1.1 Određivanje volumena

Što je volumen?

Volumen je fizička veličina pa je možemo računati i mjeriti.

Mjerna jedinica kubni metar jednaka je volumenu kocke duljine stranice $\mathrm{1}\mathrm{m}.$ Mjerna jedinica volumena izvedena je iz osnovne mjerne jedinice metar.

Izvedene mjerne jedinice za volumen

$\begin{array}{l}\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{=}\mathrm{10}\mathrm{dm}\mathrm{·}\mathrm{10}\mathrm{dm}\mathrm{·}\mathrm{10}\mathrm{dm}=\mathrm{1}\mathrm{000}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{=}\mathrm{100}\mathrm{cm}\mathrm{·}\mathrm{100}\mathrm{cm}\mathrm{·}\mathrm{100}\mathrm{cm}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{000}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{1}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{m}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{mm}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{mm}\mathrm{·}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{mm}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{000}\mathrm{000}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

$\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{000}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{0,001}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}$

$\begin{array}{l}\mathrm{1}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{000}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{0,000001}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{1}{\mathrm{mm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{000}\mathrm{000}}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{0,000000001}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}\end{array}$

Zanimljivost

Od davnina su naši predci za mjerenje volumena tekućina te sipkih i zrnatih tvari upotrebljavali razne priručne ili namjenski izrađene mjerne posude, tzv. šuplje mjere. Najstarija takva „mjera" bio je tzv. pregršt (sastavljene dvije zaobljene šake) kojim se, u nedostatku posudice, na izvoru može zahvatiti voda za pijenje ili za umivanje, a zatim i zrnje, pijesak, snijeg itd. Tijekom stoljeća rabile su se različite priručne mjerne posude: ljuske plodova, kućice ili oklopi životinja (pola orahove ljuske, lupine jaja, kućice školjki, oklop kornjače, šuplji rog i dr.). I danas rabimo raznovrsne neodređene, ali u nekoj sredini ili prilici poznate „mjere" kao što su žlice, žličice, lončići, šalice, čaše i sl.

U svijetu se koriste i ove mjerne jedinice:

galon (engleski) = $\mathrm{4,55}\mathrm{L}$

galon (američki) = $\mathrm{3,79}\mathrm{L}$

bushel (engleski) = $\mathrm{36,37}\mathrm{L}$

bushel (američki) = $\mathrm{35,24}\mathrm{L}$

barel (engleski) = $35$ galona = $\mathrm{159,25}\mathrm{L}$ 

barel (američki) = $42$ galona = $\mathrm{159,18}\mathrm{L}.$

Volumen tijela pravilnog oblika možemo određivati izravno ili posredno (računski).

Izravno mjerenje volumena tijela pravilnog oblika

Primjer 1.

Kutija je ispunjena manjim kockicama za igru Čovječe ne ljuti se. Volumen jedne kockice je $\mathrm{1}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$ Kako odrediti volumen kutije?

Određivanje volumena računski

Volumen kvadra: $V=a·b·c$

Volumen kocke: $V=a·a·a$

Primjer 2.

Koliki je volumen ormara u obliku kvadra ako mu je duljina $150\mathrm{cm},$ širina $6\mathrm{dm},$ a visina $2\mathrm{m?}$

Izradi vježbu

Odredimo volumen mobitela. Mobitel je u obliku kvadra. Najprije procijenimo duljine stranica kvadra. Mjerenjem duljine ravnalom provjerimo svoju procjenu. Izračunajmo volumen koristeći se formulom za volumen kvadra.

Primjer 3.

Odredimo volumen tijela pravilnog oblika izravnim mjerenjem. Zamislimo da se Rubikova kocka sastoji od manjih kockica. Izmjerili smo da je duljina stranice manje kocke $2\mathrm{cm}.$ Tako znamo da je njezin volumen  $\mathrm{8}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$ Znajući taj podatak, volumen velike kocke možemo odrediti izravnim mjerenjem brojeći koliko je kockica poznatog volumena u velikoj kocki. Koliko ima kockica u velikoj kocki? 

Volumen tekućina i plinova često se izražava u litrama.

Oznaka mjerne jedinice litre veliko je slovo $\mathrm{L}.$

Volumen jedne litre jednak je volumenu kocke duljine stranice $1\mathrm{dm}.$ ​

$V=\mathrm{1}\mathrm{dm}·\mathrm{1}\mathrm{dm}·\mathrm{1}\mathrm{dm}=\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}\mathrm{=}\mathrm{1}\mathrm{L}$

$\mathrm{1}\mathrm{L}=\mathrm{1}{\mathrm{dm}}^{\mathrm{3}}$

Izvedene mjerne jedinice litre su decilitar, centilitar, mililitar i hektolitar. Tvorimo ih s pomoću predmetaka.

Preračunajmo:

$\mathrm{1}\mathrm{L}\mathrm{=}\mathrm{10}\mathrm{dl}=\mathrm{100}\mathrm{cL}=\mathrm{1}\mathrm{000}\mathrm{mL}$

$\mathrm{1}\mathrm{hL}\mathrm{=}\mathrm{100}\mathrm{L}$

$\mathrm{1}\mathrm{mL}\mathrm{=}\mathrm{1}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$

Primjer 4.

Koliko je $\mathrm{mL}$  vode u čaši u obliku valjka površine dna $\mathrm{8}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$ i visine $\mathrm{1,2}\mathrm{dm}$ napunjene do vrha?

Povezani sadržaji

Menzura je mjerna posuda kojom mjerimo volumen tekućina. Na njoj se nalazi mjerna ljestvica. Kada očitavamo volumen tekućine menzurom, moramo paziti na ispravno mjerenje. Položaj oka mora biti u ravnini s nižom razinom vode.

Primjer 5.

Očitajmo volumen tekućine u menzuri sa slike.

Volumen tijela nepravilnog oblika

Menzurom možemo mjeriti volumen manjih tijela nepravilnog oblika pod uvjetom da ona nisu topljiva u vodi i da ne plutaju na njoj.

Primjer 6.

U menzuru ulijemo vodu i očitamo volumen vode.

$V_1=\mathrm{110}\mathrm{mL}$

Ubacimo tijelo u menzuru s vodom.

$V_2=\mathrm{140}\mathrm{mL}$

Volumen tijela dobijemo kao razliku volumena vode i tijela $V_2$ i volumena vode $V_1.$

$\begin{array}{l}V=V_1-V_2=\mathrm{140}\mathrm{mL}\mathrm{-}\mathrm{110}\mathrm{mL}\mathrm{=}\mathrm{30}\mathrm{mL}\end{array}$

Volumen tijela je $30\mathrm{mL}.$

Primjer 7.

Menzurom možemo odrediti čak i volumen tijela sitnih poput spajalice, pod uvjetom da ih imamo više.

Primjer 8.

U menzuru ulijemo vodu do određene razine i očitamo volumen vode.

$V_1=30\mathrm{mL}$ 

Prebrojimo spajalice te ih pozorno ubacimo u menzuru, a zatim očitamo razinu vode i spajalica u menzuri.

$N=20$

$V_N=\mathrm{40}\mathrm{mL}$

Volumen svih spajalica u menzuri dobijemo kao razliku volumena vode $V_1$ te volumena vode i spajalica $V_N.$

$\begin{array}{l}{V}_S=V_N-V_1=\mathrm{40}\mathrm{mL}\mathrm{-}\mathrm{30}\mathrm{mL}\mathrm{=}\mathrm{10}\mathrm{mL}\end{array}$

Volumen svih spajalica iznosi $V_s=10\mathrm{mL}.$

Volumen jedne spajalice $V_{\mathrm{1s}}$ odredimo tako da volumen svih spajalica podijelimo s ukupnim brojem spajalica.

$V_{1s}=\frac{V_s}{N}$

$V_{1S}\mathrm{=}\frac{\mathrm{10}\mathrm{mL}}{\mathrm{20}}\mathrm{=}\mathrm{0,5}\mathrm{mL}$

$V_{1s}=\mathrm{0,5}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$

Volumen jedne spajalice iznosi $\mathrm{0,5}{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}.$

a) Akvarij za ribice do vrha je napunjen vodom. Koliki će se volumen vode preliti preko ruba akvarija ako u njega ubacimo kamen u kockice duljine stranice $3\mathrm{cm}?$
$V=$ $\mathrm{mL}=$ $\mathrm{L}.$

null

null

b) Stakleni akvarij za ribice ima dno u obliku kvadrata duljine stranice $40\mathrm{cm}$ i u akvariju se nalazi voda do visine $30\mathrm{cm}.$ U akvarij ubacimo ukras u obliku gusarskog broda koji tone na dno pri čemu se razina vode povisuje za pola centimetra. Koliki je obujam ukrasa u obliku gusarskog broda?
$V=$  $\mathrm{mL}=$  ${\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}$

null

null

c) U menzuri se nalazi voda do oznake $40\mathrm{mL}$ i u nju pažljivo ubacimo figuricu Mickeyja Mousea koji tone na dno. Koliki je volumen figurice ako je razina vode sada kod oznake $98\mathrm{mL}?$
$V=$  $\mathrm{mL}.$

null

null

d) Za koliko će se podjeljaka podignuti razina vode u menzuri ako u menzuru uronimo tijelo volumena  $64{\mathrm{cm}}^{\mathrm{3}}?$ Na menzuri svaki zarez označuje $2\mathrm{mL}.$
$N=$  d)  .

null

null

Izradi vježbu

Izmjerimo menzurom volumen kuglice od plastelina. Promijenimo joj oblik i ponovno izmjerimo volumen. Što smo uočili?

Promjenom oblika tijela ne mijenja se njegov volumen.

Uvježbajmo