki je element iz skupa A element skupa B pa vrijedi 1 , 2 , 3 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ili A B .

Zadatak 1.

Obrazložite sljedeće tvrdnje.

a. Svaki je skup sam sebi podskup.

b. Prazan skup je podskup svakog skupa.

c. Ako je A B i B A , tada je A = B .

Tvrdnje su točne, prema definiciji podskupa:

a. Svaki je element skupa A ujedno element skupa A , što znači da je svaki skup sam sebi podskup.

b. Kako prazan skup nema elemenata, svaki je "element" praznog skupa ujedno element bilo kojeg skupa pa je prazan skup podskup svakog skupa.

c. Ako je svaki element skupa A ujedno element skupa B , te svaki element skupa B i element skupa A , onda su ta dva skupa jednaka.


Zadatak 2.

Znate li pravilno upotrijebiti simbole , , ?

Provjerite u sljedećem zadatku za skupove A = 2 , 3 , 5 , 7 , 11 i B = - 0.5 , 0.5 , 1.2 , 4.5 , 10 .

Koji od ponuđenih simbola treba upisati tako da dana tvrdnja bude točna?

  1. 5  A ,
  2. 8 B ,
  3. 1 2 B ,
  4. 9 A ,
  5. 8 ,
  6. - 7 B ,
  7. 10 A ,
  8. 9 2 B ,
  9. 7.0 A ,
  10. 4.5 A .

null
null

Zadatak 3.

  1. Koje su od sljedećih tvrdnji točne, a koje netočne?

    3 , 7 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7

    null
    null
  2. 1 , 2 , 3 1 , 2

    null
    null
  3. - 4 , 3 , 4 - 4 , - 3 , 0 , 4

    null
    null
  4. 2 , 4 , 6 2 , 4 , 6

    null
    null
  5. 3 , 4 , 7

    null
    null
  6. 3 3 , 4 , 7

    null
    null
  7. 3  

    null
    null

Univerzalni skup

Na slici je nacrtan pravokutnik kao univerzalni skup, a unutar njega skupovi A, B i C predstavljaju tri njegova podskupa.

Ako unutar nekog skupa U promatramo odnose među njegovim podskupovima, skup U nazivamo univerzalni skup.

U prikazu Vennovim dijagramima obično pravokutnik predstavlja univerzalni skup, a krugovi (ili elipse) njegove podskupove.

Računske radnje među skupovima

Može li se računati sa skupovima? Promatrajući odnose između elemenata skupova, definirat ćemo računske radnje među njima.

Unija skupova

Unija skupova A i B je skup A B koji sadržava sve elemente koji pripadaju barem jednom od skupova A ili B .

Simbolima zapisujemo: A B = x : x A i l i x B (čitamo: A unija B je skup svih elemenata x sa svojstvom da je x element skupa A ili skupa B ).

Na slici su nacrtani skupovi A i B  i osjenčana je unija skupova A i B
Unija skupova A i B, A ∪ B

Presjek skupova

Presjek skupova A i B je skup A B koji sadržava sve elemente koji pripadaju skupu A i skupu B .

Simbolima zapisujemo A B = x : x A i x B . Simbol  čitamo "presjek".

Na slici su skupovi A i B koji se sijeku i osjenčan je njihov zajednički dio, odnosno presjek skupova A i B
Presjek skupova A i B, A ∩ B
Na slici su skupovi A i B koji se ne sijeku, odnosno disjunktni skupovi.
Disjunktni skupovi

Ako je A B = , kažemo da su skupovi A i B disjunktni skupovi.

Razlika skupova

Razlika skupova A i B je skup A \ B koji sadržava sve elemente skupa A koji nisu u skupu B .

Simbolima zapisujemo A \ B = { x : x A i x B } . Simbol \ čitamo "manje".

Na slici su skupovi A i B koji se sijeku, osjenčano je područje iz skupa A bez zajedničkog dijela, odnosno razlika: skup A manje skup B.
Razlika skupova A i B, A\B

Komplement skupa

Neka je A U . Komplement skupa A je skup svih elemenata univerzalnog skupa U koji nisu u skupu A . Komplement skupa A označavamo A ¯ .

Simbolima zapisujemo A ¯ = x : x U i x A .

Na slici je skup A, a osjenčano je sve što je izvan skupa A i nalazi se  unutar univerzalnog skupa, odnosno komplement skupa A.
Komplement skupa

Kako odrediti uniju, presjek, razliku i komplement skupova zapisanih s pomoću vitičastih zagrada? Provjerite u sljedećem zadatku.

Zadatak 4.

Neka je U = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9  univerzalni skup, a skupovi A = 0 , 2 , 4 , 6 , 8 i B = 2 , 3 , 5 , 6 su njegovi podskupovi. Uparite sljedeće skupove s njihovim elementima:

A - =
B - =
A B =
A B =
A \ B =
B \ A =
null
null

Zadatak 5.

Osjenčajte područje koje predočuje zadani skup klikom na jedno ili više područja na slici.

Povećaj ili smanji interakciju

Katkad će nam određeni prikaz skupova biti korisniji za rješavanje zadatka u odnosu prema onome u kojem su skupovi zadani u zadatku. Primjerice, ako su skupovi zapisani s pomoću vitičastih zagrada, a nemaju preveliki broj elemenata, Vennov je dijagram pregledniji i jednostavniji prikaz za određivanje njihove unije, presjeka, razlike ili komplementa. Kako elemente skupova rasporediti unutar Vennova dijagrama? Provjerite u sljedećem zadatku.

Zadatak 6.

Gdje mi je mjesto?

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 7.

Kako izgleda određivanje unije ili presjeka koristeći se Vennovim dijagramom za tri skupa?

Provjerite u sljedećem zadatku. Zapišite osjenčani dio Vennovog dijagrama kao uniju ili presjek skupova A , B i C pa označite točan odgovor.

Povećaj ili smanji interakciju

Skupovi mogu imati beskonačno mnogo elemenata ili tako veliki broj da bi njihovo ispisivanje unutar Vennova dijagrama bilo nepregledno. No i u tom će nam slučaju Vennov dijagram pomoći pri utvrđivanju njihovih međusobnih odnosa. Provjerite u sljedećem zadatku.

Zadatak 8.

Na slici je prikazan Vennov dijagram za skupove ​ U , A , B , C . Koje su od sljedećih tvrdnji istinite za prikazani dijagram?

Na slici je prikazan Vennov dijagram za skupove ​U,A,B,C:

null

 

Primjena skupova

Povezani sadržaji

Prikažite Vennovim dijagramom međusobni odnos sljedećih skupova u geometriji:

U = svi četverokuti ,

P = s v i p r a v o k u t n i c i ,

K = svi kvadrati ,  

L = { svi paralelogrami},

R = svi rombovi ,

T = svi trapezi .

Na slici je prikazan odnos između skupova u kojima se nalaze geometrijski likovi iz ravnine.

Primjer 6.

Jedna je internetska trgovina sportske obuće zaprimila ukupno 200 narudžbi za dva različita modela obuće A i B. Od toga je 125 narudžbi modela A, a 102 modela B. Trgovina je prodavala samo modele A i B.

  1. Koliko je bilo narudžbi obaju modela? ​
  2. Koliko je narudžbi samo modela A, a koliko samo modela B?

Neka skup A predstavlja narudžbe modela A, a skup B narudžbe modela B.

Povežimo sljedeće rečenice s njihovim simboličkim zapisom i brojčanim iznosom.

Broj narudžbi...

samo modela B.
card ( A B ) = 200  
obaju modela, i A i B.
card ( A \ B ) = 98
barem jednog od modela A ili B.
card ( A B ) = 27  
samo modela A.
card ( B \ A ) = 75

 

 

  1. Ukupno je 200 narudžbi, a ukupan broj narudžbi modela A i narudžbi modela B iznosi 125 + 102 = 227 .

    Razlika je tih brojeva 27 , što predstavlja broj narudžbi obaju modela, i A i B.​

  2. Broj narudžbi samo modela A: 125 - 27 = 98 .

    Broj narudžbi samo modela B: 102 - 27 = 75 .


Pri rješavanju takvih zadataka uobičajeno je dane podatke pregledno prikazati Vennovim dijagramom i jednostavno pročitati rješenje u nekom od područja. Obično se prvo upisuje podatak za broj zajedničkih elemenata, a zatim se dalje popunjava područje po područje.

Kako bi to izgledalo u našem primjeru?

Na slici je Vennov dijagram s označenim kardinalnim brojevima pojedinih dijelova dijagrama.

Postoji li veza između card A B i card A B ?

Kardinalni broj unije i presjeka

Istražite kako su povezani kardinalni broj unije i presjeka s pomoću Vennovih dijagrama. Odredite kardinalne brojeve skupova A , B , A B , A B . Upišite dobivene vrijednosti na odgovarajuća mjesta. Primjećujete li neku pravilnost?

Povećaj ili smanji interakciju

Zadatak 9.

Opći brojevi a, b, c,  na slici označavaju broj elemenata područja (dio skupa) u kojem su napisani.
Možete li pretpostaviti vezu između broja elemenata u uniji A B i broja elemenata u skupovima A , B , A B ? Ako ne možete, pomoći će vam sljedeći zadatak.

Opći brojevi a , b , c  na slici označavaju broj elemenata područja (dio skupa) u kojem su napisani. Zapišite s pomoću brojeva a , b , c :
card A =
card B =
card A B =
card ( A B ) =  
card A + card B - card A B = =  .
null
null

Za broj elemenata unije skupova A i B vrijedi formula:

card A B = card A + card B - card A B .

Kutak za znatiželjne

Kako glasi slična formula za tri skupa? Istražite.

Povećaj ili smanji interakciju

card A∪B∪C = card A + card B + card C - card A B - card A C - card B C + card A B C


Zadatak 10.

 Riješite zadatke.

  1. U skupini od 60 učenika provedena je anketa o vrsti rekreacije kojom se bave. Barem dva dana u tjednu bicikl voze 24 učenika, 30 ih barem dva dana u tjednu trči, a 15 učenika ne trči i ne vozi bicikl.

    Koliko učenika...

    se bavi bar jednom aktivnosti?
    card ( A B ) = 9
    samo vozi bicikl?
    card ( A B ) = 45
    i vozi bicikl i trči?
    card ( A \ B ) = 15
    samo trči?
    card ( B \ A ) = 21
    null
    null
  2. U jednoj je školi 22 % maturanata kao izborni predmet na maturi odabralo Biologiju, 18 % Kemiju, a njih 12 % odabralo je i Biologiju i Kemiju. Koliko posto učenika nije odabralo ni jedan od tih dvaju izbornih predmeta?

    null

    Postupak:

    100 % - 22 + 18 - 12 % = 100 % - 28 % = 72 %

  3. Skupina učenika razgovarala je o tome koja su tri grada posjetili: Berlin, London ili Pariz. Berlin je posjetilo 5 učenika, London 10 , a Pariz 8 učenika. Dva su učenika posjetila sva tri grada. Pet je učenika posjetilo London i Pariz, a Berlin i London posjetila su 3 učenika. Ni jedan učenik nije posjetio samo Berlin i Pariz, a da nije bio u Londonu. Ako tri učenika nisu bila ni u Berlinu, ni u Londonu, ni u Parizu, odredite:

    Koliko je učenika posjetilo Berlin i London, a nije Pariz?
    18
    Koliko je učenika posjetilo samo Berlin (a nije druge gradove)?
    4
    Koliko je ukupno učenika u skupini?
    15
    Koliko je učenika posjetilo samo London?
    3
    Koliko je učenika posjetilo barem jedan od tih gradova?
    2
    Koliko je učenika posjetilo samo Pariz?
    1
    null

...i na kraju

Radeći u paru ili u tročlanim skupinama odaberite jedno od sljedećih područja: ekonomija, biologija, medicina, geografija, povijest, sport ili umjetnost.

Zamislite neku situaciju unutar odabranog područja u kojoj ćete s pomoću skupova organizirati ili kategorizirati određene podatke. (Primjerice, u medicini možemo promatrati nekoliko različitih bolesti i njihove simptome. Pritom će neki simptomi biti zajednički za sve bolesti, neki samo za dvije ili samo za jednu bolest.)

Koristeći se Vennovim dijagramom s najmanje tri skupa ilustrirajte odabranu situaciju.

Na osnovi Vennova dijagrama zapišite tri do četiri pitanja koja će ilustrirati uniju, presjek, razliku ili komplement nekih od prikazanih skupova.

Razmijenite i diskutirajte vaš odabir i pitanja s nekom od ostalih skupina.

PROCIJENITE SVOJE ZNANJE

1
Više objekata okupljenih prema nekom načelu u cjelinu tvori .
null
null
2
Simbol čitamo: je .
null
null
3
Ako je presjek dvaju skupova prazan skup, kažemo da su ti skupovi .
null
null
4
Skup u kojem se nalaze svi elementi iz univerzalnog skupa koji nisu u skupu A zovemo skupa A .
null
null
5

Neka je skup svih različitih znamenki broja 12 563 783. Koji od sljedećih skupova su podskupovi skupa A ? (Više je točnih odgovora.)

null
null
6

Neka je U univerzalni skup i A njegov podskup. Označite sve točne odgovore:

null
null
7

Neka je U = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . , 19 , 20 , A = 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , B = 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , 18 , C = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 10 , 11 , 12 .

Odredite:​

B ¯ =
A C =
B C =
A \ C =
A B C =
A ¯ C ¯ =
B C \ A =
null
null
8
Školska je liječnica ispitala 108 učenika u dobi od 14 do 15 godina i zapisala koje su bolesti s osipom preboljeli: vodene kozice (VK), ospice (O) i tzv. petu bolest (PB). Zapisala je sljedeće podatke: VK: 97 učenika, O: 4 učenika, PB: 76 učenika. Analizirajući dobivene podatke utvrdila je da je 70 učenika preboljelo i VK i PB, tri su učenika preboljela i O i PB, a dva su učenika preboljela i O i VK. Jedan je učenik prebolio i O i PB, a nije VK. Koliko učenika nije preboljelo ni jednu od tih triju bolesti? . Koliko je učenika preboljelo sve tri bolesti? . Koliko je učenika preboljelo barem jednu od tih triju bolesti? . Koliko je učenika preboljelo točno jednu od tih triju bolesti? .
null
null
ZAVRŠITE PROCJENU

Idemo na sljedeću jedinicu

1.2 Prirodni, cijeli i racionalni brojevi